李海燕 方志遠(yuǎn) 許君君

(安徽糧食工程職業(yè)學(xué)院 機(jī)電工程系，安徽 合肥 230000)

剛度激勵(lì)是一種最為主要的齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)激勵(lì)，是計(jì)算輪齒嚙合時(shí)產(chǎn)生的彈性變形，以及相應(yīng)的時(shí)變嚙合剛度。也是齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)研究的內(nèi)容之一。國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了廣泛的研究：黃康[1]等人采用有限元法計(jì)算了斜齒微線段齒輪剛度，得到其剛度值較相應(yīng)漸開(kāi)線齒輪剛度值更優(yōu)的結(jié)論，然而仿真計(jì)算的設(shè)置過(guò)程比較復(fù)雜。梁喜輝[2]等人采用勢(shì)能分析法分析評(píng)價(jià)了行星齒輪組的嚙合剛度。Howard[3]等人運(yùn)用有限元模型對(duì)輪齒裂縫對(duì)于嚙合剛度的影響進(jìn)行了分析。Hedlund和Lehtovaara[4]采用有限元法對(duì)斜齒輪嚙合剛度的變化進(jìn)行了研究。Gu和Velex[5]提出了一種近似計(jì)算公式關(guān)于理想的直齒圓柱齒輪和斜齒輪嚙合剛度。朱秋玲[6]等人采用有限元仿真法還有公式法研究了把嚙合誤差、時(shí)變嚙合剛度考慮在內(nèi)的齒輪非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。

本文采用的是累積積分勢(shì)能法[7]，計(jì)算出雙漸開(kāi)線齒輪的綜合嚙合剛度以及單齒嚙合剛度，通過(guò)這種方法研究齒輪嚙合剛度受雙漸開(kāi)線齒輪哪些參數(shù)的影響。

1 累積勢(shì)能法

在積累勢(shì)能法中，嚙合齒輪中儲(chǔ)存的勢(shì)能包括[8]：彎曲勢(shì)能Ub，赫茲勢(shì)能Uh，軸向壓縮變形勢(shì)能Ua、剪切勢(shì)能Us，能夠分別用于計(jì)算出彎曲剛度Kb、赫茲剛度 Kh、軸向壓縮剛度Ka以及剪切剛度Ks，總嚙合剛度為各剛度的串聯(lián)形式[9]。根據(jù)彈性力學(xué)和材料力學(xué)理論可知，Ub、Uh、Ua以及Us表示如下：

其中，F(xiàn)是嚙合點(diǎn)處的作用力；α1是F與橫軸方向的夾角；Fa是徑向力，F(xiàn)在X軸方向分力為Fa=Fsinα1；Fb是切向力，F(xiàn)在y軸方向分力為Fb=Fcosα1； G是切變模量；E是彈性模量；Ix是距離基圓x處輪齒截面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；d為嚙合點(diǎn)到基圓的距離；Ax為距離齒根圓x處輪齒截面面積；h為嚙合點(diǎn)到輪齒對(duì)稱線的距離。

根據(jù)公式(2)到(4)，得到彎曲剛度、剪切剛度以及軸向壓縮剛度的計(jì)算公式：

其中，hx是齒輪齒廓上的點(diǎn)到輪齒中線的距離；μ為泊松比。

根據(jù)漸開(kāi)線齒輪齒廓的特點(diǎn)，hx的計(jì)算公式如下[10]：

其中，Rb是基圓半徑。

通過(guò)公式可以得出，給定的齒輪，它的各個(gè)嚙合點(diǎn)處的軸向壓縮剛度Ka、剪切剛度Ks、彎曲剛度Kb只和嚙合位置α1有關(guān)，與其他各參數(shù)是沒(méi)有關(guān)系的。

對(duì)于相互嚙合的兩個(gè)齒輪，其總能量的表達(dá)式為：

其中，n是輪齒同時(shí)嚙合的對(duì)數(shù)。

2 雙漸開(kāi)線齒輪不同參數(shù)對(duì)嚙合剛度的影響

分階式雙漸開(kāi)線齒輪(以下簡(jiǎn)稱為雙漸開(kāi)線齒輪)綜合了雙圓弧齒輪以及漸開(kāi)線齒輪這兩種齒輪優(yōu)點(diǎn)的一種新型齒輪[11]，這種齒輪是由兩段相互交錯(cuò)的漸開(kāi)線組成了工作齒廓，一段中間曲線連接了這兩段漸開(kāi)線，齒頂和齒根這兩段漸開(kāi)線齒廓是呈階梯式布置，如圖1所示。在雙漸開(kāi)線齒輪嚙合的過(guò)程中，嚙合剛度的呈現(xiàn)周期性變化，這也是為什么會(huì)產(chǎn)生噪聲以及激勵(lì)齒輪振動(dòng)的主要原因之一，雙漸開(kāi)線齒輪動(dòng)力學(xué)特性研究的基礎(chǔ)是研究嚙合剛度計(jì)算方法。

