孔祥強

(菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山東 菏澤 274015)

四元數(shù)的概念由愛爾蘭數(shù)學(xué)家Hamilton提出，其形式為

H

={

a

+

a

i+

a

j+

a

k;

a

,

a

,

a

,

a

∈R}，i=-1，j=-1，k=-1，ijk=-1.James Cockle給出了分裂四元數(shù)的概念，其形式為

H

={

a

+

a

i+

a

j+

a

k

;

a

,

a

,

a

,

a

∈R}，i=-1，j=1，k=1，ijk=1. 與四元數(shù)代數(shù)

H

不同，分裂四元數(shù)代數(shù)

H

不是除環(huán)，且含有零因子、冪零元和冪等元.在分裂四元數(shù)的研究方面已取得系列成果.Segre在文獻[7]中首次研究了交換四元數(shù)代數(shù)問題，即乘法滿足交換律的四元數(shù)問題，開辟了四元數(shù)研究的新領(lǐng)域.對交換四元數(shù)代數(shù)的研究已取得了部分成果.文獻[11]對交換四元數(shù)進行了詳細闡述，文獻[12]對交換四元數(shù)進行了分類，文獻[13]重點研究了橢圓型交換四元數(shù)及其矩陣.論文研究的是混合型交換四元數(shù)，從兩個方面展開：①給出混合型交換四元數(shù)的復(fù)表示及性質(zhì)；②得到混合型交換四元數(shù)矩陣的指數(shù)形式及相關(guān)定理，并通過算例驗證了求指數(shù)形式新方法的有效性.

1 交換四元數(shù)的復(fù)表示及性質(zhì)

設(shè)

H

={

a

=

a

+i

a

+j

a

+k

a

;

a

,

a

,

a

,

a

∈R}，R為實數(shù)域，且i=-1，j=1，k=-1，ijk=1，ij=ji=-k，jk=kj=-i，ki=ik=j，稱滿足條件的交換四元數(shù)

a

為混合型交換四元數(shù).為敘述方便，以下將混合型交換四元數(shù)簡述為交換四元數(shù).符號Re(

a

)，Im(

a

)分別表示混合型交換四元數(shù)

a

的實部和虛部，即Re(

a

)=

a

，Im(

a

)=i

a

+j

a

+k

a

.設(shè)

a

,

b

∈

H

，則

a

+

b

=(

a

+

b

)+i(

a

+

b

)+j(

a

+

b

)+k(

a

+

b

)，

ab

=(

a

b

-

a

b

+

a

b

-

a

b

)+i(

a

b

+

a

b

-

a

b

-

a

b

)+j(

a

b

+

a

b

+

a

b

+

a

b

)+k(

a

b

-

a

b

-

a

b

+

a

b

).

定理1

任一交換四元數(shù)均可表示為復(fù)數(shù)域

C

上的2階矩陣.

證明

設(shè)

a

=

a

+i

a

+j

a

+k

a

∈

H

，

a

,

a

,

a

,

a

∈R，則

a

=(

a

+i

a

)+j(

a

-i

a

)=

c

+j·

c

，其中

c

=

a

+i

a

，

c

=

a

-i

a

，

c

,

c

∈

C

.定義映射

φ

:

H

→

H

，對于任意的

b

∈

H

，有

φ

(

b

)=

ab

，則

φ

為雙射且

φ

(1)=

a

1=

c

+j

c

，

φ

(j)=

a

j=

c

+j

c

.

依此映射，可定義交換四元數(shù)集合為2階復(fù)矩陣集合

定理2

設(shè),∈×(

H

)，則：

(2) (+)=+；(3) ()=；(4) 若可逆，則()=().

(2) 令=+j，=+j，則+=(+)+j(+)，故

(+)=+.

(3) 由

=(+)+j(+)，

則

故 ()=.(4) 由可逆，則存在可逆矩陣，使得=，由(3)知，()=()=2，故()=().

