王春平

(浙江理工大學(xué) 科技與藝術(shù)學(xué)院，浙江 上虞 312369)

0 引言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(NCSs,networked control systems)是通過一個(gè)實(shí)時(shí)網(wǎng)絡(luò)來形成閉環(huán)的反饋控制系統(tǒng)，它由控制器、多個(gè)執(zhí)行器、被控對(duì)象、多個(gè)傳感器和控制網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的[1-2]。由于通信網(wǎng)絡(luò)的介入，閉環(huán)反饋回路(即傳感器-控制器通道和控制器-執(zhí)行器通道)中的各種數(shù)據(jù)傳遞都要通過這個(gè)控制網(wǎng)絡(luò)才能實(shí)現(xiàn)。相較于傳統(tǒng)的簡(jiǎn)單控制系統(tǒng)，NCSs可以減少系統(tǒng)布線，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)與控制，易于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行診斷和維護(hù)；還能通過網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)信息共享，增加系統(tǒng)的靈活性，還有其他許多優(yōu)點(diǎn)?；谶@些優(yōu)勢(shì)，NCSs已經(jīng)在航空航天系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、工業(yè)過程控制系統(tǒng)、汽車控制系統(tǒng)等領(lǐng)域受到了廣泛的關(guān)注與應(yīng)用。

但同時(shí)，也正是因?yàn)樵诜答伝芈分幸肓送ㄐ啪W(wǎng)絡(luò)，很多在傳統(tǒng)控制理論中的很多理想性假設(shè)需要被重新考慮。比如傳統(tǒng)控制理論中系統(tǒng)組件之間是點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的，傳感器-控制器通道和控制器-執(zhí)行器通道之間信息傳遞不存在時(shí)延，而且在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中，多個(gè)節(jié)點(diǎn)共用一個(gè)通信網(wǎng)絡(luò)，可能會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)阻塞甚至中斷，由此會(huì)引發(fā)網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延與數(shù)據(jù)包丟失或亂序。由此導(dǎo)致控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)變得更加復(fù)雜。NCSs涉及的通信數(shù)據(jù)都是數(shù)字信號(hào)的，即連續(xù)信號(hào)在被傳輸之前必須經(jīng)過數(shù)據(jù)量化的處理[3-4]，這會(huì)影響控制器接收傳感器發(fā)送的采樣數(shù)據(jù)以及執(zhí)行器接收控制器發(fā)出的控制數(shù)據(jù)，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。所以控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)變得尤為關(guān)鍵。

基于此，本文針對(duì)短時(shí)延NCSs，考慮兩個(gè)通道(傳感器-控制器通道和控制器-執(zhí)行器通道)都存在數(shù)據(jù)包丟失以及傳感器-控制器通道設(shè)置量化器存時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了建模、穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計(jì)，并利用Matlab的線性矩陣不等式即LMI(linear matrix inequality)工具箱[5]進(jìn)行了算例仿真驗(yàn)證。

1 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與建模

假設(shè)丟包概率一定，那么丟包過程可以等效為按一定速率切換的開關(guān)，開關(guān)閉合表示數(shù)據(jù)正常傳輸，開關(guān)打開表示發(fā)生數(shù)據(jù)丟包[6-8]。另外，NCSs中最常見的另外一個(gè)現(xiàn)象就是網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延，如果系統(tǒng)設(shè)計(jì)沒有考慮網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延的影響，那么控制系統(tǒng)的性能可能會(huì)得到降低，嚴(yán)重時(shí)甚至使得系統(tǒng)失穩(wěn)。因此，本文進(jìn)一步考慮系統(tǒng)存在短時(shí)延的情況，如果將傳感器-控制器通道存在的時(shí)延記為τsc，控制器-執(zhí)行器通道存在的時(shí)延，記為τca，那么網(wǎng)絡(luò)總時(shí)延τ=τsc+τca

圖1 存在短時(shí)延和丟包的NCSs模型

由于網(wǎng)絡(luò)通訊帶寬受限，為保證采集的數(shù)據(jù)信號(hào)傳輸質(zhì)量，在保證系統(tǒng)性能的前提下盡可能降低通信資源占用率，我們?cè)诰W(wǎng)絡(luò)傳輸通道中引入對(duì)數(shù)量化器，記為h(x)。通過量化器，我們可以將傳感器采集到的連續(xù)信號(hào)進(jìn)行量化處理，轉(zhuǎn)化為一定數(shù)量的離散信號(hào)，這些離散信號(hào)可以代表傳感器采集的信號(hào)，編碼、傳輸這些離散信號(hào)可以在極大程度上降低連續(xù)信號(hào)的傳輸量。

