王 磊,陶劉芹

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 基礎(chǔ)教學(xué)部,遼寧 葫蘆島 125105; 2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 阜新 123000)

0 引言

保加利亞學(xué)者Atanassov[1]1983年提出了直覺(jué)模糊集(IFS)的概念，它是處理不精確和不確定性問(wèn)題的最有效工具之一。與Zadeh[2]的模糊集(FS)相比，直覺(jué)模糊集的突出優(yōu)勢(shì)在于，它不僅能考慮各個(gè)元素的隸屬度，并且還給出了一個(gè)新的屬性參數(shù)：非隸屬度，使得它在處理模糊信息方面更具有靈活性?；贗FS理論，Cuong[3]最近引入了Picture模糊集(PFS)概念，并詳細(xì)研究了PFS的一些基本性質(zhì)，如有界性、冪等性、單調(diào)性。Picture模糊集反映的信息更加全面，包括四個(gè)方面：贊成、中立、反對(duì)、棄權(quán)，相比IFS理論，PFS能夠更好的處理實(shí)際決策問(wèn)題中的不確定性和模糊性。自從PFS理論被提出，已廣泛的應(yīng)用到多屬性決策領(lǐng)域。Wei[4]提出了基于Picture模糊交叉熵的多屬性決策方法。Garg[5]提出了Picture模糊加權(quán)平均算子、Picture模糊有序加權(quán)平均算子和Picture模糊混合平均算子，并應(yīng)用于多屬性決策問(wèn)題。Wei等[6]提出了Picture模糊二元語(yǔ)義集成算子并應(yīng)用到多屬性決策問(wèn)題。王春勇[7]基于概率的角度定義了一種能體現(xiàn)Picture模糊自身重要性和其位置重要性的Picture模糊混合加權(quán)幾何算子。Peng等[8]基于距離測(cè)度，提出了一種新的Picture模糊多屬性決策方法。Wei等[9]提出了一種Picture模糊投影決策方法。Thong等[10]提出了Picture模糊集與直覺(jué)模糊集融合的決策方法。Le[11]在Picture模糊集的基礎(chǔ)上，研究了廣義Picture距離測(cè)度。Liu[12]提出了一類Picture模糊語(yǔ)言集成算子?；趖-模和t-余模，Ashraf等[13]提出了新的Picture模糊幾何集成算子。

上述研究的PFS集成算子都是假設(shè)屬性間相互獨(dú)立，實(shí)際多屬性決策問(wèn)題中屬性間往往存在一定的關(guān)聯(lián)，這種關(guān)聯(lián)性會(huì)直接影響到?jīng)Q策結(jié)果。Heronian平均(HM)[14]算子可以有效刻畫(huà)屬性與其自身之間的關(guān)聯(lián)性。Yu等[15]基于Heronian平均算子提出了區(qū)間直覺(jué)模糊環(huán)境下的多屬性決策方法。Liu[16]在區(qū)間直覺(jué)模糊環(huán)境中，將冪平均算子與Heronian平均算子聯(lián)合起來(lái)進(jìn)行信息融合，提出了區(qū)間直覺(jué)模糊冪Heronian集結(jié)算子和區(qū)間直覺(jué)模糊冪加權(quán)Heronian集結(jié)算子。施明華等[17]將冪平均算子與Heronian平均算子相結(jié)合，提出了直覺(jué)模糊Heronian平均算子和直覺(jué)模糊加權(quán)冪Heronian平均算子。Liu等[18]基于t-模和t-余模，提出了直覺(jué)模糊阿基米德Heronian集結(jié)算子以及加權(quán)形式。Yu[19]提出了直覺(jué)模糊幾何Heronian平均算子和直覺(jué)模糊幾何加權(quán)Heronian平均算子。周曉輝等[20]提出了一種基于區(qū)間直覺(jué)模糊幾何加權(quán)Heronian平均算子的決策方法。周曉輝等[21]基于區(qū)間直覺(jué)梯形模糊數(shù)和幾何Heronian平均算子，提出了區(qū)間直覺(jué)梯形模糊幾何Heronian平均算子和區(qū)間直覺(jué)梯形模糊幾何加權(quán)Heronian平均算子。趙輝等[22]提出了區(qū)間直覺(jué)不確定語(yǔ)言幾何Heronian平均算子以及加權(quán)形式。Liu等[23]基于新的運(yùn)算法則，將分區(qū)Heronian平均算子擴(kuò)展到語(yǔ)言直覺(jué)模糊環(huán)境中。另一方面，Xu[24]在冪幾何的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)出一種可以挖掘數(shù)據(jù)間支持度的信息融合工具-冪幾何算子。該算子能有效減少?zèng)Q策過(guò)程中，決策者因個(gè)人情感或則對(duì)決策對(duì)象了解不充分等情形下，給出異常偏好值的影響，從而能提高決策的公正性。冪幾何算子的優(yōu)良性質(zhì)引起了很多學(xué)者的廣泛關(guān)注，并推廣至不同的決策環(huán)境下。Zhang等[25]將冪幾何算子擴(kuò)展到直覺(jué)模糊環(huán)境，提出了直覺(jué)模糊冪幾何集成算子。Xu等[26]進(jìn)一步研究了乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系下群決策的冪幾何算子。Wan等[27]提出了梯形直覺(jué)模糊數(shù)的冪幾何算子并用此算子處理多屬性決策問(wèn)題。Dong等[28]基于三角模糊數(shù)冪幾何算子，提出了一種群決策AHP方法。

