李 琳 石 峰 項 松 趙為平 王艷冰

*(沈陽廣播電視大學(xué)數(shù)字化資源研發(fā)中心，沈陽110003)

?(沈陽航空航天大學(xué)，遼寧省通用航空重點實驗室，沈陽110136)

碳納米管是Iijima[1]于1991年發(fā)現(xiàn)的。碳納米管因其優(yōu)異的電子和機(jī)械性能而被廣泛應(yīng)用于納米電子、納米器件和復(fù)合材料中。許多學(xué)者對碳納米管的自由振動問題進(jìn)行了研究。Aydogdu[2]利用廣義剪切變形梁理論研究了簡支多壁碳納米管的自由振動問題。Yoon等[3]研究了嵌入式多壁碳納米管的振動問題。Wang等[4]研究了多壁碳納米管的自由振動。Natsuki等[5]使用 Euler–Bernoulli梁理論分析了雙壁碳納米管的振動特性。Xu等[6]研究了內(nèi)管和外管之間不同邊界條件的雙壁碳納米管的振動問題。Li等[7]研究了基于多壁碳納米管的納米機(jī)械諧振器的振動特性。Sun等[8]研究了具有初始軸向載荷的多壁碳納米管的振動問題。Yoon等[9]研究了輸送流體碳納米管的振動和不穩(wěn)定性。Zhang等[10]研究了在壓縮軸向載荷下雙壁碳納米管的橫向振動。Wang等[11]通過 Timoshenko梁模型和微分正交方法研究了多壁碳納米管的振動。He等[12]研究了范德華相互作用模型對多壁碳納米管振動特性的影響。Hsu等[13]使用Timoshenko梁理論計算了單壁碳納米管的共振頻率。Chang等[14]使用 Timoshenko梁模型研究了包含流體的單壁碳納米管的自由振動。Lee等[15]使用非局部彈性理論研究了輸送流體的單壁碳納米管的自由橫向振動問題。Mir等[16]使用有限元方法研究了單壁碳納米管的振動特性。連續(xù)力學(xué)模型主要包括 Bernoulli–Euler梁模型，Timoshenko梁模型和剪切變形梁模型，已被廣泛用于研究碳納米管的自由振動行為。本文采用 Timoshenko梁模型。

碳納米管振動問題的控制方程是微分方程。求解微分方程的數(shù)值方法包括有限差分法，有限元法，有限體積法和邊界元法。這些方法均依賴于網(wǎng)格進(jìn)行局部逼近，但是網(wǎng)格很難生成。無網(wǎng)格法是一種求解偏微分方程的新方法，其中問題域由一組分散的節(jié)點進(jìn)行離散。

無網(wǎng)格法包括無單元 Galerkin方法[17]，hp云法[18]，再生核粒子法[19]，無網(wǎng)格局部Petrov–Galerkin方法[20]和徑向基函數(shù)配點方法[21-22]。徑向基函數(shù)主要包括復(fù)合二次，逆復(fù)合二次，高斯和薄板樣條。本文采用薄板樣條徑向基函數(shù)。

本文采用無網(wǎng)格方法來分析碳納米管的自由振動，薄板樣條徑向基函數(shù)的奇異性通過在零距離處添加無窮小值來消除。將計算結(jié)果與參考文獻(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行了比較。本文的主要目的是證明基于薄板樣條徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格方法可以成功地分析碳納米管的自由振動問題。

1 控制方程和邊界條件

考慮一個內(nèi)徑為2R1，外徑為2R2，長度為L的雙壁碳納米管，其原理圖如圖1所示。

圖1 雙壁碳納米管的原理圖

基于 Timoshenko梁理論的碳納米管振動控制方程

其中，w為橫向撓度，φ為由于梁的彎曲而產(chǎn)生的斜率，I為梁截面的慣性矩，A為梁的截面面積，ρ為梁材料的質(zhì)量密度，E為梁材料的楊氏模量，G為梁材料的剪切模量，K為剪切因子，ω為梁的圓頻率。