量化器記為h(x)=[h1(x1)h2(x2)hn(xn)]，定義如下：

記Δh=diag{Δh1,Δh2,,Δhn}，其中，Δhm∈[-εhm,εhm]。根據(jù)文獻(xiàn)[3]，有：

h(x)=(I+Δh)x

假設(shè)系統(tǒng)采用輸入零階保持器策略，即在數(shù)據(jù)包到達(dá)之前保持前一周期的輸入，且傳感器采用時(shí)間驅(qū)動(dòng)，控制器和執(zhí)行器采用事件驅(qū)動(dòng)。那么，我們可以將系統(tǒng)描述為以下4種情況：

1)開關(guān)S1，S2都閉合：

2)開關(guān)S1閉合，開關(guān)S2打開：

up(k)=up(k-1)

3)開關(guān)S1打開，開關(guān)S2閉合：

xc(k)=xc(k-1)

up(k)=up(k-1)

4)開關(guān)S1，S2打開：

xc(k)=xc(k-1)

up(k)=up(k-1)

進(jìn)一步將上述結(jié)果簡(jiǎn)化為兩種情況：沒有發(fā)生丟包(開關(guān)S1，S2都閉合)與發(fā)生丟包(開關(guān)S1和S2中至少有一個(gè)打開)。如果引入一個(gè)二值變量i來表示系統(tǒng)的丟包情況：

那么，當(dāng)i=1時(shí)，

當(dāng)i=2時(shí)，

up(k)=up(k-1)

我們可以將圖1等效為如圖2所示的單邊丟包與短時(shí)延系統(tǒng)。

圖2 等效的單邊丟包與短時(shí)延NCSs模型

在NCSs中，被控對(duì)象一般是連續(xù)的，而控制器卻是離散的，所以要對(duì)其進(jìn)行離散化。假設(shè)連續(xù)時(shí)間下的被控對(duì)象狀態(tài)模型為：

離散時(shí)間下的狀態(tài)反饋控制器為：

uc(k)=K(I+Δh)xc(k)=(K+ΔK)x(k)

(1)

令ΔK=K*Δh，那么，離散時(shí)間下的被控對(duì)象狀態(tài)模型為[8]：

y(k)=Cx(k)

(2)

x(k+1)=

(3)

φ(k+1)=Φiφ(k)

(4)

其中，

2 指數(shù)穩(wěn)定性分析

本文考慮的NCSs是同時(shí)包含連續(xù)時(shí)間的被控對(duì)象與離散事件的閉環(huán)系統(tǒng)，稱為異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(ADS, asynchronous dynamic system)，是兼具離散動(dòng)態(tài)和連續(xù)動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)，也稱為混雜系統(tǒng)，由Hassibi等人在1999年首次提出[6]，其時(shí)間動(dòng)力學(xué)模型由差分方程描述，切換開關(guān)描述離散事件動(dòng)力學(xué)模型。數(shù)據(jù)包到達(dá)亦或丟失以及有限開關(guān)的開啟與閉合均能使用異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型。如傳感器輸出的采樣值通過量化器到達(dá)控制器，采樣數(shù)據(jù)和反饋數(shù)據(jù)均通過網(wǎng)絡(luò)傳輸，網(wǎng)絡(luò)的不確定性包括超時(shí)等待或擁堵均能導(dǎo)致數(shù)據(jù)包丟失。文獻(xiàn)[7]給出了異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定性的條件，本節(jié)在此基礎(chǔ)上展開NCSs穩(wěn)定性分析，首先需要用到如下引理。

β1‖x‖2≤V(x)≤β2‖x‖2

其中：β1,2>0；且且存在標(biāo)量α1,α2,,αN，滿足：

(5)

則該系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。

定理3：對(duì)式(4)描述的異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)φ(k+1)=Φiφ(k)，存在事件Es(i) ={E1,E2}，對(duì)應(yīng)事件率為ri={r1,r2}，r1+r2=1，選取Lyapunov函數(shù)V(φ(k))=φT(k)Pφ(k)，P為一個(gè)對(duì)稱正定矩陣。那么，如果存在標(biāo)量α1，α2，滿足：

(7)

且存在X=P-1，滿足：

(8)

則式(4)所描述的NCSs是指數(shù)穩(wěn)定的。

根據(jù)引理1中的式(5)可以得到：

即：

將V(φ(k))=φT(k)Pφ(k)代入可得：

φT(k+1)Pφ(k+1)-αi(-2)φT(k)Pφ(k)≤0

將：

φ(k+1)=Φiφ(k)

代入得：

化簡(jiǎn)可得：

由于P是一個(gè)對(duì)稱正定矩陣，所以P-1也是對(duì)稱正定矩陣，將上式分別左乘、右乘P-1，可以得到：

利用引理2可以得到：

設(shè)X=P-1，代入上式，得到：

定理3證畢。

仿真算例：

考慮被控對(duì)象狀態(tài)方程描述的NCSs參數(shù)如下：

(9)

