楊廣宇， 趙建彬

(1.鄭州大學(xué) >數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，鄭州450001；2.河南省大數(shù)據(jù)研究院，鄭州450001)

1 引 言

隨機(jī)的想法已經(jīng)滲透到科學(xué)的各個(gè)角落，在連續(xù)幾屆 Fields 獎(jiǎng)授予概率學(xué)者(2006 Wendelin Werner，2010 Stanislav Smirnov，2014 Martin Hairer)之后，2019 年Wolf 獎(jiǎng)授予了兩位概率大師Gregory F. Lawler，Jean-Fran?ois Le Gall，2019年邵逸夫獎(jiǎng)授予了概率大師Michel Talagrand. 這些都表明：概率論已正式進(jìn)入主流數(shù)學(xué)領(lǐng)域.在此背景下，作為數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課的《概率論》課程該如何開(kāi)展呢？筆者一直堅(jiān)信，教學(xué)不僅是傳授知識(shí)，更重要的是啟智，為學(xué)生多打開(kāi)幾扇窗；此外，數(shù)學(xué)是一個(gè)整體，概率與現(xiàn)實(shí)世界關(guān)系緊密，因而是可以讓學(xué)生結(jié)合所學(xué)內(nèi)容做一些相關(guān)性研究課題的，譬如Berkerley大學(xué)統(tǒng)計(jì)系David Aldous的創(chuàng)新性課程Probability and Real World就是結(jié)合現(xiàn)實(shí)問(wèn)題以分組課題研究形式來(lái)開(kāi)展的.劉柏森[1]對(duì)概率統(tǒng)計(jì)研究性教學(xué)改革做了一些有益的討論；周玲[2]結(jié)合抽象思維能力的培養(yǎng)，給出了概率論研究性教學(xué)的一點(diǎn)思考；秦旭等人[3]探討了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中課程小論文寫(xiě)作對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)的作用.如上文獻(xiàn)大多是在大學(xué)公共課背景下進(jìn)行的教學(xué)研究探索，筆者結(jié)合數(shù)學(xué)專業(yè)實(shí)際情況，在教學(xué)中針對(duì)學(xué)科融合式的研究性教學(xué)做了一些有益的嘗試，主要圍繞概率論中的基本結(jié)果，著重于隨機(jī)的想法與各學(xué)科，譬如分析、代數(shù)、物理等的交互滲透，特別強(qiáng)調(diào)了概率方法的“潤(rùn)滑劑”效應(yīng).

2 交叉融合的教學(xué)探索與實(shí)踐

結(jié)合我院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)培養(yǎng)方案，緊扣《概率論》課程教學(xué)大綱，針對(duì)某些知識(shí)點(diǎn)，將學(xué)科融合式研究性教學(xué)加入了教學(xué)設(shè)計(jì)，開(kāi)展了一些專題性教學(xué)探索與實(shí)踐.

2.1 Jordan公式應(yīng)用之自然數(shù)互素問(wèn)題

引入概率公理化定義之后，通常會(huì)討論概率的一些基本性質(zhì)，譬如加法公式等，而如下的Jordan公式則是加法公式的自然推廣.

定理1(Jordan 公式，[4]) 設(shè)(Ω,I,P)是完備概率空間，An∈I,n≥1，則

(1)

定義

則由Jordan 公式可得

(2)

注意到

因而可得

其中無(wú)窮乘積中的q取遍所有素?cái)?shù).又由Euler乘積公式

(3)

注 關(guān)于兩個(gè)自然數(shù)互素的問(wèn)題有很多相關(guān)討論，譬如文獻(xiàn)[6].可以進(jìn)一步地問(wèn)：任取r個(gè)自然數(shù)，它們恰好互素的可能性是多少？它們恰好兩兩互素的可能性又是多少？并且這些問(wèn)題能否推廣到有限域上多項(xiàng)式環(huán)呢？譬如任意取兩個(gè)多項(xiàng)式，它們恰好互素的可能性有多大呢？這些都牽涉到概率思想的應(yīng)用，且沒(méi)有超出本科生的學(xué)習(xí)范圍，因而可作為本科生研究課題，讓學(xué)生進(jìn)行分組探索，增加趣味性之余，也鍛煉了學(xué)生的科研能力.