以上文獻(xiàn)研究表明：在實(shí)際的決策問(wèn)題中，信息集結(jié)過(guò)程應(yīng)該考慮屬性間關(guān)聯(lián)性和整體均衡性，Picture模糊信息集結(jié)算子有待進(jìn)一步的完善。鑒于此，本文將幾何Heronian平均(GHM)算子和冪幾何(PG)算子相結(jié)合，并將它們擴(kuò)展到Picture模糊環(huán)境，進(jìn)而，提出了Picture模糊冪幾何Heronian平均(PFPGHM)算子和Picture模糊加權(quán)冪幾何Heronian平均(PFWPGHM)算子。新算子在集結(jié)過(guò)程中，能有效提取Picture模糊變量間的關(guān)聯(lián)信息以及決策對(duì)象的整體信息，豐富了信息融合的研究?jī)?nèi)容。

1 基本知識(shí)

1.1 Picture模糊集

Picture模糊集考慮了隸屬度、中立度、非隸屬度、棄權(quán)程度這四個(gè)方面的信息，更符合決策者在對(duì)候選方案進(jìn)行評(píng)估時(shí)表現(xiàn)出的支持、不確定、反對(duì)、棄權(quán)等思維習(xí)慣，因此，它比傳統(tǒng)的模糊集、直覺(jué)模糊集在處理模糊性和不確定性等方面更具有靈活性和實(shí)用性。

定義1[3]設(shè)X是給定的一個(gè)論域，則論域X上的Picture模糊集A定義為:A={(x,μA(x),ηA(x),vA(x)|x∈X},其中μA(x)、ηA(x)和υA(x)分別為X中元素x∈A的隸屬度、中立度和非隸屬度，即對(duì)?x∈X有：μA(x)∈[0,1]、ηA(x)∈[0,1]和υA(x)∈[0,1]，且滿足條件0≤μA(x)+ηA(x)+υA(x)≤1，此外，稱ρA(x)=1-(μA(x)+ηA(x)+υA(x))為棄權(quán)程度。

為便于討論，我們把Picture模糊數(shù)(PFN)表示為是由μα，ηα，υα組成的有序?qū)崝?shù)對(duì)，記為α=(μα，ηα，υα)。

定義2[7]設(shè)α=(μα，ηα，υα)，αi=(μαi，ηαi，υαi)(i=1,2)是論域X上的三個(gè)Picture模糊數(shù)，其中λ>0為任意實(shí)數(shù)，則Picture模糊集的運(yùn)算法則為:

