哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳)實(shí)驗(yàn)學(xué)校(518000) 王 偉

香港教育大學(xué)數(shù)學(xué)與資訊科技學(xué)系 張僑平

廣東省深圳市教育科學(xué)研究院(518000) 林 煒

1 引言

在演繹幾何的教學(xué)當(dāng)中,要說(shuō)明一個(gè)結(jié)論的正確,需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明;而要說(shuō)明一個(gè)結(jié)論不正確,只需要舉出一個(gè)反例即可. 這兩個(gè)方面都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科言必有據(jù)的特點(diǎn). 不過(guò)在教學(xué)中,我們比較多重視前者,著重培養(yǎng)學(xué)生演繹推理的能力. 對(duì)于舉反例,我們強(qiáng)調(diào)的不多. 或許有人以為,舉反例只是用特殊實(shí)例取代一般的正規(guī)證明,比不上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理. 事實(shí)上,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師若能根據(jù)教學(xué)實(shí)際需要,舉出合適的反例, 不僅有助于幫助學(xué)生加深對(duì)概念的理解,也能培養(yǎng)學(xué)生的批判性思考能力[1]. 本文以初中平面幾何中全等三角形這一課題為例,來(lái)說(shuō)明反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用及其教學(xué)意義.

全等三角形的學(xué)習(xí)是初中生從直觀(guān)認(rèn)識(shí)幾何圖形到學(xué)會(huì)根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)進(jìn)行演繹推理的重要階段,也是學(xué)生第一次比較全面的學(xué)習(xí)幾何的演繹證明. 在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011 版)中,關(guān)于全等三角形的知識(shí)要求為:“理解全等三角形的概念,能識(shí)別全等三角形中的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角;掌握基本事實(shí): 兩邊及其夾角相等的兩個(gè)三角形全等. 掌握基本事實(shí): 兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等;掌握基本事實(shí): 三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等;證明定理: 兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等以及探索并掌握判定直角三角形全等的‘斜邊,直角邊’定理”[2]. 對(duì)于這些基本要求,不同的教師會(huì)通過(guò)不同的方式教學(xué),幫助學(xué)生將這些知識(shí)熟練掌握. 而考驗(yàn)學(xué)生是否真正掌握和理解,他們能否接受這一系列的“基本事實(shí)”和“定理”等,從而在解題中熟練運(yùn)用,一般都只能通過(guò)考試來(lái)檢驗(yàn).

從全等三角形概念入手,兩個(gè)“完全重合”的三角形是全等三角形,因此,全等三角形除了對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊相等之外,跟圖形的度量相關(guān)的三角形的對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)和面積也相等.以北師大版(2015)初中數(shù)學(xué)為例[3],在常規(guī)的教學(xué)中,學(xué)生要理解全等三角形如上的所有性質(zhì),一開(kāi)始是通過(guò)將兩個(gè)三角形進(jìn)行重合的具體動(dòng)手操作活動(dòng),形成對(duì)圖形全等的直觀(guān)認(rèn)識(shí),這樣的直觀(guān)操作后,學(xué)生也比較容易理解“全等”的概念. 接下來(lái)就是逐一介紹兩個(gè)三角形全等的種種性質(zhì),包括對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊相等(對(duì)應(yīng)周長(zhǎng),對(duì)應(yīng)面積,對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn),對(duì)應(yīng)邊上的高,對(duì)應(yīng)角的角平分線(xiàn)在之前的全等圖形章節(jié)中進(jìn)行了學(xué)習(xí)). 最后,也是比較重要的一部分,需要向?qū)W生教授全等三角形的判定條件,滿(mǎn)足怎樣的條件兩個(gè)三角形才是“全等三角形”. 再利用尺規(guī)作圖驗(yàn)證全等的幾個(gè)判定條件,最后利用全等三角形測(cè)量距離進(jìn)行實(shí)際的運(yùn)用,學(xué)生就算是學(xué)完了全等形這一課題. 整個(gè)教學(xué)流程圖可見(jiàn)圖1.