2.2 獨(dú)立性探討之Euler乘積公式與素?cái)?shù)無(wú)窮多之概率證明

為理解獨(dú)立性，課程中試著構(gòu)造合式的概率空間，用概率的想法來(lái)討論Euler乘積公式及素?cái)?shù)有多少個(gè)的問(wèn)題.

考慮如下的概率模型：

其中ζ(s)為如前所定義的Riemann zeta函數(shù)，則(Ω,I,P)是概率空間.任給正整數(shù)m，記Dm=m+，則Dm∈I，并且有

令p1,p2,…,pk為k個(gè)不同的素?cái)?shù)，有Dp1p2…pk=Dp1∩Dp2∩…∩Dpk，因而

(4)

注 獨(dú)立性是概率論中最重要的概念之一，隨機(jī)思維也有其獨(dú)特作用，其與Euler乘積公式及素?cái)?shù)的多少?zèng)]有任何關(guān)系，但是通過(guò)適當(dāng)概率模型的構(gòu)造，卻能用概率工具給出數(shù)論中深刻定理的簡(jiǎn)易證明，這不但震撼了我，更震撼了學(xué)生，讓其對(duì)獨(dú)立性、概率思維及數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性有了更深的理解.注意到，Martin Aigner, Gunter M. Ziegler[7]所著《Proofs from THE BOOK》中開(kāi)篇就是“素?cái)?shù)無(wú)限的六種證明”，其充分體現(xiàn)了分析、代數(shù)、幾何與拓?fù)?，也即?shù)學(xué)的統(tǒng)一性！事實(shí)上，概率方法在數(shù)論中很活躍，也很深刻，Pal Turan, Alfred Renyi, Mark Kac, Paul Erdos等在這方面有開(kāi)拓性的貢獻(xiàn)，該領(lǐng)域針對(duì)本科生也有很多有趣的課題可做，譬如Mark Kac的優(yōu)美小書(shū)[8].

2.3 條件概率之隨機(jī)游動(dòng)與輸光問(wèn)題

設(shè)某粒子在整數(shù)格子點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)，其出發(fā)點(diǎn)為0，若時(shí)刻n處于位置x，則n+1時(shí)刻處于位置x+1的概率為p，處于位置x-1的概率為q=1-p. 用Sn表示粒子時(shí)刻n所處的位置，則有S0=0，

P(Sn+1=x+1|Sn=x)=p=1-P(Sn+1=x-1|Sn=x).

稱{Sn,n≥0}為整數(shù)格子點(diǎn)上的簡(jiǎn)單隨機(jī)游動(dòng).

輸光問(wèn)題是隨機(jī)游動(dòng)理論中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題：拋一枚硬幣，P(“正面”)=p，P(“反面”)=q=1-p，甲乙兩人進(jìn)行如下賭博游戲，獨(dú)立拋擲該硬幣，若“正面”出現(xiàn)，則甲贏得一元錢(qián)，若“反面”出現(xiàn)，則甲輸?shù)粢辉X(qián)；現(xiàn)給定正整數(shù)N，設(shè)甲初始有0≤x≤N元錢(qián)，若甲的錢(qián)數(shù)達(dá)到0或者達(dá)到N，則游戲結(jié)束，試問(wèn)游戲以甲輸光結(jié)束的概率？注意到，該問(wèn)題恰好可以用前面的隨機(jī)游動(dòng)模型來(lái)描述.記Sn為n局后甲擁有的錢(qián)數(shù)，ux=P(甲輸光|S0=x)，則對(duì)任意的整數(shù)0

ux=P(甲輸光,S1=x-1|S0=x)+P(甲輸光,S1=x+1|S0=x)

=qP(甲輸光|S1=x-1,S0=x)+pP(甲輸光|S1=x+1,S0=x)

=qux-1+pux+1.

(6)

注意到u0=1，uN=0. 解上述帶邊界的線性方程組可得

(i)p=q=1/2，ux=(N-x)/N；

(ii)p≠q，ux=[(q/p)x-(q/p)N]/[1-(q/p)N].

顯見(jiàn)，若游戲是公平的，則甲初始資本越小，其輸光概率越大，初始資本越大，其輸光概率越小.