1)α1⊕α2=(1-(1-uα1)(1-uα2),ηα1,ηα2,(ηα1+υα1)(ηα2+υα2)-ηα1ηα2)；

2)α1?α2=((uα1+ηα1)(uα2+ηα2)-ηα1ηα2,ηα1ηα2,1-(1-υα1)(1-υα2))；

進(jìn)一步，關(guān)于Picture模糊數(shù)具有如下排序規(guī)則[5]:

定義3[5]令α1=(u1,η1,υ1)和α2=(u2,η2,υ2)為兩個(gè)Picture模糊數(shù)。

(1)若s(α1)

(2)若s(α1)=s(α2)，則

(a)若h(α1)

(b)若h(α1)=h(α2)，則α1=α2

其中,s(α)=uα-ηα-vα和h(α)=uα+ηα+υα分別為Picture模糊數(shù)α的得分函數(shù)和精確函數(shù)。

1.2 GHM和PG算子

定義4[19]設(shè)p≥0，q≥0，且p與q不同時(shí)為0，ai≥0(i=1,2,…,n)，若

(1)

則稱GHM為幾何Heronian平均算子。

定義5[24]設(shè)ai≥0(i=1,2,…,n)為實(shí)數(shù)，若

(2)

2 Picture模糊冪幾何Heronian平均集成算子

2.1 Picture模糊冪幾何Heronian平均算子

定義6設(shè)p≥0，q≥0，且p與q不同時(shí)為0，αi=(ui,ηi,vi)(i=1,2,…,n)為Picture模糊數(shù)之集。若

PFPGHMp,q(α1,α2,…,αn)

(3)

稱PFPGHM為Picture模糊冪幾何Heronian平均算子。

定理1設(shè)p≥0，q≥0，且p與q不同時(shí)為0，αi=(ui,ηi,υi)(i=1,2,…,n)為Picture模糊數(shù)，則由PFPGHM算子獲得的集成值仍是Picture模糊數(shù)，且有

PFPGHMp,q(α1,α2,…,αn)

(4)

定理3(冪等性) 設(shè)αi=(ui,ηi,υi)(i=1,2,…,n)為Picture模糊數(shù)，若α1=α2=…=αn=α，則PFPGHMp,q(α1,α2,…,αn)=α。

此外，我們驗(yàn)證了PFPGHM算子不具有單調(diào)性，其主要原因是PFPGHM算子將那些與整體性信息差異較大的元素(即待集結(jié)個(gè)體中較大或較小的元素)賦予了相應(yīng)的非線性權(quán)重。

特別地，

由于PFPGHM算子是在集成變量重要程度相同的情形下給出的。在具體生活應(yīng)用中，這一假設(shè)難以實(shí)現(xiàn)。下面研究Picture模糊加權(quán)冪幾何Heronian平均算子，以處理對(duì)應(yīng)環(huán)境下的MADM問(wèn)題。

2.2 Picture模糊加權(quán)冪幾何Heronian平均算子

定義7設(shè)p,q≥0，且p與q不同時(shí)為0，αi=(ui,ηi,υi)(i=1,2,…,n)為Picture模糊數(shù)。若

PFWPGHMp,q(α1,α2,…,αn)

(5)

定理5設(shè)p,q≥0，且p與q不同時(shí)為0，αi=(ui,ηi,vi)(i=1,2,…,n)為Picture模糊數(shù)，則由PFWPGHM算子獲得的集成值仍為Picture模糊數(shù)，且有

PFWPGHMp,q(α1,α2,…,αn)

(6)

類似PFPGHM算子，PFWPGHM算子也具有有界性、冪等性和交換性。

特殊地，

1)若ωi=1，則有PFWPGHMp,q(α1,α2,…,αn)=PFPGHMp,q(α1,α2,…,αn)即PFWPGHM算子退化為Picture模糊冪幾何Heronian平均(PFPGHM)算子。

3 Picture模糊多屬性決策方法

下面給出一種基于Picture模糊加權(quán)冪幾何Heronian平均(PFWPGHM)算子的多屬性決策方法：

步驟1根據(jù)實(shí)際情況建立Picture模糊決策矩陣R=(rij)n×m。

(7)

