李丹彤，楊 穎

(長(zhǎng)春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130000)

1 預(yù)備知識(shí)

糖酵解是一種通過(guò)代謝過(guò)程將葡萄糖轉(zhuǎn)化為丙酮酸的生化反應(yīng)，是活細(xì)胞利用葡萄糖獲得能量的方法.文獻(xiàn)[1]給出了一個(gè)基本模型，它可以通過(guò)以下兩個(gè)耦合的一階微分方程[2]來(lái)表示：

(1)

其中：x和y分別表示二磷酸腺苷(ADP)和磷酸果糖(F6P)的濃度；參數(shù)(α，β)非負(fù).方程(1)為無(wú)量綱化之后的形式，容易看出P(β，β/(α+β2))是系統(tǒng)(1)的唯一正平衡點(diǎn).如果適當(dāng)選擇參數(shù)α和β，系統(tǒng)(1)存在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)[3].此外，有關(guān)糖酵解數(shù)學(xué)模型的細(xì)節(jié)可見(jiàn)文獻(xiàn)[4-6].文獻(xiàn)[7-9]擴(kuò)展了對(duì)于糖酵解模型的分支分析和定性性質(zhì)的研究.文獻(xiàn)[10]構(gòu)造了一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)差分形式，利用離散時(shí)間模型的極限環(huán)行為證明了解的正性.文獻(xiàn)[11]討論了離散時(shí)間模型的定性行為、分岔分析和混沌控制.

本文旨在研究隨機(jī)糖酵解模型的動(dòng)力學(xué)行為.最近通過(guò)研究一些隨機(jī)化學(xué)反應(yīng)模型得到了它們的遍歷性[12-14].顯然，生化反應(yīng)模型不可避免地會(huì)受到環(huán)境白噪聲的影響.反應(yīng)中的催化劑、溶劑、溫度等因素都會(huì)對(duì)反應(yīng)過(guò)程產(chǎn)生影響，因此在化學(xué)反應(yīng)中考慮隨機(jī)擾動(dòng)是合理的.現(xiàn)將確定性糖酵解模型(1)加入白噪聲系統(tǒng)擾動(dòng)，將其轉(zhuǎn)化為伊藤隨機(jī)微分方程：

(2)

首先給出一些常用的記號(hào)和公式.在本文中，令

除非另行說(shuō)明，總假設(shè)(Ω，F(xiàn)，{Ft}t≥0，P)為滿足通常條件(右連續(xù)且F0包含所有的零測(cè)集)的帶有域流{Ft}t≥0的完全概率空間.下面考慮給定初始值x(t0)=x0∈R+的d維隨機(jī)微分方程：

dx(t)=f(x(t)，t)dt+g(x(t)，t)dB(t)，t>t0.

(3)

LV(x，t)=Vt(x，t)+Vx(x，t)f(x，t)+1/2trace[gT(x，t)Vxx(x，t)g(x，t)].

dV(x(t)，t)=LV(x(t)，t)dt+Vx(x(t)，t)g(x(t)，t)dB(t).

2 正解的存在唯一性

首先說(shuō)明系統(tǒng)(2)的解是正的和全局的.對(duì)于任意初始值，為了得到唯一的全局解，即解在有限時(shí)間內(nèi)不會(huì)爆破，方程的系數(shù)被要求滿足局部Lipschitz條件和線性增長(zhǎng)條件[15].然而隨機(jī)系統(tǒng)(2)中的xy2項(xiàng)是非線性的，因此系統(tǒng)(2)的系數(shù)顯然不滿足線性增長(zhǎng)條件.這樣解可能會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破.這里利用Lyapunov分析方法，說(shuō)明系統(tǒng)(2)的解如文獻(xiàn)[16-18]提到的那樣是正的和全局的.

定理2.1如果σ1，σ2滿足

(4)

P{τn≤T}>ε.

