羅衛(wèi)蘭

（南京郵電大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院、軟件學(xué)院、網(wǎng)絡(luò)空間安全學(xué)院，江蘇南京 210023）

0 引言

新工科是在新時(shí)代、新環(huán)境、新形勢(shì)、新需求下，就如何培養(yǎng)新工科學(xué)生達(dá)成的初步共識(shí)，是高等工程教育改革的初步探索［1］。新工科強(qiáng)調(diào)“以學(xué)生為中心”的教學(xué)理念，強(qiáng)調(diào)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的多樣性和新穎性、理論結(jié)合實(shí)際、實(shí)踐應(yīng)用及多學(xué)科交叉。

離散數(shù)學(xué)課是高等工科院校計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要必修基礎(chǔ)課，是隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展而形成的一門(mén)交叉課程。它主要研究離散量的結(jié)構(gòu)及其相互之間的關(guān)系，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其借用數(shù)學(xué)工具，采用數(shù)學(xué)方法，分析計(jì)算機(jī)科學(xué)中的“離散”特點(diǎn)，對(duì)計(jì)算機(jī)發(fā)展、計(jì)算機(jī)科學(xué)研究起著重要作用。因而，離散數(shù)學(xué)有濃厚的數(shù)學(xué)味道，也具有重要應(yīng)用價(jià)值。該課程具有數(shù)學(xué)特點(diǎn)，必定具有數(shù)學(xué)相關(guān)類(lèi)課程的一些特點(diǎn)，例如：比較抽象、枯燥、概念多、內(nèi)容關(guān)聯(lián)性強(qiáng)、難學(xué)好等。課程學(xué)習(xí)難度大，學(xué)生失去學(xué)習(xí)興趣，導(dǎo)致課程就更加難以學(xué)好。學(xué)生對(duì)理論性知識(shí)感覺(jué)“面目可憎，難以消化”。但教師若多做準(zhǔn)備工作，在教學(xué)形式、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)互動(dòng)方式上多加以改進(jìn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性及興趣，理論性知識(shí)也可以變得生動(dòng)有趣。

離散數(shù)學(xué)課程應(yīng)用非常廣泛，許多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究。仇晨曄［2］將離散數(shù)學(xué)課程與人工智能技術(shù)緊密結(jié)合，注重實(shí)例探討，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果；彭璐［3］提出適用于獨(dú)立學(xué)院的“三位一體”教學(xué)模式——知識(shí)框架+基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)+交流平臺(tái)。本文通過(guò)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)和教學(xué)模式設(shè)計(jì)，改進(jìn)離散數(shù)學(xué)教學(xué)模式，通過(guò)精心設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，開(kāi)展交叉學(xué)科講解并合理利用多種在線(xiàn)平臺(tái)，能夠提升學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)新性。

1 教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)類(lèi)課程的典型特點(diǎn)是符號(hào)化、公式化、定義定理化。這種抽象化表示往往難以理解，在講解過(guò)程中，采用理論聯(lián)系實(shí)際的方法，給學(xué)生列舉實(shí)際生活中的例子，讓學(xué)生加深對(duì)相關(guān)概念的理解。課程中各知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)性強(qiáng)，環(huán)環(huán)相扣，對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理并進(jìn)行歸納總結(jié)，有助于學(xué)生理解各章節(jié)的難點(diǎn)和重點(diǎn)。同時(shí)，計(jì)算機(jī)類(lèi)相關(guān)課程應(yīng)注重實(shí)踐應(yīng)用，適當(dāng)選取相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，有助于學(xué)生理解理論知識(shí)。更進(jìn)一步，教學(xué)應(yīng)注重各學(xué)科之間的交叉應(yīng)用，在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)適時(shí)引出這些方面的知識(shí)，拓展學(xué)生視野。