圖1

順著這樣的教學(xué)路徑,知識(shí)邏輯是清楚的,學(xué)生也應(yīng)明白的. 然而在實(shí)際教學(xué)的反饋中,我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于兩個(gè)三角形的全等判定定理的理解,學(xué)生掌握的情況并不是太好. 雖然學(xué)生也能夠熟練的將這五種判定方法“倒背如流”,但在具體運(yùn)用中,會(huì)“張冠李戴”,將全等三角形的性質(zhì)與判定弄混亂.特別在遇到條件復(fù)雜時(shí)(判定條件需要自行尋找判斷),不知如何選擇策略. 究其原因,主要還是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)于判定定理的學(xué)習(xí)基本停留在表層的再現(xiàn)和復(fù)述,沒(méi)有深入理解幾種判定條件的實(shí)質(zhì),做不到靈活地分析和運(yùn)用.

如果縱觀(guān)整個(gè)三角形全等的判定學(xué)習(xí)過(guò)程,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)整個(gè)教學(xué)內(nèi)容基本都是集中在對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊的尋求(無(wú)論教科書(shū)還是練習(xí)題都是如此),留給學(xué)生自行探索和思考的空間都還比較窄. 那么,能否通過(guò)逆向思維,幫助學(xué)生更好的理解和掌握三角形的判定定理. 逆向的思考,對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并非第一次經(jīng)歷. 我們知道,定理的逆命題不一定成立,如“兩直線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等”的逆命題“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線(xiàn)平行”是成立的;而對(duì)于“對(duì)頂角相等”這個(gè)定理的逆命題“相等的角是對(duì)頂角”是不成立的. 因此,對(duì)于全等三角形如上的性質(zhì)定理,學(xué)生也可以通過(guò)思考它們的逆命題是否成立,從而探究出全等三角形的判定: 只有哪些條件,并不能證明三角形全等.

2 全等三角形反例教學(xué)的過(guò)程

2.1 性質(zhì)定理“全等三角形對(duì)應(yīng)角相等”的逆命題:“對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等”不一定成立. 具體分析過(guò)程如下:

(1)只有一組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不全等. 通過(guò)展示出下圖的幾組反例均可證明該逆命題不成立, 如圖2 中反例,兩組三角形中均有對(duì)應(yīng)相等的∠A, 但這兩組三角形也明顯不全等.

圖2

(2)兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不全等. 通過(guò)三角形的內(nèi)角和等于180°易知這兩個(gè)三角形的第三組內(nèi)角一定也對(duì)應(yīng)相等,通過(guò)展示如圖3 的反例可以得到證明. ΔABC和ΔAB′C′中,B′C′//BC, 因此兩個(gè)三角形三組對(duì)應(yīng)角都相等,但這兩個(gè)三角形并不全等. (課堂上,教師也可以借助于教師用的大直角三角板和學(xué)生用的小直角三角板舉反例)

圖3

2.2 性質(zhì)定理“全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等”的逆命題:“對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)三角形全等”不一定成立. 具體分析過(guò)程如下:

(1)一組對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)三角形不一定全等. 教學(xué)中可以展示如圖4 的反例: 在幾何畫(huà)板中,構(gòu)造ΔABC和空間內(nèi)不同于點(diǎn)A的另一點(diǎn)A′,連接A′B,A′C,構(gòu)造出ΔA′BC,ΔABC和ΔA′BC有共同的BC邊, 但由于A′的隨意性,這兩個(gè)三角形不一定全等. (當(dāng)且僅當(dāng)A′為點(diǎn)A關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是,兩個(gè)三角形全等)

