于冰洋，闕肖峰，聶在平

（電子科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，四川成都 611731）

0 引言

天線罩是用于保護(hù)天線免受外部環(huán)境影響的一類設(shè)備，在雷達(dá)系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛。隨著電子技術(shù)的發(fā)展，天線罩作為雷達(dá)天線的電磁窗口，其電性能顯得尤為重要，已經(jīng)成為雷達(dá)天線的一部分［1］。在天線罩的設(shè)計(jì)過程中，準(zhǔn)確、高效的電磁建模與仿真手段發(fā)揮著重要作用。目前，對(duì)天線罩的仿真計(jì)算方法主要有高頻近似法和全波數(shù)值法兩類［2-6］。高頻法包括了物理光學(xué)法（PO）、彈跳射線法（SBR）等，其物理概念清晰，計(jì)算速度快。但是由于高頻法是基于局部場(chǎng)近似原理，沒有考慮天線罩各部分之間的電磁耦合關(guān)系，以及難以準(zhǔn)確分析非平滑結(jié)構(gòu)和復(fù)雜介質(zhì)問題，在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)帶來較大的誤差。全波數(shù)值法包括了廣泛采用的矩量法（MoM）、有限元法（FEM）和時(shí)域有限差分法（FDTD）等，這些方法考慮了全局電磁耦合關(guān)系，計(jì)算精度高，但是計(jì)算復(fù)雜度高且計(jì)算效率低，很長(zhǎng)時(shí)間以來只能用于小尺寸天線罩的分析。為了在確保計(jì)算精度的前提下提高計(jì)算效率和計(jì)算能力，必須采用正確的電磁理論模型和高效的計(jì)算方法。

本文首先采用基于表面積分方程（SIE）的并行多層快速多極子算法（MLFMA），對(duì)電大尺寸天線罩的電磁特性進(jìn)行仿真。相較于基于介質(zhì)體模型和體網(wǎng)格剖分的數(shù)值算法［7］，SIE 僅需要在不同媒質(zhì)的分界面上離散網(wǎng)格和構(gòu)造基函數(shù)，極大地減少了數(shù)值計(jì)算量。然后提出了改進(jìn)迭代求解效率的JMCFIE 表面積分方程和稀疏近似逆（SAI）預(yù)條件技術(shù)，并引入快速球諧展開（SE）技術(shù)，減少內(nèi)存需求。數(shù)值算例驗(yàn)證了本文提出方法的正確性，以及在計(jì)算效率和計(jì)算資源需求方面的較大優(yōu)勢(shì)。最后，對(duì)大型陣列天線-天線罩輻射問題開展了一體化建模仿真，在單臺(tái)小型服務(wù)器上完成上百電磁波長(zhǎng)尺度天線罩問題的快速計(jì)算。

1 基本理論

1.1 天線罩問題的表面積分方程

天線罩電特性仿真實(shí)質(zhì)上是求解導(dǎo)體-介質(zhì)復(fù)合結(jié)構(gòu)的電磁問題。導(dǎo)體和任意介質(zhì)結(jié)構(gòu)組合示意圖如圖1 所示。其中，導(dǎo)體包括閉合導(dǎo)體（如實(shí)體器件）和開放導(dǎo)體（如天線、頻選等）結(jié)構(gòu)。圖中Di，…，Dq表示不同媒質(zhì)區(qū)域，D0表示背景媒質(zhì)區(qū)域，Sj表示Dj的表面，Sjl表示Dj和Dl分界面。陰影區(qū)Dq，Dp表示閉合導(dǎo)體區(qū)域，Dl表示開放導(dǎo)體區(qū)域。

根據(jù)等效原理建立開放導(dǎo)體表面的電場(chǎng)積分方程（EFIE）、閉合導(dǎo)體表面的混合場(chǎng)積分方程（CFIE），以及各介質(zhì)區(qū)域內(nèi)表面的EFIE 和MFIE。為改進(jìn)矩陣方程性態(tài)，將介質(zhì)表面的EFIE 和MFIE構(gòu)造為JMCFIE：首先建立介質(zhì)表面兩側(cè)的電流混合場(chǎng)積分方程（JCFIE）

和磁流混合場(chǎng)積分方程（MCFIE）［8］

式中：α和β為比例因子，α=0～1，β=1－α；下標(biāo)j為第j個(gè)媒質(zhì)空間。

將兩側(cè)的方程組合得到該分界面的JMCFIE。當(dāng)α=1 時(shí)，則退化為廣泛采用的PMCHW 方程。

通過以上處理，可以建立含罩天線系統(tǒng)電特性分析時(shí)的EFIE-CFIE-JMCFIE 矩陣方程形式。通過適當(dāng)選擇比例因子，利用伽略金方法得到矩陣方程為

