極大類的capable 3-群
2021-01-14 04:27:10李志秀
李志秀
(晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 晉中 030600)
對于一個給定的群G
， 若存在另一個群H
,使得H
/Z
(H
)?G
，則稱G
可以充當(dāng)中心商, 或稱G
為capable群. 早在1938年Baer在文獻(xiàn)[1]中開始研究中心商問題，后來許多學(xué)者都研究過此問題.對中心商問題的研究,P.Hall在他的p
-群研究的奠基性論文中做了如下評論:“一個群G
需要滿足什么條件才可以充當(dāng)另一個群H
的中心商群，這是個有趣的問題，得到大量的必要條件是比較容易的，但要得到充分條件卻很難.”此外，中心商問題也與覆蓋群的Schur’s理論及射影表示有聯(lián)系.文獻(xiàn)[9-10]借助群的擴(kuò)張理論,通過換位子計(jì)算分別得到了交換的capable群和亞循環(huán)的capable群.文獻(xiàn)[11]得到了內(nèi)交換的capable群.論文得到了一些極大類的capable3-群，并且由群G
構(gòu)造出了群H
，使得H
/Z
(H
)?G
.若無特別說明，文中所用的符號和概念均取自文獻(xiàn)[12-13].
1 主要結(jié)果
下面給出論文的主要結(jié)果. 文中討論的均為極大類的3階群.
定理1
若G
為群G
=〈a
,b
,c
,d
,e
|e
=d
=1,a
=e
,b
=d
e
,c
=e
,[b
,a
]=c
,[c
,a
]=d
,[d
,a
]=e
〉，其中
[c
,b
]=[c
,d
]=[d
,b
]=[d
,e
]=1，或者
G
=〈a
,b
,c
,d
,e
|a
=e
=d
=1,b
=d
e
,c
=e
,[b
,a
]=c
,[c
,a
]=d
,[d
,a
]=e
〉，其中
[c
,b
]=[c
,d
]=[d
,b
]=[d
,e
]=[e
,a
]=1，則G
是capable 群.證明
G
同構(gòu)于第一個群時(shí)，從3階交換群出發(fā),作循環(huán)擴(kuò)張可構(gòu)造出H
，使得H
/Z
(H
)?G
.設(shè)交換群A
=〈d
〉×〈e
〉×〈f
〉?Z
×Z
×Z
3,令映射σ
:d
→df
,f
→f
,e
→ef
， 再把它擴(kuò)充到整個A
上, 可證σ
是A
的3階自同構(gòu).設(shè)〈b
〉是3階循環(huán)群,b
=d
e
且b
在A
上的作用與σ
相同. 令B
=A
〈b
〉=〈b
,d
,e
,f
〉， 則|B
|>=3.在B
中規(guī)定映射β
:b
→bf
,d
→df
,e
→e
,f
→f
,再把它擴(kuò)充到整個B
上, 可證β
是B
的3階自同構(gòu).設(shè)〈c
〉是3階循環(huán)群,c
=e
， 且c
在B
上的作用與β
相同,令C
=B
〈c
〉， 則|C
|>=3.在C
中規(guī)定映射γ
:b
→bc
,c
→cd
,d
→de
,e
→e
, 再把它擴(kuò)充到整個C
上, 可證γ
是C
的3階自同構(gòu).設(shè)〈a
〉是3階循環(huán)群,a
=e
， 且a
在C
上的作用與γ
相同,令H
=C
〈a
〉， 則|H
|>=3.H
=〈a
,b
,c
,d
,e
,f
|f
3=e
=d
=1,a
=e
,b
=d
e
,c
=e
,[b
,a
]=c
,[c
,a
]=d
,[c
,b
]=f
,[d
,a
]=e
,[b
,d
]=[d
,c
]=[b
,e
]=f
〉,其中：[e
,a
]=[e
,c
]=[e
,d
]=[f
,a
]=[f
,b
]=[f
,c
]=[f
,d
]=[f
,e
]=1，中心〈f
〉是3階循環(huán)群,H
/Z
(H
)?G
，G
是capable 群.注
G
同構(gòu)于第二個群時(shí)， 在C
中令c
=e
f
，a
=1， 便可得到相應(yīng)的H
，使得H
/Z
(H
)?G
.定理2
若G
為群G
=〈a
,b
,c
,d
,e
|a
=e
=d
=1,b
=d
,c
=e
,[b
,a
]=c
,[c
,a
]=d
,[d
,a
]=e
〉，其中：[c
,b
]=[c
,d
]=[d
,b
]=[d
,e
]=[e
,a
]=[e
,b
]=1，則G
不是capable 群.
H
=〈a
,b
,Z
(H
)〉， 因?yàn)閇b
,c
]在中心里,所以有[b
,c
]=[b
,c
]=[bc
,bd
]=[b
,c
][b
,d
][c
,d
]，
b
,d
]=1，[b
,c
]=[b
,c
]=[d
,c
]=[c
,d
]=1，
b
,a
]=[b
,a
][c
,a
][d
,a
]=[b
,a
][c
,a
][b
,a
]=[c
,a
]=[c
,a
]，c
與a
交換,c
屬于中心, 矛盾,G
不是capable 群.定理3
若G
為群G
=〈a
,b
,c
,d
,e
|a
=e
,e
=d
=1,b
=d
,c
=e
,[b
,a
]=c
,[c
,a
]=d
,[c
,b
]=[d
,a
]=e
〉，其中
[c
,d
]=[d
,b
]=[d
,e
]=[e
,b
]=1，或者
G
=〈a
,b
,c
,d
,e
|a
=e
,e
=d
=1,b
=d
,c
=e
,[b
,a
]=c
,[c
,a
]=d
,[c
,b
]=[d
,a
]=e
〉，其中
[c
,d
]=[d
,b
]=[d
,e
]=[e
,b
]=1，則G
不是capable 群.
c
,a
]=[e
,a
]=1，c
與a
交換，又[c
,b
]=[c
,b
][e
,a
]=[c
,b
]=[c
,b
]=[cd
,bc
]=[c
,b
][e
,d
][d
,c
][d
,b
]，
c
,a
]=[c
,a
]=[c
,a
]=[c
,a
][d
,e
]，[d
,e
]=1，故[d
,c
]=1，即1=[d
,c
]=[b
,c
]=[b
,c
]=[b
,c
]，c
與b
交換，c
屬于中心, 矛盾,G
不是capable 群.定理4
若G
為群G
=〈a
,b
,c
,d
,e
|a
=e
=d
=1,b
=d
,c
=e
,[b
,a
]=c
,[c
,a
]=d
,[c
,b
]=[d
,a
]=e
〉，其中
[c
,d
]=[d
,b
]=[e
,a
]=[d
,e
]=[e
,b
]=1，則G
不是capable 群.
H
=〈a
,b
,Z
(H
)〉， 由于[c
,b
][e
,a
]=[c
,b
]=[c
,b
]=[cd
,bc
]，
b
,a
]=[b
,a
][c
,a
][d
,a
]=[b
,a
][c
,a
][b
,a
]=[c
,a
]=[c
,a
]，故
1=[c
,a
]=[e
,a
]=[d
,c
]=[b
,c
]，c
與a
，b
交換，c
屬于中心, 矛盾,故G
不是capable 群.