圖4

圖5

(2)兩組對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)三角形也不一定全等,展示如圖5 反例: 在幾何畫(huà)板中,構(gòu)造線(xiàn)段AB,以點(diǎn)B為圓心,任意長(zhǎng)為半徑作圓,在圓周上任取兩點(diǎn)C、D,因?yàn)閳A周上的點(diǎn)到圓心的距離相等, 即BC=BD. 連接AC,AD, 構(gòu)造ΔABC與ΔABD, 這兩個(gè)三角形中,AB=AB(公共邊) ,BC=BD,滿(mǎn)足兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊相等,但明顯這兩個(gè)三角形不一定全等. (當(dāng)且僅當(dāng)C、D關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)時(shí),兩個(gè)三角形全等)

(3)三組對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)三角形一定全等(SSS).這是一個(gè)正確的結(jié)論,是教科書(shū)中的“基本事實(shí)”. 三條邊的長(zhǎng)度確定了,這個(gè)三角形也就唯一確定,這也可以用來(lái)說(shuō)明“三角形穩(wěn)定性”. 教材的后續(xù)內(nèi)容“用尺規(guī)作圖做三角形”一節(jié)中,會(huì)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論的正確性.

在上述對(duì)性質(zhì)定理的“逆命題”的學(xué)習(xí)研究中,通過(guò)恰當(dāng)?shù)姆蠢?使學(xué)生能夠?qū)Α霸趦蓚€(gè)三角形中,如果只有一組,兩組對(duì)應(yīng)角(對(duì)應(yīng)邊)相等兩個(gè)三角形都不一定全等”這些不成立的逆命題的理解更為清晰明確,也對(duì)“三條對(duì)應(yīng)邊兩個(gè)三角形全等”(SSS)的結(jié)論有了更直觀(guān)的認(rèn)識(shí).

2.3 對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角組合相等的兩個(gè)三角形不一定全等. 具體分析如下:

(1)一組對(duì)應(yīng)邊,一組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等. 可以通過(guò)如圖6 反例得到證明: 在幾何畫(huà)板中, 構(gòu)造ΔABC, 在AC邊上任取不與A、C重合的點(diǎn)D, 連接BD,構(gòu)造ΔABD,在這兩個(gè)三角形中,∠A= ∠A(公共角),AB=AB(公共邊),但明顯這樣的兩個(gè)三角形不全等.

圖6

圖7

(2) 一組對(duì)應(yīng)邊, 兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形一定全等. 這種組合分兩種情況, 兩組對(duì)應(yīng)角和它們的夾邊相等(ASA)和兩組對(duì)應(yīng)角和一個(gè)角的對(duì)邊相等(AAS),其中ASA 這種情況也是作為“基本事實(shí)”無(wú)須證明,而第二種情況(AAS),則可以通過(guò)三角形內(nèi)角和,將其轉(zhuǎn)化為ASA 得以證明.

(3)兩組對(duì)應(yīng)邊,一組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等. 這種組合同樣分兩種情況. 其中兩組對(duì)應(yīng)邊相等,并且這兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角也對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS),作為“基本事實(shí)”無(wú)需證明;另一個(gè)兩組對(duì)應(yīng)邊相等,并且其中一條對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角也對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等(SSA),可借助如下的反例進(jìn)行說(shuō)明.

在幾何畫(huà)板中,構(gòu)造∠A,在∠A的一邊上固定一點(diǎn)B,以點(diǎn)B為圓心,大于點(diǎn)B到角的另一邊AD的距離為半徑作圓,交AD邊與點(diǎn)C與C′,這樣就構(gòu)造了ΔABC和ΔABC′,這兩個(gè)三角形中,AB=AB(公共邊),BC=BC′(圓周上的點(diǎn)到圓心的距離相等),但明顯這兩個(gè)三角形不全等.