步驟4根據(jù)給定的權(quán)重向量ω=(ω1,ω2,…,ωn)T計(jì)算PFWPGHM算子各個(gè)元素的加權(quán)總支持度T可表示為

則PFWPGHM算子的加權(quán)非線性權(quán)重μ可表示為

k=1,2,…,m;l=1,2,…,n

步驟6計(jì)算綜合屬性值ri，i=1,2,…,n的得分值si，然后根據(jù)ri的優(yōu)先級(jí)關(guān)系對(duì)方案Ai進(jìn)行按從高到低進(jìn)行排序，得分最高者作為最佳方案。

4 決策應(yīng)用

4.1 決策實(shí)例

某跨國(guó)公司為了增加收益準(zhǔn)備進(jìn)行投資[9]，基于公司的戰(zhàn)略規(guī)劃，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格篩選有4個(gè)備選方案，分別為A1：“南亞市場(chǎng)”，A2：“東亞市場(chǎng)”，A3：“北亞市場(chǎng)”，A4：“本地市場(chǎng)”。主要從4個(gè)方面進(jìn)行評(píng)估，即G1：“風(fēng)險(xiǎn)分析”，G2：“增長(zhǎng)分析”，G3：“社會(huì)政治影響分析”，G4：“環(huán)境影響分析”，且屬性權(quán)重向量為ω=(0.2,0.3,0.1,0.4)T。專家提供的Picture模糊決策矩陣R=(αij)4×4，如表1所示。

表1 Picture模糊信息決策矩陣

下面利用本文的決策方法，為該跨國(guó)公司選擇合適的投資市場(chǎng)。

步驟1建立Picture模糊決策矩陣，見(jiàn)表1。

步驟2由于G1和G4屬于成本屬性，G2和G3屬于效益屬性，因此需要將上述Picture模糊決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，標(biāo)準(zhǔn)化的矩陣如表2所示。

表2 標(biāo)準(zhǔn)化的Picture模糊信息決策矩陣

步驟3計(jì)算決策者給出的評(píng)估信息值的支持度矩陣。

步驟4根據(jù)權(quán)重向量ω=(0.2,0.3,0.1,0.4)T，計(jì)算PFWPGHM算子的加權(quán)總支持度T，與加權(quán)非線性權(quán)重μ。

步驟5利用PFWPGHM算子對(duì)方案進(jìn)行集成，為考慮參數(shù)p，q對(duì)PFWPGHM算子集成結(jié)果的影響，取不同的參數(shù)值p，q，集成結(jié)果如表3所示。

表3 不同參數(shù)的PFWPGHM算子的綜合屬性值(p=q)

步驟6計(jì)算各綜合屬性值的得分函數(shù)，并對(duì)方案按從高到低進(jìn)行排序，進(jìn)而選出最佳方案。如表4所示。

表4 不同參數(shù)的PFWPGHM算子的得分函數(shù)和排序(p=q)

由表4看出，方案A1和A4排序略有變化，但最佳方案都為A2，即投資“北亞市場(chǎng)”。

4.2 參數(shù)p，q對(duì)決策的影響

由表4可知，在參數(shù)p=q取不同值的情況下，各個(gè)方案的得分函數(shù)值會(huì)發(fā)生變化。但隨著參數(shù)值p和q的不斷增大，方案排序結(jié)果也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，當(dāng)p=q取1，3，6，10時(shí)，排序結(jié)果為A2>A3>A1>A4。當(dāng)p=q取13，15時(shí)，方案排序結(jié)果變化為A2>A3>A4>A1。這說(shuō)明PFWPGHM算子中參數(shù)p和q的取值，對(duì)方案的得分函數(shù)值以及方案排序結(jié)果有一定的影響。盡管隨著參數(shù)p和q的不斷變化，方案排序結(jié)果會(huì)發(fā)生變化。但最佳方案均為方案A2。這也體現(xiàn)了PFWPGHM算子有一定的穩(wěn)定性。因此，若從計(jì)算結(jié)果的方便性來(lái)考慮最佳決策方案，參數(shù)p和q的值均取較小正整數(shù)1，即p=q=1。另一方面，由于計(jì)算機(jī)和MATLAB軟件的廣泛使用，使得我們能夠很方便地計(jì)算不同參數(shù)下p和q對(duì)應(yīng)的方案排序，因而可以通過(guò)參數(shù)p和q的不同取值，觀察到方案排序結(jié)果的變化，以便發(fā)現(xiàn)方案排序的內(nèi)在變化規(guī)律。