(5)

dV(x，y)=LVdt+σ1(x-1)dB1(t)+σ2(y-1)dB2(t)+k1(x+y)(σ1xdB1(t)+σ2ydB2(t))+k2σ2y2dB2(t).

(6)

這里L(fēng)是系統(tǒng)(2)的生成算子，且有

(7)

(8)

(9)

由函數(shù)V(x，y)的定義及(7)—(9)式，可得

(10)

3 遍歷性

先給出文獻(xiàn)[20]中的一個(gè)重要引理，讀者也可以參考文獻(xiàn)[21].

引理3.2設(shè)X(t)是El中正則時(shí)間的齊次Markov過(guò)程.如果X(t)相對(duì)于某個(gè)有界域U是遞歸的，那么它相對(duì)于El中的任何非空域都是遞歸的.

定理3.1如果σ1，σ2滿足

(11)

證明為了證明這個(gè)定理，需要證明在條件(11)滿足的情況下，引理3.1中的條件(B1)和(B2)成立.首先，將系統(tǒng)(2)寫成以下形式：

由于條件(11)成立，所以可以取C1，C2，C3為正常數(shù)，滿足：

(12)

LV≤-(C2+C3-C1β)x-[αC2-β(1+C1)]y-C3β/y-αC3y/x+C3x2+K.

(13)

K-βC3/ε<-1，

(14)

K-αC3/ε<-1，

(15)

K-(C2+C3-C1β)/ε2<-1，

(16)

K-[αC2-β(1+C1)]/ε<-1.

(17)

基于對(duì)上述情形的討論，引理3.1中的條件(B2)也滿足.這樣就完成了定理3.1的證明.

4 數(shù)值模擬

假設(shè)時(shí)間的單位為min，反應(yīng)物的濃度單位為mol/L.在模型(2)中選取兩組不同的參數(shù)值，得到了模型(1)和模型(2)的散點(diǎn)分布比較圖，并進(jìn)一步模擬了隨機(jī)系統(tǒng)的解及其直方圖.選取Δt=0.002，使用MATLAB軟件進(jìn)行模擬.

(a)確定性系統(tǒng)(1) (b)隨機(jī)模型(2)

例4.2系統(tǒng)(2)的參數(shù)選取如下：α=0.099，β=0.8，σ1=0.1，σ2=0.1.選取與例4.1相同的初始值，可以計(jì)算出P(x*，y*)=P(0.8，0.988).圖2給出了常微分模型(1)和相應(yīng)的隨機(jī)模型(2)的散點(diǎn)分布對(duì)比圖.圖2表明，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周圍有一個(gè)極限環(huán).

(a)確定性系統(tǒng)(1) (b)隨機(jī)模型(2)

例4.3系統(tǒng)(2)中參數(shù)的選取與例4.1相同，則系統(tǒng)(2)滿足定理3.1中的條件(11).由此可得一個(gè)平穩(wěn)分布，見(jiàn)圖3右側(cè)的直方圖.圖3的左圖顯示系統(tǒng)(2)的解在一個(gè)小鄰域內(nèi)波動(dòng).

圖3 例4.3中隨機(jī)系統(tǒng) (2)的解及其直方圖

例4.4系統(tǒng)(2)中的參數(shù)的選取與例4.2相同，隨機(jī)系統(tǒng)的模擬結(jié)果如圖4所示.

圖4 例4.2中隨機(jī)系統(tǒng)(2)的解及其直方圖

從模擬的結(jié)果可以看出，確定性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)有時(shí)是穩(wěn)定的，有時(shí)存在極限環(huán).在糖酵解模型中加入隨機(jī)擾動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)隨機(jī)化學(xué)的糖酵解模型.如果白噪聲的強(qiáng)度滿足定理3.1的條件，則無(wú)論確定性系統(tǒng)平衡點(diǎn)的形式如何，相應(yīng)的隨機(jī)模型都具有遍歷性.而且似乎白噪聲的加入導(dǎo)致了糖酵解系統(tǒng)的弱穩(wěn)定性.