圖1 雙漸開(kāi)線齒輪端面齒廓

齒輪嚙合剛度反映的是齒輪輪齒從剛進(jìn)入嚙合到退出嚙合這整個(gè)過(guò)程中的動(dòng)態(tài)參數(shù)，齒輪參數(shù)不同。比如，改變齒輪的齒寬、模數(shù)等參數(shù),嚙合剛度也會(huì)隨之改變，因此，需要研究雙漸開(kāi)線齒輪模數(shù)以及齒寬對(duì)齒輪嚙合剛度的影響規(guī)律。

2.1 有限元模型的建立

建立雙漸開(kāi)線齒輪三維有限元模型，見(jiàn)圖1。在軸向和徑向這兩個(gè)方向上施加固定約束，雙漸開(kāi)線齒輪輪廓上施加一個(gè)沿接觸線的線性分布力F，可以得到沿力F方向的平均撓度δ。

輪齒的單齒嚙合剛度為：

對(duì)于嚙合的齒輪來(lái)說(shuō)，力的作用是相互的，主從動(dòng)輪相接觸的地方都收到一個(gè)有相同的力F。一對(duì)齒輪會(huì)有兩個(gè)撓度δ1和δ2，因此單齒嚙合剛度可以用如下公式表示：

一對(duì)輪齒在任意接觸位置的綜合嚙合剛度K12是這兩個(gè)單齒嚙合剛度K1和K2的并聯(lián)形式。因此，K12可以表示為：

當(dāng)多齒同時(shí)嚙合時(shí)，在任意指定的接觸位置的綜合嚙合剛度Ktotal可以表示為：

n是同時(shí)嚙合的齒輪齒對(duì)數(shù)。

2.2 模數(shù)的影響

首先設(shè)定齒輪參數(shù)，齒寬L=25mm，螺旋角 ，其他參數(shù)保持不變。模數(shù)設(shè)為mn=3mm-4.5mm，模數(shù)不同的漸開(kāi)線齒輪的綜合嚙合剛度和單齒嚙合剛度如圖2所示。

從圖中可以看出：綜合嚙合剛度與單齒嚙合剛度的走勢(shì)明顯不同，圖2(a)中單齒嚙合剛度隨著轉(zhuǎn)角的不同，變化趨勢(shì)較小，這單齒嚙合剛度的嚙合穩(wěn)定性好。而圖2(b)和(c)中對(duì)于的雙漸開(kāi)線齒輪的單齒嚙合剛度隨著轉(zhuǎn)角的變化變化趨勢(shì)較大。

根據(jù)公式(16)可以得出，齒輪模數(shù)越大，端面基圓節(jié)距就會(huì)增大，主動(dòng)輪齒寬值隨之增大，然而從動(dòng)輪齒寬值則不變。因此輪齒嚙合接觸面寬度就會(huì)增加。模數(shù)增加的話，雙漸開(kāi)線齒輪綜合嚙合剛度波動(dòng)隨之增加。如圖(a)所示，當(dāng)齒輪模數(shù)為mn=3mm時(shí)，雙漸開(kāi)線齒輪的綜合嚙合剛度趨于一條直線。而齒輪模數(shù)mn=4.5mm時(shí)，最大值與最小值的差為。

圖2 不同模數(shù)下的嚙合剛度

2.3齒寬的影響

設(shè)定雙漸開(kāi)線齒輪的模數(shù)mn=4mm，螺旋角β15。，其他參數(shù)保持不變，齒寬設(shè)定為10—25mm這個(gè)范圍區(qū)間，綜合與單齒的嚙合剛度如圖3所示。由圖可知，齒面寬度增加的時(shí)候，雙漸開(kāi)線齒輪的單齒嚙合剛度曲線先變化較為劇烈，隨后趨于平緩，根據(jù)公式(13)和(14)可以分析得出，主動(dòng)輪齒寬值減小，從動(dòng)輪齒寬值增大。單齒嚙合剛度的斜率會(huì)隨著齒寬的增大而呈減小的趨勢(shì)。同理可得，齒寬增大，綜合嚙合剛度曲線也是趨于平緩。

圖3 不同齒寬下的嚙合剛度

3 結(jié)論

本文在累積積分勢(shì)能法基礎(chǔ)上建立了雙漸開(kāi)線齒輪嚙合剛度的計(jì)算模型，并對(duì)比了雙漸開(kāi)線齒輪齒寬、模數(shù)這兩種因素對(duì)嚙合剛度的影響。隨后計(jì)算分析了雙漸開(kāi)線齒輪一對(duì)輪齒的綜合嚙合剛度以及單齒嚙合剛度。根據(jù)累積積分勢(shì)能法計(jì)算雙漸開(kāi)線齒輪的嚙合剛度時(shí)。從模型計(jì)算中可以清楚的看出雙漸開(kāi)線齒輪的嚙合剛度變化的規(guī)律。從中可以看出，模數(shù)的增加，會(huì)使嚙合剛度的變化趨勢(shì)較為劇烈，雙漸開(kāi)線齒輪的嚙合剛度曲線隨著齒寬的增加而減小。