邱瑩

四川省成都市武侯區(qū)教育科學發(fā)展研究院，四川成都 610041

概念教學是數(shù)學課堂教學中的一個重要內(nèi)容，也是多種新授課型中最難于把握的課型之一。概念的建立不能僅停留在熟記背誦概念的層面上，學生學習一個概念一般要經(jīng)歷感知、建構、理解、內(nèi)化的過程，最終才能形成概念[1]。在《分數(shù)的再認識》一課教學設計過程中，筆者感受到了來自數(shù)學概念課的層層拷問和沖擊，對概念課的教學設計也有了一些新的感悟。因此筆者通過以下幾個步驟的實施來充實對《分數(shù)的再認識》這個教學內(nèi)容的理解。

1 厘清概念，了解數(shù)學文化

在進行概念課教學設計前，最好先查閱資料，以便對概念能有更深入完整的認識。了解概念的內(nèi)涵及外延，以便在教學過程中抓準概念本身，厘清概念的內(nèi)涵和外延，才能在教學過程中豐富概念的內(nèi)涵，建構概念的外延。

1.1 分數(shù)的意義

分數(shù)主要表達了整體與部分之間的關系，其意義可以從4個方面來理解和建構（如圖）[2]。

1.2 分數(shù)的起源

分數(shù)一詞來自拉丁文的"frangere"，意義是指分開，通常用來描述一個被分開的全體之部分。分數(shù)的發(fā)明最初即是為了因應各種測量上的需要[2]，在三千多年前的古埃及，為了在不能分得整數(shù)的情況下，發(fā)明了分數(shù)，由于符號的限制，古埃及的分數(shù)只有這樣的分子為1的分數(shù)，也就是說一開始人類發(fā)明的就是平均分后的一個計量標準——分數(shù)單位。如果需要表示，則會寫成的形式。因此分數(shù)在測量上的意義也是分數(shù)意義的一個重要體現(xiàn)方面，在認識分數(shù)單位時，應該有所體現(xiàn)，北師大版的教材也是從小紙條測量數(shù)學書，不夠測，需要找到更小的標準，來引出分數(shù)單位的，這一點和分數(shù)的起源、分數(shù)單位的產(chǎn)生是契合的。

1.3 分數(shù)與小數(shù)

既然分數(shù)和小數(shù)能互化，有了小數(shù)為什么還要發(fā)明分數(shù)呢？原因有二：一方面分數(shù)出現(xiàn)的時間比小數(shù)早，小數(shù)的雛形是公元三世紀我國古代數(shù)學家劉輝為了解決一個數(shù)學難題時提出的微數(shù)，而正式提出小數(shù)的名稱已經(jīng)是公元十三世紀了，因此雖然北師大版小學數(shù)學教材中的安排是先學習小數(shù)再學習分數(shù)，但是實際上確實是分數(shù)先產(chǎn)生，小數(shù)后產(chǎn)生。教材的安排也有它的道理，小數(shù)的運用在生活中更加常見，生活經(jīng)驗能正向遷移到小數(shù)學習；且小數(shù)的位值、數(shù)位、計數(shù)單位都可以完全參照整數(shù)來學習，因此教材安排先學習小數(shù)。另一方面，分數(shù)出了可以表示一個數(shù)量，還可以表示整體與部分之間的關系，還可以表示除法的過程，也能表示運算結果，分數(shù)與小數(shù)相比內(nèi)涵更加豐富，具有多重意義，并且分數(shù)的數(shù)域更加寬廣。

2 學段縱向?qū)Ρ?/h2>

分數(shù)的認識是小學階段數(shù)的認識中的一個重要內(nèi)容。小學階段對20以內(nèi)、100以內(nèi)、萬以內(nèi)、及億以內(nèi)的整數(shù)進行了認識，實現(xiàn)了數(shù)級的拓展。而負數(shù)的認識，作為表達相反意義的量，實現(xiàn)了數(shù)軸自右向左地反方向擴張。小數(shù)、分數(shù)及百分數(shù)的認識則是由“整”到“不整”，實現(xiàn)了由宏觀向微觀的數(shù)域的拓展。作為后續(xù)學習分數(shù)運算、分數(shù)小數(shù)互化、解決簡單實際問題、百分數(shù)、比等相關知識的重要基礎，也是初中對實數(shù)、有理數(shù)認識的重要基礎，厘清分數(shù)的概念顯得尤為重要。《分數(shù)的再認識》，其中這個“再”字，意指三年級已在感性上初步認識了分數(shù)。對比三年級和五年級的教材發(fā)現(xiàn)：

2.1 單位“1”發(fā)生了變化

三年級時認識了分數(shù)各部分的名稱和分數(shù)的讀寫法，也初步了解了“整體”是一個物體，或多個物體的分數(shù)。五年級則對單位“1”進行了進一步的豐富，一個物體（可以補充一條線段或計量單位）、一組物體、幾組物體都可以合起來看作一個整體，數(shù)的清的物體、數(shù)不清的物體、甚至未知個數(shù)的物體，都可一看作一個整體，成為單位“1”。

