北京市懷柔區(qū)京市第一O 一中學懷柔分校(101407) 李加軍

2019年北京大學優(yōu)秀中學生暑期課堂測試早已落下帷幕. 這份試題源于課本又高于課本,試題整體區(qū)分度較大,前三題入手較易,卻令人耳目一新,后兩題需要學生具備適當?shù)耐卣怪R,如高次方程韋達定理、第二數(shù)學歸納法及抽屜原則等內(nèi)容.

數(shù)學課程目標首先要求學生在學習數(shù)學的過程中掌握數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(簡稱“四基”);其次,在應用數(shù)學的過程中提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”);進而在學習數(shù)學和應用數(shù)學這兩個過程中發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng);最后,能夠會用數(shù)學眼光觀察世界,會用數(shù)學思維思考世界,會用數(shù)學語言表達世界(簡稱“三會”). 數(shù)學學科核心素養(yǎng)是課程目標的集中體現(xiàn),“三會”是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn).

這套試題很好地落實了數(shù)學課程目標,考查了學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng). 下面筆者對試題進行賞析,以饗讀者.

1. 已知函數(shù)f(x)滿足f(f(x))=x-1,問: 是否存在整數(shù)n,使得f(n)是整數(shù). 若存在,求出所有的n;若不存在,請說明理由.

分析存在性問題的一般思路是假設存在,然后按照題目條件進行合理推導,最后如果推出矛盾,則得出結論不存在;如果推出結果,則需要進一步對結果進行檢驗來確定結論是否存在.

解假設存在n,m ∈Z, 使得f(n) =m, 則f(m) =f(f(n)) =n -1, 進而f(n-1) =f(f(m)) =m -1,f(m-1) =f(f(n-1)) =n-2,依此類推有f(n-k) =m-k,且f(m-k)=n-(k+1)(k ∈N).

(1)若n=m,則f(n)=n且f(n)=n-1,矛盾!

(2) 若n ＞ m, 由m=n -(n - m), 知f(m) =f[n-(n-m)]=m-(n-m)=2m-n,又f(m)=n-1,故2m-n=n-1,即2n=2m+1,矛盾!

(2) 若m ＞ n, 由n=m -(m - n), 知f(n) =f[m -(m - n)] =n -(m - n+ 1) = 2n - m -1, 又f(n)=m,故2n-m-1=m,即2n=2m+1,矛盾!

綜上可知,不存在整數(shù)n,使得f(n)是整數(shù).

說明本例通過假設存在n,m ∈Z,使得f(n) =m,易得知f(n-k)=m-k,且f(m-k)=n-(k+1)(k ∈N),進而分類討論得出矛盾,從而獲得結論是不存在. 解題過程體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學核心素養(yǎng).

2.已知函數(shù)f:{1,2,3,··· ,2019} → {-1,1}, 若i,j ∈{1,2,3,··· ,2019}, 證明:不成立.

分析是否成立問題一般適應于反證法. 由于函數(shù)f:{1,2,3,··· ,2019} →{-1,1}, 從而問題的本質(zhì)是1-2019 的函數(shù)值可否兩兩乘積之和為0, 其必要條件是乘積f(i)f(j)的個數(shù)為偶數(shù).

證明反證法: 假設由f(i),f(j)∈ {-1,1}, 則f(i)f(j)∈ {-1,1}, 于 是中f(i)f(j) 取值-1 和1的個數(shù)一樣多, 所以一定有偶數(shù)個乘積f(i)f(j). 而事實上中f(i)f(j) 的個數(shù)是== 2019×1009(奇 數(shù)) , 矛 盾! 所 以

說明通過反證法, 分析出題目本質(zhì)就是判斷中應該有偶數(shù)個乘積f(i)f(j), 而事實上個數(shù)為奇數(shù),水到渠成,得到問題結果. 解題過程體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學計算等數(shù)學核心素養(yǎng),細思之下,腦海際會浮現(xiàn)一種曲徑通幽之快樂.

3. 已知等腰直角ΔABC,∠A= 90°,點D在邊AB上,點E在邊AC上,滿足AD=AE,過點A,D分別作BE的垂線交BC于點P,Q,用平面幾何方法證明:PC=PQ.

分析此題證明線段PC=PQ, 但PC,PQ沒有直接聯(lián)系,因此需要將其中一條轉(zhuǎn)移到一個新的圖形中,再找到該圖形與另一條線段所在圖形的關系(如全等),從而使得問題加以解決.

證明延長EA至點F, 使得FA=EA, 連結FB交BC的平行線AG于點G, 連結GD. 因為AG//BC, 所以∠GAD=ABC= ∠ACB= ∠GAF,又AD=AE=AF,GA=GA,所以GAD∽=GAF,故∠ADG=∠AFG.

由∠BAC= 90°, 以 及AP⊥BE,DQ⊥BE, 知∠ADG= ∠AFG= ∠AFB= ∠AEB= ∠BAP=∠BDQ, 所以∠ADG= ∠BDQ, 所以G,D,Q三點共線,所以GAPQ是平行四邊形,所以GA=PQ.

再 由∠BAC= 90°, 以 及AP⊥BE,DQ⊥BE, 知∠ABG= ∠ABF= ∠ABE= ∠PAC, 故在ΔABG中與ΔCAP中, ∠ABG= ∠PAC, ∠GAB= ∠PCA= 45°,AB=AC, 所以GAB∽= ∠PCA, 所以GA=PC, 于是PC=PQ.