由于阻抗矩陣具有良好的條件數(shù)，方程迭代求解效率高。

為實(shí)現(xiàn)電大尺寸天線罩的快速求解，本文采用了并行MLFMA 對(duì)矩陣方程加速計(jì)算［9］。MLFMA利用幾何分組，將子散射體（基函數(shù)）之間耦合關(guān)系分為近區(qū)和遠(yuǎn)區(qū)關(guān)系。近區(qū)組內(nèi)子散射體的耦合通過嚴(yán)格的MoM 直接計(jì)算；遠(yuǎn)區(qū)組內(nèi)的子散射體耦合關(guān)系則利用加法定理將格林函數(shù)在譜域內(nèi)進(jìn)行展開，采用聚合—轉(zhuǎn)移—配置過程實(shí)現(xiàn)。MLFMA的計(jì)算和存儲(chǔ)復(fù)雜度由傳統(tǒng)MoM 的O（N2）～O（N3）量級(jí)降低為O（NlogN）量級(jí)，其中N為數(shù)值計(jì)算未知量數(shù)。

1.2 稀疏近似逆預(yù)條件技術(shù)

對(duì)矩陣方程進(jìn)行預(yù)條件處理，可以提高迭代求解收斂速度。傳統(tǒng)構(gòu)造稀疏近似逆（SAI）預(yù)條件矩陣M時(shí)，需要對(duì)矩陣逐列構(gòu)造，即需要求解N個(gè)最小二范數(shù)問題，這對(duì)于電大尺寸問題而言計(jì)算量極大［10］。而分析介質(zhì)問題時(shí)，分界面上將同時(shí)定義等效電流和磁流未知量，進(jìn)一步加大了計(jì)算復(fù)雜度。本文提出了基于幾何分組信息的SAI 預(yù)條件技術(shù)，具體步驟如下：

步驟1確定預(yù)條件矩陣的稀疏化模式。本文采用MLFMA 框架下的附近組矩陣相同的矩陣分布。

步驟2獲取用于構(gòu)造SAI 矩陣的阻抗矩陣元素。首先，得到與之相關(guān)的附近組及其附近組的附近組所包含的矩陣元素，然后，利用近場(chǎng)耦合強(qiáng)弱關(guān)系和設(shè)定閾值對(duì)矩陣元素進(jìn)行稀疏化。

步驟3完成每個(gè)分組內(nèi)基函數(shù)對(duì)應(yīng)的最小二范數(shù)運(yùn)算：

式中：I、ej分別為全局單位矩陣和分組單位矩陣；為全局阻抗矩陣A的稀疏化模式；mj為M中第j組基函數(shù)對(duì)應(yīng)的子矩陣為矩陣的Frobenius范數(shù)。

步驟4合并所有組元素得到預(yù)條件矩陣。

該方法的優(yōu)點(diǎn)是：1）按分組方式生成預(yù)條件矩陣會(huì)極大減少最小二范數(shù)的計(jì)算次數(shù)；2）非常容易按組實(shí)現(xiàn)并行化。

1.3 球諧展開多層快速多極子算法

MLFMA 通過將散射源對(duì)場(chǎng)點(diǎn)的作用分解為一系列平面波的傳播行為，實(shí)現(xiàn)了遠(yuǎn)區(qū)作用的快速計(jì)算和降低存儲(chǔ)，但是需要存儲(chǔ)角譜空間中各基函數(shù)的聚合、配置因子。介質(zhì)問題中基函數(shù)個(gè)數(shù)多，導(dǎo)致角譜的存儲(chǔ)量急劇增加，本文引入一類基于譜域球諧展開的多層快速多極子算法（SE-MLFMA）［11］來減少內(nèi)存占用。該方法首先將MLFMA 展開項(xiàng)分為兩部分：聚合轉(zhuǎn)移因子和配置因子；然后分別進(jìn)行球諧展開，展開系數(shù)為其特征值；最后再利用球諧函數(shù)之間的計(jì)算實(shí)現(xiàn)平面波的傳播過程。MLFMA 中的遠(yuǎn)區(qū)矩矢相乘轉(zhuǎn)化為下述形式：

式中：p為截?cái)嘞禂?shù)為第i個(gè)配置因子的特征值；為將第i個(gè)散射源聚合至組m′中心，進(jìn)而轉(zhuǎn)移至組m中心的聚合轉(zhuǎn)移因子的特征值；Gm為第m個(gè)分組。