固支邊界條件

自由邊界條件

2 控制方程和邊界條件的離散

根據(jù)徑向基函數(shù)法，方程(1)的解近似為

w和φ的導(dǎo)數(shù)近似形式為

其中，N為節(jié)點總數(shù)，和為未知系數(shù)，gj為徑向基函數(shù)，常用的徑向基函數(shù)有復(fù)合二次、逆復(fù)合二次、高斯、薄板樣條等，徑向基函數(shù)中形狀參數(shù)對計算精度影響較大，薄板樣條基函數(shù)的形狀參數(shù)選擇最容易，因此，本文使用薄板樣條徑向基函數(shù)

其中，rij=xi-xj表示節(jié)點i與節(jié)點j之間的距離，m為形狀參數(shù)，本文中m=2。

薄板樣條徑向基函數(shù)在節(jié)點間距離為0時存在奇異性。為了消除薄板樣條徑向基函數(shù)的奇異性，當(dāng)兩個節(jié)點之間的距離為0時。(其中?為無窮小值)。

將式(4)～式(7)代入式(1)可得

將式(4)和式(5)代入固支邊界條件即可得到

將式(4)和式(5)及其導(dǎo)數(shù)代入自由邊界條件可得

離散化的控制方程和邊界條件可以表示為

即

其中，L和 B是微分算子，1/ω2是特征值，α是特征向量。特征值1/ω2可以用標(biāo)準(zhǔn)的特征值求解器求解。

3 數(shù)值算例

雙壁碳納米管的幾何參數(shù)和材料屬性：2R1=0.7 nm，d=2R2=1.4 nm。

單壁碳納米管的厚度t=0.35 nm，彈性模量E=1 TPa，剪切模量G=0.4 TPa，泊松比v=0.25，密度ρ=2300 kg/m3。A=A1+A2，I=I1+I2，其中1和2分別表示內(nèi)管和外管的數(shù)量。剪切系數(shù)K為

其中，α=(2R1-t)/(2R2+t)。

采用均勻節(jié)點模式對納米管進(jìn)行離散(圖2)，第i個節(jié)點的坐標(biāo)為

其中，N為節(jié)點總數(shù)。內(nèi)部節(jié)點由控制方程控制，端點由邊界條件控制。

圖2 雙壁碳納米管的節(jié)點分布

無量綱固有頻率

3.1 收斂性研究

為了檢驗本文方法的收斂性，考慮了L/d=10兩端固支的雙壁碳納米管。圖3和圖4為兩端固支雙壁碳納米管的無量綱前兩階固有頻率，其節(jié)點分布從11增加到101。

圖3 當(dāng)L/d=10時，兩端固支雙壁碳納米管無量綱一階頻率的收斂性研究

圖4 當(dāng)L/d=10時，兩端固支雙壁碳納米管無量綱二階頻率的收斂性研究

結(jié)果表明，基于薄板樣條徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格方法計算的結(jié)果與文獻(xiàn)[11]的結(jié)果具有較好的一致性，隨著節(jié)點數(shù)增加，計算結(jié)果逐漸趨近于Wang[11]的結(jié)果。

3.2 比較研究

為了驗證本文的薄板樣條徑向基函數(shù)法在求解雙壁碳納米管自由振動問題中的數(shù)值精度，進(jìn)行了比較研究。在比較研究中，節(jié)點數(shù)為101。

表1列出了不同長徑比的兩端固支碳納米管的無量綱前10階頻率，表 2列出了不同長徑比的固支-自由碳納米管的無量綱前10階頻率。由表1和表2可知，本文結(jié)果與文獻(xiàn)[11]的結(jié)果具有很好的一致性。

表1 兩端固支雙壁碳納米管的無量綱前10階頻率(N=101)

表2 固支－自由雙壁碳納米管的無量綱前10階頻率(N=101)

4 結(jié)論

本文提出了一種基于薄板樣條徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格方法來分析雙壁碳納米管的自由振動問題。收斂研究和比較研究分別用于檢驗本方法的收斂性和數(shù)值精度。數(shù)值算例表明：隨著長徑比增加，各階固有頻率逐漸增加；薄板樣條徑向基函數(shù)可以準(zhǔn)確地用于分析雙壁碳納米管的自由振動問題。