采樣周期為0.3 s，控制器和執(zhí)行器節(jié)點(diǎn)都采用事件驅(qū)動(dòng)，系統(tǒng)總網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延為0.1 s。若控制器增益為K=[-3.50 -11.55]，如果系統(tǒng)不發(fā)生丟包時(shí)是指數(shù)穩(wěn)定的。那么要考慮：當(dāng)通信網(wǎng)絡(luò)介入后，發(fā)生數(shù)據(jù)丟包，數(shù)據(jù)包的傳輸成功率為r1=0.90，即數(shù)據(jù)丟包發(fā)生的概率為r2=1-r1=0.10，此時(shí)，利用Matlab的LMI工具箱構(gòu)造線性矩陣不等式，求解正定矩陣X，最終可以得到如下結(jié)果：

代入到Φ1、Φ2中可得：

通過該例可以驗(yàn)證定理3的結(jié)果是有效的，系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定性可行。

3 狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)

在實(shí)際的應(yīng)用場(chǎng)合中，往往需要通過考慮閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)而設(shè)計(jì)控制器參數(shù)，本節(jié)假設(shè)已知NCSs的丟包率，利用LMI工具箱設(shè)計(jì)控制器參數(shù)使閉環(huán)NCSs是指數(shù)穩(wěn)定的。

3.1 LMI處理方法

將離散狀態(tài)空間模型化簡(jiǎn)為：

x(k+1)=

i=1，不發(fā)生丟包，i=2，發(fā)生丟包。

則:

(10)

為具有兩個(gè)離散事件的異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，要想該系統(tǒng)能夠指數(shù)穩(wěn)定，那么需要引理1的兩個(gè)條件，從而得到滿足條件的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)。式(6)可以直接獲得，式(5)可以通過線性矩陣不等式[8]得到。

選取李雅普諾夫函數(shù)V(x(k))=xT(k)Px(k)+xT(k-1)Qx(k-1)，P和Q均為對(duì)稱的正定矩陣，那么根據(jù)引理1中的式(5):

可以得到:

將李雅普諾夫函數(shù)代入得:

xT(k+1)Px(k+1)+xT(k)Qx(k)-

根據(jù)式(10)可以得到：

1)當(dāng)i=1時(shí)：

這里，

(11)

*表示矩陣相應(yīng)元素的對(duì)稱項(xiàng)。

2)當(dāng)i=2時(shí)：

(12)

令X=P-1，T=P-1QP-1，Y=KX=KP-1，ΔY=(ΔK)X將式(11)和式(12)化簡(jiǎn)，最后可以得到如下線性矩陣不等式組：

(13)

對(duì)式中存在的非線性項(xiàng)進(jìn)行處理并根據(jù)Schur引理，式(13)可等價(jià)于：

利用LMI工具箱構(gòu)造此線性矩陣不等式組，可以求得X、T、Y，控制器參數(shù)可以通過K=YX-1獲得。

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

仍然考慮被控對(duì)象狀態(tài)方程如式(9)所示的NCSs：

傳感器采樣周期0.3 s，系統(tǒng)總網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延為0.1s，數(shù)據(jù)包的傳輸成功率為r1=0.90，即數(shù)據(jù)丟包發(fā)生的概率為r2=1-r1=0.10。

根據(jù)引理1的式(6)，取α1=1.07，α2=0.6時(shí)，則衰減率α=1.034 0>1，滿足條件。選擇ε=0.02，σ=50。再利用LMI工具箱求解如式(13)的線性矩陣不等式組，可得:

圖3 系統(tǒng)存在時(shí)延和丟包時(shí)的狀態(tài)響應(yīng)曲線圖

4 結(jié)束語

NCSs是控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，但是由于網(wǎng)絡(luò)的介入會(huì)帶來許多問題，應(yīng)用在分布式控制與存在丟包的情形時(shí)[9-12]，系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)顯得尤為重要。本文對(duì)存在短時(shí)延的NCSs，不僅設(shè)置了對(duì)數(shù)量化器，而且考慮雙通道的數(shù)據(jù)丟包問題，即傳感器-控制器通道和控制器-執(zhí)行器通道同時(shí)存在數(shù)據(jù)包丟失的情況，把系統(tǒng)建模成為具有兩個(gè)離散事件的異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性理論進(jìn)行該NCSs的指數(shù)穩(wěn)定性分析，并利用MATLAB軟件的LMI工具箱設(shè)計(jì)出了該異步動(dòng)態(tài)系統(tǒng)控制器參數(shù)，同時(shí)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文方法是有效且可行的。