4.3 方法對(duì)比分析

為了驗(yàn)證所研究方法的可行性并說(shuō)明其優(yōu)點(diǎn)，我們與現(xiàn)有的方法進(jìn)行比較。

4.3.1 決策方法的可行性

為了驗(yàn)證本文方法的可行性，分別與基于PFWG算子[7]、PFAWA算子[5]、IFWPHM算子[17]、IFGHM算子[19]的決策方法進(jìn)行分析比較，5種不同算子下的集成結(jié)果如表5所示。

表5 不同算子的集成結(jié)果分析比較(p=q=1)

由表5可知，在Picture模糊環(huán)境下，本文方法得到的方案排序結(jié)果與PFWG算子[7]、PFAWA算子[5]一致，即A2>A3>A1>A4，A2為最佳方案，從而說(shuō)明了本文決策方法的可行性。

注1采用IFWPHM算子和IFGHM算子來(lái)處理本例的決策信息，需要將表1中的Picture模糊信息轉(zhuǎn)換成直覺(jué)模糊信息，不考慮決策信息中的“中立度”即可。

4.3.2 決策方法的優(yōu)點(diǎn)

表6 排序結(jié)果

由表6可以看出，部分決策數(shù)據(jù)改變之后，PFWG算子[7]得到的排序結(jié)果發(fā)生了變化，最佳方案變?yōu)锳3；而本文的PFWPGHM算子得到的排序結(jié)果與數(shù)據(jù)未改變前完全一致，最佳方案始終為A2。說(shuō)明，本文的決策方法能有效挖掘?qū)傩宰兞块g的關(guān)聯(lián)性，避免原始數(shù)據(jù)中過(guò)大或過(guò)小的點(diǎn)對(duì)決策結(jié)果的影響，使得決策過(guò)程更加客觀公正。

此外，(1)在整個(gè)決策過(guò)程中，決策信息都是以Picture模糊數(shù)的形式表示，由于Picture模糊數(shù)相比直覺(jué)模糊數(shù)可以刻畫(huà)更詳細(xì)的評(píng)價(jià)信息。因此，PFWPGHM算子相比IFWPHM算子[17]和IFGHM算子[19]能夠挖掘更多的決策信息；(2)PFWPGHM算子含有可調(diào)整的參數(shù)和，決策者可以根據(jù)具體情況選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)，使得決策過(guò)程變得更加靈活。

5 結(jié)論

為了更加細(xì)膩的集結(jié)復(fù)雜環(huán)境下的決策信息，本文將幾何Heronian平均算子和冪幾何算子聯(lián)合進(jìn)行信息融合，提出了Picture模糊冪幾何Heronian平均(PFPGHM)算子與Picture模糊加權(quán)冪幾何Heronian平均(PFWPGHM)算子。新算子不僅能體現(xiàn)屬性間的關(guān)聯(lián)性，還能反映集結(jié)值的整體均衡性，從而降低了原始數(shù)據(jù)中過(guò)大或過(guò)小的點(diǎn)對(duì)決策結(jié)果的影響。同時(shí)，驗(yàn)證了新算子具有有界性、冪等性和交換性以及討論了新算子的一些特例，并給出了基于PFWPGHM算子的多屬性決策方法。最后，將本文方法與現(xiàn)有的方法進(jìn)行比較，分析參數(shù)p和q對(duì)決策結(jié)果的影響，通過(guò)決策實(shí)例說(shuō)明本文方法的可行性與優(yōu)點(diǎn)。進(jìn)一步研究，本文的決策方法可以擴(kuò)展到多屬性群決策問(wèn)題。