血細(xì)胞生成模型的數(shù)值振動(dòng)性分析
2021-01-14 04:26:46劉子婷
王 琦，劉子婷
(廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510006)
考慮如下非線性延遲微分方程
(1)
其中
β
,γ
,τ
∈(0,∞),a
,b
∈N.(2)
a
=0時(shí), El-Sheikh等得到了方程(1)的振動(dòng)性和全局吸引性條件. Saker對(duì)于廣義的a
和b
進(jìn)行了拓展并改進(jìn)了文獻(xiàn)[3]中的相應(yīng)結(jié)果. 當(dāng)a
=1時(shí), Hale等給出了方程(1)的數(shù)值模擬和混沌問題的結(jié)論. 有關(guān)方程(1)的更多信息, 可參閱文獻(xiàn)[6]及其參考文獻(xiàn). 然而,以前的結(jié)果都是關(guān)于理論分析方面的，很少考慮數(shù)值行為. 作者的目的是研究方程(1)的數(shù)值振動(dòng)性和非振動(dòng)性. 作為微分方程研究領(lǐng)域中最受關(guān)注的問題之一, 振動(dòng)性越來越受到人們的青睞.定理1
考慮差分方程
(3)
假設(shè)k
,l
∈N,q
∈R,j
=-k
,…,l
，則下面兩個(gè)陳述是等價(jià)的:(i) 方程(3)的每一個(gè)解都是振動(dòng)的;
定理2
對(duì)于差分方程a
+1-a
+pa
-+qa
=0,(4)
其中：k
,p
,q
>0, 方程(4)的所有解振動(dòng)的充分必要條件是q
∈(0,1)且
引理1
對(duì)于m
≥M
,有(i) (1+d
/(m
-θd
))≥e.當(dāng)且僅當(dāng)d
>0時(shí)，1/2≤θ
≤1；d
<0時(shí),φ
(-1)≤θ
≤1.(ii) (1+d
/(m
-θd
))d
<0時(shí)，0≤θ
<1/2；d
>0時(shí),0≤θ
≤φ
(1).其中：φ
(x
)=1/x
-1/(e-1),M
是正的常數(shù).
(5)
令
(6)
則(5)式可化為
(7)
1 離散格式
為了減少計(jì)算量和復(fù)雜度，首先引入方程(1)的一個(gè)不變振動(dòng)變換, 然后將數(shù)值方法應(yīng)用到方程被簡化后的形式.
z
′(t
)+γf
(z
(t
))+Qf
(z
(t
-τ
))=0,(8)
其中
f
(u
)=u
,
并且滿足
(9)
h
=τ
/m
為步長,m
為正整數(shù), 將θ
-方法 (0≤θ
≤1)應(yīng)用于(8)式，得z
+1=z
-hθγf
(z
+1)-hθQf
(z
+1-)-h
(1-θ
)γf
(z
)-h
(1-θ
)Qf
(z
-),(10)
其中：z
+1和z
+1-分別是(8)式中z
(t
)和z
(t
-τ
)在t
+1處的近似.
(11)
2 數(shù)值解的振動(dòng)性
將(10)式線性化為
z
+1=z
-hθγz
+1-hθQz
+1--h
(1-θ
)γz
-h
(1-θ
)Qz
-,(12)
整理得
(13)
其中：R
(x
)=(1+(1-θ
)x
)/(1-θx
)是θ
-方法的穩(wěn)定函數(shù). 由文獻(xiàn)[12]知, 如果(13)式在滿足條件(9)時(shí)振動(dòng), 則(10)式就是振動(dòng)的.接下來, 將考慮θ
-方法是否保持了方程(1)的振動(dòng)性，即在定理3成立的前提下, 研究(11)式在什么條件下是振動(dòng)的.引理2
方程(12)的特征方程由下式給出λ
=R
(-h
(γ
+Qλ
-)).(14)
證明
由方程(12)和R
(x
)的表達(dá)式可證.引理3
如果定理3成立, 則特征方程(14)在0≤θ
≤0.5時(shí)沒有正根.證明
設(shè)A
(λ
)=λ
-R
(-h
(γ
+Qλ
-)). 由引理1得R
(-h
(γ
+Qλ
-))≤exp(-h
(γ
+Qλ
-)).(15)
(16)
分以下兩種情形討論:
即
Qτ
ee<1,仍與(7)式矛盾，因此對(duì)于λ
>0，有A
(λ
)=λ
-R
(-h
(γ
+Qλ
-))≥λ
-exp(-h
(γ
+Qλ
-))=B
(λ
)>0,這就意味著特征方程(14)沒有正根. 證畢.
不失一般性, 假設(shè)當(dāng)0.5<θ
≤1時(shí)，總有m
>1.
(17)
證明
易知函數(shù)R
(-h
(γ
+Qλ
-))當(dāng)λ
>0時(shí)關(guān)于參數(shù)θ
單調(diào)上升, 有
接下來證明下式在一定條件下成立
(18)
記
(18)式的左側(cè)可化為
λ
>0時(shí)，ω
(λ
)>0. 顯然,ω
(λ
)是如下差分方程的特征多項(xiàng)式
ω
(λ
)沒有正根當(dāng)且僅當(dāng)下式成立
此式可化為
(19)
因此, 考慮以下兩種情形：
情形1：若Qτ
≥1, 由m
>1知(19)式成立.情形2：若Qτ
<1,h
<τ
(1+γτ
+lnQτ
)/(1+γτ
(1-lnQτ
)), 有
應(yīng)用(9)式、引理3,4和定理1,得到論文的第一個(gè)主要結(jié)論，即定理4.
定理4
如果定理3成立, 則(11)式在如下條件下是振動(dòng)的
3 非振動(dòng)數(shù)值解的漸近行為
證明
不妨假設(shè)對(duì)于充分大的n
，z
>0,有f
(z
)>0,f
(z
)>0. 由(10)式，得z
+1-z
+hθQf
(z
+1-)+h
(1-θ
)Qf
(z
-)=-hθγf
(z
+1)-h
(1-θ
)γf
(z
)<0,(20)
故z
+1-z
<0, 從而{z
}單調(diào)下降，則存在η
≥0，使得
(21)
下面證明η
=0. 如果η
>0, 則存在N
∈N和ε
>0，使得n
-m
>N
,0<η
-ε
<z
<η
+ε
，從而z
->η
-ε
,z
-+1>η
-ε
. 因此由(20)式，得z
+1-z
+hθQf
(η
-ε
)+h
(1-θ
)Qf
(η
-ε
)<0,這就隱含著z
+1-z
<C
<0, 其中
z
→-∞ (n
→∞), 與(21)式矛盾. 證畢.
(22)
在ρ
=1時(shí)的情形. 文獻(xiàn)[15]討論了方程(22)數(shù)值解的振動(dòng)性,得到的結(jié)論是論文相應(yīng)結(jié)果的特殊情形.4 數(shù)值算例
先考慮如下問題
(23)
圖1 問題(23)的解析解(a)和數(shù)值解(b)
再考慮如下問題
(24)
易驗(yàn)證條件(5)不成立, 所以問題(24)的解析解非振動(dòng). 圖2(a)、(b)分別為問題(24)的解析解與數(shù)值解.在圖2中令m
=30,θ
=0.4, 則
n
→∞)，即數(shù)值方法保持了問題(24)的非振動(dòng)解的漸近性, 這與定理5一致.
圖2 問題(24)的解析解(a)和數(shù)值解(b)
總之, 從圖1，2中可以看出，θ
-方法分別保持了問題(23)的振動(dòng)性和(24)的非振動(dòng)性.