注 教學(xué)實(shí)踐中，可鼓勵(lì)并指導(dǎo)學(xué)生分小組進(jìn)行延伸閱讀，如隨機(jī)游動(dòng)的常返與暫留問(wèn)題、隨機(jī)游動(dòng)與電網(wǎng)理論(離散位勢(shì)理論)、自規(guī)避隨機(jī)游動(dòng)、高分子聚合物的隨機(jī)游動(dòng)模型、金融領(lǐng)域的隨機(jī)游動(dòng)假設(shè)等等；結(jié)合R語(yǔ)言或Python的應(yīng)用，也可對(duì)隨機(jī)游動(dòng)、自規(guī)避隨機(jī)游動(dòng)的軌道進(jìn)行模擬研究，進(jìn)而導(dǎo)出布朗運(yùn)動(dòng).

2.4 一階矩、二階矩方法之分析與組合

概率論中的一階矩、二階矩方法非常簡(jiǎn)單，但其使用方便、威力巨大.為體現(xiàn)學(xué)科交融，課堂上分別從分析和組合兩方面討論了該方法的應(yīng)用.

定理2(一階矩方法，[9]) 設(shè)X是非負(fù)隨機(jī)變量，則

(i) 對(duì)任意t>0，有P(X≥t)≤E(X)/t；

(ii) 進(jìn)一步的，若又有E(X2)<∞，則對(duì)任意t>0，有P(|X-EX|≥t)≤Var(X)/t2.

定理3(二階矩方法，[9]) 設(shè)X是非負(fù)隨機(jī)變量且E(X2)<∞，則

(i) 對(duì)任意0≤t≤1，有P(X>tE(X))≥(1-t)2[E(X)]2/E(X2)；

(ii) 特別的，有P(X>0)≥[E(X)]2/E(X2).

Weierstrass逼近定理設(shè)f∶[0,1]→是連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意ε>0，存在多項(xiàng)式函數(shù)p(x)使得也即多項(xiàng)式函數(shù)在(C([0,1]),||·||)中稠密.

證該證明屬于Bernstein. 任給0≤x≤1，令Bn～Bin(n,x)，定義n次多項(xiàng)式

注意到

其中Aδ={ω∈Ω:|x-Bn/n|>δ}. 由于f是[0,1]上連續(xù)函數(shù)，因而可取到最大值并且一直連續(xù).從而可選適當(dāng)?shù)摩氖沟?/p>

另一方面，應(yīng)用Chebyshev不等式可得

P(Aδ)=P(|x-Bn/n|>δ|)≤x(1-x)/(nδ2)≤1/(4nδ2)，

可選充分大的n使得任意的0≤x≤1，都有

注意到，{2i,0≤i≤log2(n)}是具有不同和的，因而f(n)≥log2(n)+1. Paul Erdos 猜想：存在常數(shù)C使得f(n)≤log2(n)+C. 可“無(wú)中生有”，用概率方法給出f(n)的一個(gè)上界估計(jì).

P(|X-E(X)|>t)≤t-2Var(X)=λ-2.

因而

由注意到Var(X)≤kn2/4，有

由λ>1及其任意性可知

從而可得

k≤log2(n)+2-1log2(log2(n))+O(1).

也即得到了f(n)的一個(gè)上界估計(jì).

注 Weierstrass逼近定理是分析中的經(jīng)典結(jié)果，將概率思維應(yīng)用過(guò)來(lái)，證明顯得清晰又簡(jiǎn)潔，是概率與分析交融的典型代表；不同和是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)有趣問(wèn)題，這里雖沒(méi)有隨機(jī)的影子，但通過(guò)隨機(jī)想法的引入，應(yīng)用簡(jiǎn)單的概率方法卻給出了該問(wèn)題的一個(gè)上界估計(jì)，其雖距離Paul Erdos的猜想還有一段距離，但讓學(xué)生體驗(yàn)到概率威力的同時(shí)也有了研究課題：能否進(jìn)一步精確上界估計(jì)呢？事實(shí)上，概率方法與組合數(shù)學(xué)相互交融，博大精深，妙趣橫生，可參見(jiàn)專著 [9].一階矩、二階矩方法除上面應(yīng)用之外，在其它領(lǐng)域，譬如概率數(shù)論、圖論、隨機(jī)算法、滲流等等，也有很廣泛的應(yīng)用.特別的，滲流是統(tǒng)計(jì)物理中的一個(gè)重要領(lǐng)域，其問(wèn)題敘述簡(jiǎn)單易懂，但解決極其困難，在此領(lǐng)域已產(chǎn)生多位Fields獎(jiǎng)得主，但是在本科概率論教學(xué)中卻可以應(yīng)用一階矩、二階矩方法給出樹(shù)上滲流概率的一個(gè)簡(jiǎn)單估計(jì)，這不但可以拓展學(xué)生的視野，展示隨機(jī)想法的威力，更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概率的興趣.