至此,教材中關(guān)于三角形全等的判定定理戛然而止,學(xué)生的逆向思維也到此被強(qiáng)硬的暫停. 其實(shí),全等三角形的性質(zhì)定理中,“全等三角形對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)相等”,“全等三角形對(duì)應(yīng)面積相等”這兩個(gè)的逆命題是否成立,教材中并沒(méi)有進(jìn)行探究思考. 那么,能不能延續(xù)學(xué)生平行線(xiàn)性質(zhì)定理學(xué)習(xí)的思維,繼續(xù)用反例來(lái)研究“全等三角形對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)相等”,“全等三角形對(duì)應(yīng)面積相等”這兩個(gè)逆定理是否成立. 接下來(lái),我們繼續(xù)對(duì)這兩個(gè)性質(zhì)定理的逆命題進(jìn)行探討研究:

2.4 性質(zhì)定理“全等三角形周長(zhǎng)相等”的逆命題: 周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等不一定成立. 具體分析如下:

兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等,只要三邊之和相等即可,三邊的長(zhǎng)度可以不一樣,這樣的三角形肯定不全等. 如圖8 的反例,兩個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,4,5,和5,5,2,周長(zhǎng)均為12,這兩個(gè)三角形不全等.

圖8

圖9

2.5 性質(zhì)定理“全等三角形面積相等”的逆定理:“面積相等兩個(gè)三角形全等”不一定成立. 具體分析如下:

三角形的面積是三角形的底和高乘積的一半,只要底和高的乘積一定,面積一定相等,但乘積一定的底和高可以不相同. 如圖9 的反例,在幾何畫(huà)板中,構(gòu)造ΔABC,過(guò)點(diǎn)A做BC邊的平行線(xiàn),在平行線(xiàn)上任取不同于點(diǎn)A的點(diǎn)D,連接BD,BC,構(gòu)造ΔABD,由于平行線(xiàn)間的距離相等,即這兩個(gè)三角形的高相同,BC=BC(公共邊),因此這兩個(gè)三角形的面積相同,但明顯這兩個(gè)三角形不全等.

2.6 命題:“周長(zhǎng)和面積都相等的兩個(gè)三角形全等”不一定成立. 具體分析如下:

(1)固定周長(zhǎng),調(diào)整面積.

在幾何畫(huà)板中, 先構(gòu)造等邊三角形ABC, 若邊長(zhǎng)為a,ΔABC的周長(zhǎng)為3a,在BC邊所在的直線(xiàn)上確定一點(diǎn)C′.做C′關(guān)于線(xiàn)段BC中點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′,若C′O=x,分別以B′,C′為圓心,以(1.5a-x)為半徑畫(huà)圓,兩圓的交點(diǎn)記為A′,在C′點(diǎn)的移動(dòng)過(guò)程中,始終保持A′C′=A′B′= 1.5a-x,所以ΔA′B′C′的周長(zhǎng)為2x+(1.5a-x)+(1.5a-x)=3a,因此ΔABC和ΔA′B′C′的周長(zhǎng)相等. 在C′點(diǎn)的移動(dòng)過(guò)程中,ΔA′B′C′的面積也是從0 變大到變到0,在這個(gè)過(guò)程中,一定存在一個(gè)定點(diǎn)C′′,使得ΔA′B′C′與ΔA′′B′′C′′的面積相等,但很明顯這兩個(gè)三角形不全等.

圖10

圖11

(2)固定面積,調(diào)整周長(zhǎng).

在幾何畫(huà)板中,先構(gòu)造等邊三角形ABC,假設(shè)邊長(zhǎng)為a,E為BC邊上的中點(diǎn),設(shè)定參數(shù)k,以E為圓心,以為半徑畫(huà)圓,交BC所在的直線(xiàn)與B′,C′,則B′C′=k·a(放大或縮小均可). 以E為圓心,k·AE為半徑畫(huà)圓,交AE所在的直線(xiàn)于點(diǎn)A′,連接A′B′,A′C′,容易計(jì)算出ΔABC的面積與ΔA′B′C′的面積相等. 利用幾何畫(huà)板度量出ΔA′B′C′的周長(zhǎng).