2.2 分數(shù)的定義發(fā)生了改變

2.3 分數(shù)表達了整體與部分之間的關系

三年級已經(jīng)對分數(shù)整體與部分之間的關系有了感性上的認識，但一般停留在分數(shù)表象上的認識，也就是單純從數(shù)量上考慮，也就是整體是幾，分母就是幾，部分量是幾，分子就是幾。也有孩子能夠達到理解份數(shù)的層面，五年級的再認識則從數(shù)量上升到了份數(shù)的考慮，也就是整體是幾份分母就是幾，部分量是幾份分子就是幾，而更多地內(nèi)涵則是指向了分子分母之間的關系。

3 著眼于學生知識的起點

學生在三年級時已學過分數(shù)的初步認識，會比簡單分數(shù)的大小比較，能進行簡單的同分母加減法計算，并解決實際問題。學習分數(shù)的再認識到底該學習什么，又怎樣激發(fā)孩子的興趣和對知識本源的追求呢？帶著問題，筆者進行了關于分數(shù)的一次調(diào)查問卷。為了保證數(shù)據(jù)的真實性，能反映現(xiàn)實問題，對還未學習《分數(shù)的再認識》一課的五年級學生做了無準備調(diào)查（學生不知情，未提前查閱資料或復習），時隔1年有余，孩子的回答也是很具分析的價值。

調(diào)查對象：五年級49名學生，整班包括各個層次的學生

調(diào)查方式：無準備調(diào)查

調(diào)查結果分析：

問題1：關于分數(shù)你已經(jīng)知道了什么？

有53.06%的孩子印象最深刻的是分子分母分數(shù)線等分數(shù)的表象，對于分數(shù)的初步認識的其他知識孩子能回憶起來的就不多了。但是可喜的是也有24.49%的孩子在對分數(shù)的意義做積極的思考：分子分母表示的是什么，分數(shù)的作用，分數(shù)可以表示數(shù)量，證明孩子在初步學習的時候都在對分數(shù)的意義做有益地嘗試。另一方面提及平均分的孩子非常地少，只占了8.16%，分數(shù)是建立在等分的基礎上的，沒有平均分，何談分數(shù)？本以為孩子會對平均分認識深刻，可事實并非如此，因此在復習舊知的時候，需要特別提談一下平均分，突出平均分的重要性。

問題2：關于分數(shù)你還想知道了什么？

回答主要涉及直接發(fā)問分數(shù)的意義是什么分子分母分數(shù)線表示什么分數(shù)的由來是什么，為什么叫分數(shù)假分數(shù)人數(shù)3 3 2 7百分比6.12%6.12%4.08%14.29%

答案組成如下：看到了孩子這么多稀奇古怪，又充滿思考的問題，突然覺得一些我們的預設，真是主觀臆斷，上課不也應該由孩子的實際需求出發(fā)，去用自己的認識碰撞敲打他們的認知嗎。

在受訪學生中，只有6.12%的學生明確提及平均分。而有意思的是有55.10%的孩子選擇了以4個相同的物體作為單位“1”，借助它天然平均分的屬性，來界定平均分?？磥碓谌昙壍膶W習中等分觀念確實有建立的，但覆蓋面積還不夠廣，且無法明確表達出來，所以孩子就只能借助其他途徑來表達。

有62.22%的學生可以正確完成，并說明理由。33.33%的學生是完成錯誤?？磥砗⒆訉?shù)量的認識遠大于對份數(shù)的認識，并且對分子分母表達的意義不是很明確。那么我們在教學過程中就應該關注分數(shù)表示整體與部分之間的關系，以及分子和分母表達的含義。

4 教學中遇到實際的困難

在學習過程中，我們發(fā)現(xiàn)，由于有了前知的鋪墊，孩子要抽象出分數(shù)的意義那句話是不太難的，但是能概括出這句話，就能理解分數(shù)的意義嗎？比如分數(shù)的概念，表述為“其中的一份或幾份”，那么在理解為什么會出現(xiàn)假分數(shù)時，就會出現(xiàn)問題：明明是拿單位“1”來分的，分數(shù)怎么可能比單位1還大呢？如果借鑒人教版教材改成“表示這樣的1份或幾份”，就能從文字上規(guī)避這個尷尬問題的發(fā)生。但學生對先分后取的困惑依然是存在的，因此在教學時要落實分數(shù)是表示整體與部分之間的關系。

五、關于整節(jié)課的結構安排

一般講授概念課時，教師都喜歡摳字眼，將每一個詞語摳清楚了，再連接成了一個完整的概念（如左圖）。這樣的教學設計方式缺乏對概念的整體建構。

為了對概念深刻理解及靈活運用，筆者將整節(jié)課的結構安排做了一個調(diào)整（如右圖）：首先基于學生的感性認知不斷累積，抽象出分數(shù)的概念，再通過教學環(huán)節(jié)的設置來回扣分數(shù)的意義，體會分數(shù)表示整體與部分間的關系。

5 結語

通過這次深度研讀教材和分析學生的經(jīng)歷，看待問題的深度廣度都發(fā)生了變化。希望為今后的研究提供有效的研究途徑，為做概念教學課提供一個具有實操性的研究范式。堅持追問數(shù)學概念的前世今生，一定提升教學設計的價值。