說明由上述分析, 考慮平移PQ到AG, 此時根據(jù)結論可以倒推出ΔABG與ΔCAP全等, 但由于還不知PC=PQ, 反過來卻不易證明此全等關系. 于是轉(zhuǎn)變思路,作對稱變換,得到與ΔABE全等的ΔABF,進而得到與ΔCAP全等的ΔABG,并證明GAPQ是平行四邊形,從而由傳遞關系得出PC=PQ. 解題過程體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).

4. 實數(shù)滿足x+y+z=x2+y2+z2=2,求xyz的最大值和最小值.

分析首先由條件可以解得xy+yz+zx= 1,結合結論可以聯(lián)想到三次方程的韋達定理處理,進而構造三次函數(shù)討論其有三個零點的條件解決問題. 其次也可以由條件消去z,然后分析消元后x,y的二元結構式可知將t=x+y整體化處理,利用基本不等式找到t的范圍,并講結論化為t的三次函數(shù),利用導數(shù)法求其最值.

解方法一: 由題意得xy+yz+zx= 1, 所以x,y,z是關于t的方程t3-2t2+t - r= 0 的三個實數(shù)根, 其中r=xyz, 設f(t) =t3-2t2+t - r, 則f′(t) = 3t2-4t+ 1 = 0 的根為t=或t= 1, 結合圖象可知

方法二: 由x+y+z= 2, 得z= 2- x - y, 代入x2+y2+z2=2 整理得x2+y2-2x-2y+xy+1=0. 設t=x+y,由x2+y2-2x-2y+xy+1=0 得xy=t2-2t+1,又z= 2-x-y= 2-t, 因此xyz= (t-1)2(2-t), 由t2-2t+ 1 =xy≤解得等號在x=y時取到. 令g(t) = (t-1)2(2- t), 則g′(t) = (t -1)(5-3t) = 0 的根 為t= 1 或t=從而易知g(t) 在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減, 又g(1) =g(2) = 0,所以當g(1) =g(2) = 0 時(如取x=y= 1,z= 0),r=xyz取最小值0,當時(如取r=xyz取最大值

說明方法一逆用三次方程韋達定理,構造出相應的三次函數(shù),結合三次函數(shù)存在三個零點的條件找到xyz的范圍,進而確定等號取到條件,求出xyz的最值,使得問題迎刃而解. 方法二充分利用消元的思想和整體化的思想將表示為的函數(shù),并用基本不等式確定出的取值范圍,把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題,利用導數(shù)判斷單調(diào)這一工具如魚得水. 解題過程中體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng).

5. 有10 條長為1 的線段,每一條都被分為若干條小線段. 證明: 總可以選取6 條小線段,使它們可以構成2 個三角形.

分析如果一條線段所分出的所有小線段內(nèi)部構不成三角形,則可以推出最長那個小線段長度不低于接下來通過分類并對每條線段所分出來的最長小線段結合抽屜原則得出本題結論.

證明假設某一條線段拆出的小線段們不能構成三角形, 不妨設這些小線段的長度從小到大依次是a1,a2,··· ,an, 則ai+1≥ai+ai-1對每個i= 2,··· ,n-1(n≥3)都成立(否則存在ai-1,ai,ai+1三個就能構成三角形了) . 下面用數(shù)學歸納法來證明: 對任意2 ≤m≤n,m,n ∈Z,有

當m= 2 時,顯然有a2≥a1＞,所以不等式(*)成立;

當m= 3 時,顯然有a3≥a2+a1＞,所以不等式(*)成立;

假設當m≤k(k≥3)時成立,則當m=k+1 時,根據(jù)歸納假設2ak-1≥a1+a2+···+ak-2,所以2ak+1≥2(ak+ak-1)≥ak+ak-1+2ak-1≥a1+a2+···+ak-2+ak-1+ak,即ak+1≥,所以m=k+1 時,不等式(*)也成立.

由數(shù)學歸納法知對任意2 ≤m≤n,m,n ∈Z, 有

進而可知: 對于“一條拆出的所有小線段不能構成三角形”的線段, 有an≥(n≥2), 即所以(n≥2), 當n= 1 時, 顯然有從而說明若某一條線段拆成的所有小線段不能構成三角形,則拆出來的最長小線段

現(xiàn)在來考慮所有的10 條線段,分成三類情況:

(1)已經(jīng)有2 條線段,它們拆出來的小線段可以各自構成三角形了,則問題得證.

(2)若只有1 條線段拆出來的小線段能自己構成三角形,考慮另外9 條線段, 每條線段都有1 條長度不小于的小線段,于是這些小線段的長度要么位于中,要么位于中,由抽屜原理,9 條線段放入兩個區(qū)間里,至少有一個區(qū)間里有3 條線段. 又因為顯然落在這兩個區(qū)間任意一個里的三條線段是能組成一個三角形,于是問題得證.

(3)若沒有1 條線段拆出來的小線段能自己構成三角形,考慮10 條線段,同情況(2)可知選出3 條構成三角形;再考慮余下的7 條線段,同情況(2)能再選3 條構成三角形,從而問題得證.

說明數(shù)學的應用性使得數(shù)學煥發(fā)出無窮的魅力. 這個例子說明有意識地培養(yǎng)靈活的數(shù)學觀念,深刻認識題目中所蘊含的數(shù)學本質(zhì),積極利用數(shù)學工具解決實際問題,對提高一個人的數(shù)學素養(yǎng)乃至綜合素養(yǎng)有著極大的幫助. 解題過程體現(xiàn)了數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).