過(guò)點(diǎn)A做BC邊的平行線(xiàn), 在其上取一點(diǎn)A′′, 因?yàn)棣BC和ΔA′′BC等底等高,所以這兩個(gè)三角形面積相等.可以通過(guò)幾何畫(huà)板度量出ΔA′′BC的周長(zhǎng). 拖動(dòng)A′′在平行線(xiàn)上運(yùn)動(dòng),ΔA′′BC的周長(zhǎng)也隨之發(fā)生變化,在這個(gè)過(guò)程中,一定存在某一點(diǎn),使得ΔA′′BC和ΔA′B′C′的周長(zhǎng)相等. 但是,很明顯這兩個(gè)三角形不全等.

因此,通過(guò)如上兩個(gè)反例,周長(zhǎng)和面積相等的兩個(gè)三角形也不一定全等.

3 結(jié)論

上面的舉例中,運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆蠢?我們依次介紹了在只有對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)和對(duì)應(yīng)面積相等的情況下,兩個(gè)三角形全等的判定情況. 反例除了能說(shuō)明我們要回答的問(wèn)題,還能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念(全等形)的理解. 在舉出反例和對(duì)反例的分析過(guò)程中,學(xué)生的問(wèn)題探究意識(shí)得以增強(qiáng). 相對(duì)正規(guī)的演繹幾何證明來(lái)說(shuō),在教學(xué)中運(yùn)用反例并不為教師常用,也并非如人們所認(rèn)為只是舉出一個(gè)特殊例子那么簡(jiǎn)單. 這樣的理解是比較片面的. 能夠舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢?它需要先做出猜想和假設(shè),并對(duì)假設(shè)進(jìn)行驗(yàn)證,是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程,其重要性不亞于正面的實(shí)例講解[4]. 一個(gè)反例并非只是說(shuō)明一個(gè)問(wèn)題,舉得恰當(dāng),解釋合理,可以是解決一組或一類(lèi)問(wèn)題. 教師在舉反例的過(guò)程中,也需要借助一定的工具(本文中運(yùn)用了幾何畫(huà)板,也可以用實(shí)物教具展示),讓學(xué)生能體會(huì)到從直觀(guān)認(rèn)識(shí)到演繹推理分析的過(guò)程.

不同類(lèi)型的反例具備不同程度的解釋力(explanation power). 在Peled 和Zaslavsky 的研究中[5],提出兩個(gè)錯(cuò)誤的判斷四邊形全等的命題(若兩個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)相等,那么它們是全等的;兩個(gè)平行四邊形有一組對(duì)邊相等,一條對(duì)角線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等,那么它們是全等的),請(qǐng)?jiān)诼毥處熀吐毲敖處熍e反例說(shuō)明. 結(jié)果發(fā)現(xiàn),在職教師比職前教師更富有經(jīng)驗(yàn),舉出的例子也更多. 教師們的反例存在不同的水平. 有的教師的例子只能用來(lái)說(shuō)明這個(gè)命題是錯(cuò)誤的,卻無(wú)法給出一般性的解釋;有的教師能提供一些例子和方法但不夠全面;有的教師給出的反例概括出了一般性原理,亦即不單說(shuō)明命題是錯(cuò)誤的,還指出了這一類(lèi)反例符合的一般性條件. 反例所具備的這種從特殊(只能說(shuō)明問(wèn)題是錯(cuò)誤的)到一般(還能說(shuō)明錯(cuò)誤的一般原理)的漸變過(guò)程,正是波利亞(Polya)在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中所提出的,教師需要鼓勵(lì)學(xué)生在特殊和具體的事例中,能夠?qū)ふ液桶l(fā)現(xiàn)一般的模式和規(guī)律[6]. 當(dāng)然,作為教師,我們不是為了反例而“反”,任何教學(xué)內(nèi)容的組織和設(shè)計(jì),都需要根植于具體的問(wèn)題和情景,基于學(xué)生的已有知識(shí)和困惑,恰當(dāng)?shù)卦诮虒W(xué)中運(yùn)用反例,有其教學(xué)意義,能夠促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí),這也是教師專(zhuān)業(yè)知識(shí)和能力的體現(xiàn),在教師的教學(xué)和教師教育中需要引起重視.