3 教學(xué)效果

在概率論課程中有意識(shí)地引入交叉融合式研究性教學(xué)設(shè)計(jì)，主要萌發(fā)于本人對(duì)數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的看法及初心——播下隨機(jī)的“種子”.至今，共實(shí)踐有四屆約367名學(xué)生.在課程開(kāi)始、期中、期末及學(xué)生考取研究生后都有一定的跟蹤反饋并做了一些調(diào)查，應(yīng)該說(shuō)部分達(dá)到了目標(biāo)——增加了學(xué)生對(duì)隨機(jī)的興趣，播下了幾粒隨機(jī)的種子.筆者給出了關(guān)于調(diào)查和反饋的簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)分析圖，見(jiàn)圖1、圖2.

圖1 興趣變化趨勢(shì)圖

圖2 概率論期末成績(jī)

從圖中可以看出，隨著課程的展開(kāi)，充分調(diào)動(dòng)了大多數(shù)同學(xué)的積極性與興趣，特別是有些同學(xué)有持續(xù)的濃厚興趣；課下與學(xué)生溝通及學(xué)生評(píng)教系統(tǒng)反饋也證實(shí)了這一點(diǎn)；課程難度有所增大，對(duì)學(xué)生的努力程度要求比較高，少部分同學(xué)選擇了放棄，部分同學(xué)嘗試進(jìn)行了課題研究，并撰寫(xiě)了研究報(bào)告，這在期末成績(jī)上也有體現(xiàn).

4 結(jié) 論

以上是筆者在我院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科《概率論》課程教學(xué)過(guò)程中關(guān)于學(xué)科融合式研究性教學(xué)的一點(diǎn)探索和實(shí)踐，期間也出現(xiàn)了一些問(wèn)題，譬如在教學(xué)改革中怎樣掌控課程的廣度與深度，平衡教師、學(xué)生關(guān)系，選取恰當(dāng)?shù)膶W(xué)科材料，因材施教等等，希望本文可以起到拋磚引玉的作用.事實(shí)上，上述只是冰山一角，諸如Erdos-Renyi隨機(jī)圖的相變現(xiàn)象、期望與朋友圈、優(yōu)惠券收集、矩問(wèn)題、Borel-Cantelli引理之圓周覆蓋問(wèn)題等等，契合本科生的研究課題大有可為.特別的，李賢平、方毅[10]與David Aldous的網(wǎng)上課程都是非常好的資源，有很多生動(dòng)活潑的本科生可操作的課題，所謂教學(xué)相長(zhǎng)可能就來(lái)源于斯.或許部分教師認(rèn)為本人的這些探索和實(shí)踐過(guò)于數(shù)學(xué)化、理想化，失去了趣味性，概率應(yīng)該更生動(dòng)活潑.其實(shí)，教師可借用多種手段向?qū)W生展示概率的思維特點(diǎn)，讓學(xué)生自己去體味概率的魅力，在數(shù)學(xué)統(tǒng)一性上去欣賞她的美，從而不斷地提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng).如果確覺(jué)無(wú)味，可嘗試把R語(yǔ)言及Python引入進(jìn)來(lái)，讓學(xué)生做一些隨機(jī)模擬，譬如重要分布、大數(shù)定律及中心極限定理的可視化，蒲豐投針的進(jìn)一步研究與蒙特卡洛算法，Bayes公式再認(rèn)知，隨機(jī)游動(dòng)軌道實(shí)現(xiàn)等等.作為師者，對(duì)“概率”懷癡愛(ài)之心，不斷去理解“她”，盡可能把“概率思維”的魅力通過(guò)各種途徑展現(xiàn)出來(lái)，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的探究之心，最終達(dá)到師者傳道啟智之初心.

致謝作者衷心感謝審稿人，其有益建議使得本文得到了很大的改進(jìn)！