SE-MLFMA 將聚合、配置因子在譜域中的樣本值存儲(chǔ)轉(zhuǎn)化為對(duì)其特征值的存儲(chǔ)，存儲(chǔ)復(fù)雜度將得到顯著降低，而計(jì)算復(fù)雜度則與MLFMA 一致。考慮到實(shí)際剖分單元（如三角形網(wǎng)格）數(shù)遠(yuǎn)小于基函數(shù)個(gè)數(shù)，因此，將其轉(zhuǎn)化為對(duì)網(wǎng)格單元的存儲(chǔ)，可以進(jìn)一步改進(jìn)存儲(chǔ)效率。

2 數(shù)值算例

通過以下算例驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性和高效性，所有算例均在DELL PowerEdge R730 服務(wù)器上完成（配置為CPU Intel Xeon E5-2687W，主頻3.0 GHz，共24 核，內(nèi)存512 GB）。

2.1 帶罩九元偶極線陣輻射仿真

第1 個(gè)模型為介質(zhì)球殼內(nèi)的9 單元偶極線陣輻射問題，如圖2（a）所示。球殼內(nèi)、外半徑分別為1.20 m 和1.28 m，相對(duì)介電常數(shù)為εr=2+1i。線陣位于球內(nèi)中心，排列和朝向均為x軸方向，單元間距為0.25 m。工作頻率為300 MHz，陣元等幅同相饋電。如圖2（b）所示，計(jì)算所得遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)與MIE級(jí)數(shù)結(jié)果［12］吻合很好。

圖2 介質(zhì)球殼內(nèi)9 元偶極線陣遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)Fig.2 Far-field radiation of the dipole linear array of nine elements in a dielectric spherical shell

2.2 陣列天線-天線罩仿真

天線罩高460 mm，罩壁等厚5 mm，天線罩介質(zhì)材料εr=3.3，tanδ=0.005，如圖3 所示。半波振子陣列單元數(shù)為208，朝向?yàn)閤軸方向，陣元中心間距8.8 mm，形成半徑約為75 mm 的圓形口徑，振子單元中心饋電。陣列距離反射面4.4 mm，反射面距離天線罩底部60 mm。設(shè)定頻率為17 GHz，離散得到未知量數(shù)約81 萬。仿真得到y(tǒng)oz平面的和差方向圖如圖4 所示，并與商業(yè)軟件FEKO 仿真結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。其中，和方向圖最大峰值增益分別為26.19 dB 和26.42 dB（FEKO），差波束方向圖也吻合很好。JMCFIE 方程（α=0.9）和PMCHW 方程，以及本文提出的SAI 預(yù)條件技術(shù)和不采用預(yù)條件時(shí)的收斂曲線，如圖5 所示?？梢钥闯?，SAI 預(yù)條件極大地降低了迭代次數(shù)，減少了計(jì)算時(shí)間。SE-MLFMA 的計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存占用情況見表1。球諧展開技術(shù)將聚合配置因子所占內(nèi)存減少了2/3，提高了算法對(duì)電大尺寸問題的求解能力。

圖3 陣列天線-天線罩幾何示意圖Fig.3 Geometric sketch of array antenna-redone

圖4 增益方向圖Fig.4 Gain pattern

圖5 迭代收斂性比較Fig.5 Comparison of the Iterations

表1 采用球諧展開前后計(jì)算參數(shù)統(tǒng)計(jì)Tab.1 Statistics of calculated parameters before and after spherical harmonic expansion

2.3 電大尺寸天線罩問題

考察頻率75 GHz 時(shí)帶罩陣列的輻射特性。應(yīng)用第2 個(gè)算例的天線罩和反射板模型，保持陣列單元數(shù)不變。調(diào)整半波振子間距2 mm，陣列到反射面距離1 mm，所有單元等幅同相饋電。仿真得到了增益方向圖，如圖6 所示，計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存占用情況，見表2?？梢钥闯?，在單臺(tái)小型服務(wù)器上完成了電尺寸超過100λ0天線罩的電特性仿真。

表2 計(jì)算參數(shù)統(tǒng)計(jì)Tab.2 Statistics of calculated parameters

3 結(jié)束語

本文針對(duì)電大尺寸天線罩電特性分析的高效數(shù)值計(jì)算方法，從加速計(jì)算和減少內(nèi)存需求兩方面開展研究工作?；趯?dǎo)體介質(zhì)復(fù)合結(jié)構(gòu)的表面積分方程法，研究了積分方程構(gòu)建形式，提出了一種MLFMA 分組框架下的SAI 預(yù)條件技術(shù)，利用近場(chǎng)信息和設(shè)定阻抗元素閾值的方式來加速構(gòu)建預(yù)條件矩陣；進(jìn)一步引入球諧展開技術(shù)減少對(duì)多極信息的存儲(chǔ)。數(shù)值結(jié)果表明：改進(jìn)后的積分方程法具有較高的計(jì)算精度和計(jì)算效率，可用于各類天線陣列-天線罩電磁特性的一體化建模分析。