2 交換四元數(shù)矩陣的指數(shù)表示

對任意的

n

階實矩陣或復(fù)矩陣，其指數(shù)形式記為

g

，

g

∈×(

R

).

g

的冪級數(shù)表示為

(*)

該級數(shù)總是收斂的. 該級數(shù)既定義了指數(shù)映射，也定義了矩陣間的映射，對任意的

n

階交換四元數(shù)矩陣，(*)式成立，且收斂.

定理3

設(shè)∈×(

H

)，為的復(fù)表示形式，則

g

=(

g

).

證明

由定理2，有

故

g

=(

g

).

定理4

設(shè),∈×(

H

)，且滿足=，則

g

+=

g

g

.

證明

設(shè)，的復(fù)表示形式分別為，，由定理2，有()=，()=，又=，故=.

由于結(jié)論對復(fù)矩陣也是成立的，所以

g

(+)=

g

+=

g

g

=(

g

)(

g

)，即 (

g

+)=(

g

g

)，所以

g

+=

g

g

.

下面給出求交換四元數(shù)的指數(shù)形式的方法.

若為交換四元數(shù)

a

的復(fù)表示，則由定理3，可得

a

的指數(shù)形式

g

.

定理5

設(shè),∈×(

H

)，且可逆，則

g

=

g

.

證明

由定理2，有()=()=()，由于對復(fù)矩陣結(jié)論成立，則

g

()=

g

()，

故

g

()=

g

()，

又由定理3，有

g

()=(

g

)，

所以

g

()=(

g

)，

g

=

g

.設(shè)=(

a

)∈×(

H

)，稱的主對角線元素的和為的跡，記作tr，即

由于

由定理4，有

由定理2，有

則

故

所以

則

其特征值為2,-2,0,0.

令

其中：的列由的屬于特征值的特征向量構(gòu)成.求得

于是=，其中=diag(2,-2,0,0).

由復(fù)矩陣指數(shù)表示的性質(zhì)，有

g

=diag(e,e,1,1)=

由定理3，有

由定理6，有

定理7

設(shè)∈×(

H

)，tr為的跡，則|

g

|>=

g

2Re(tr).

證明

令=+j，,∈×(

C

)，為的復(fù)表示，則=，=diag(

λ

,

λ

,…,

λ

2)，

λ

(

p

=1,2,…,2

n

)為的特征值，所以

g

=g，兩邊取行列式|

g

|>=||>|

g

|>||>，又|

g

|>=

g

g

…

g

2，故|

g

|>=

g

++…+2=

g

tr，

即

|

g

|>=|(

g

)|>=|

g

|>=|

g

|>=

g

tr.由復(fù)表示定義及跡的性質(zhì) tr=tr(+)=2Re(tr)，故|

g

|>=

g

2Re(tr).

推論1

設(shè)∈×(

H

)，則|

g

|>=1?Re(tr)=0.

定理8

設(shè)∈×(

H

)，

λ

為的實特征值，則

g

為

g

的特征值.

證明

由題意，存在非零的交換四元數(shù)向量

x

，滿足

x

=

λx

，則

x

=

λ

x

(

l

=1,2,…).

又

即

故

g

為

g

的特征值，且屬于特征值

g

的特征向量仍為向量

x

.

推論2

設(shè)∈×(

H

)，

λ

為的實特征值，則

g

也為

g

的特征值.

3 結(jié)束語

交換四元數(shù)理論在控制論、群論、計算機圖形圖像學(xué)等方面均有重要的應(yīng)用.交換四元數(shù)的類型主要分為橢圓型、雙曲型、拋物型和混合型等. 通過對混合型交換四元數(shù)的研究，給出了利用混合型交換四元數(shù)的復(fù)表示求混合型交換四元數(shù)矩陣指數(shù)形式的新方法. 以復(fù)表示為基礎(chǔ)，也可展開對混合型交換四元數(shù)矩陣的逆矩陣問題、可對角化問題、廣義對角化問題的研究.