（1）理論聯(lián)系實(shí)際。理論從實(shí)際中來(lái)，并接受實(shí)踐檢驗(yàn)。理論只有聯(lián)系實(shí)際，才能從實(shí)際出發(fā)，指導(dǎo)應(yīng)用實(shí)踐。脫離實(shí)際的理論，就會(huì)變成僵死的教條。在教授學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)理論知識(shí)過(guò)程中，要注重引導(dǎo)學(xué)生同實(shí)際生活中的例子相結(jié)合，而不是簡(jiǎn)單僵化地?cái)⑹龈拍疃ɡ?。例如，在講解“歐拉圖”和“漢密爾頓圖”時(shí)，提出“周游玄武湖”問(wèn)題，思考是否能夠完成以下兩個(gè)設(shè)想：遍游玄武湖但不走回頭路并最終能回到起點(diǎn)；參觀所有重要景點(diǎn)一次且僅一次并回到起點(diǎn)?！爸苡涡浜眴?wèn)題，貼近現(xiàn)實(shí)生活，但該問(wèn)題并沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案，問(wèn)題能否解決，取決于解題人所構(gòu)造的玄武湖的圖結(jié)構(gòu)。但無(wú)論答案如何，通過(guò)對(duì)該問(wèn)題的思考，學(xué)生能較好地理解圖的相關(guān)概念，并理解這門(mén)課程的實(shí)際應(yīng)用意義。更進(jìn)一步，對(duì)于玄武湖，也可以提出更多問(wèn)題加以思考，如設(shè)計(jì)“神策門(mén)”到“玄武門(mén)”最佳散步路線(xiàn)、慢跑5 公里路線(xiàn)推薦等。

（2）實(shí)踐創(chuàng)新能力培養(yǎng)。本課程開(kāi)設(shè)了實(shí)驗(yàn)課程，通過(guò)實(shí)踐內(nèi)容，能培養(yǎng)學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的興趣，并提高學(xué)生動(dòng)手能力。對(duì)于實(shí)驗(yàn)課內(nèi)容，課程組也做了精心設(shè)計(jì)。由于離散數(shù)學(xué)課程基本開(kāi)設(shè)在大一下半學(xué)期或者大二上半學(xué)期，學(xué)生對(duì)于編程理論知識(shí)接觸到的基本只有C 語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)之類(lèi)的課程，編程能力相對(duì)較弱。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容選取上，一方面結(jié)合離散數(shù)學(xué)課程特點(diǎn)，選擇課程中的重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)；另一方面，兼顧學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)度，設(shè)計(jì)容易上手的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，但又具有一定自主發(fā)揮的空間和余地。實(shí)驗(yàn)課程題目涉及命題邏輯、關(guān)系、格與圖論，沒(méi)有對(duì)編程語(yǔ)言及環(huán)境做硬性規(guī)定，學(xué)生可以自由選擇編程語(yǔ)言。從目前反饋情況看，學(xué)生選擇較多的編程語(yǔ)言是C++和C，近年來(lái)也有部分學(xué)生選擇Python，也有少部分學(xué)生選用Matlab。本課程實(shí)驗(yàn)都經(jīng)過(guò)了精心設(shè)計(jì)，例如實(shí)驗(yàn)一，基本要求是根據(jù)真值表求命題公式的主析取范式和主合取范式。擴(kuò)展要求是用戶(hù)可以輸入命題公式，計(jì)算公式對(duì)應(yīng)的真值表，再完成基本要求，力保所有學(xué)生都能順利完成實(shí)驗(yàn)。擴(kuò)展要求需課外知識(shí)點(diǎn)支持，實(shí)驗(yàn)一的擴(kuò)展問(wèn)題，需用到堆棧、中綴表達(dá)式轉(zhuǎn)后綴表達(dá)式之類(lèi)的與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于這些知識(shí)，學(xué)生還沒(méi)有接觸到，因此需要學(xué)生通過(guò)自習(xí)的方式去解決問(wèn)題，提高學(xué)生自學(xué)能力。從實(shí)施效果看，學(xué)生完成情況良好，30% 左右的學(xué)生完成了基本實(shí)驗(yàn)要求，70% 的學(xué)生較好地完成了擴(kuò)展要求。甚至有學(xué)生獨(dú)立設(shè)計(jì)完成了一個(gè)基于安卓平臺(tái)的計(jì)算器，輸入命題公式并得到其對(duì)應(yīng)的主析取范式和主合取范式。通過(guò)實(shí)踐課程學(xué)習(xí)，學(xué)生能更好地理解本課程相關(guān)理論知識(shí)，并能將理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐，也了解各相關(guān)課程之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的趣味性。

（3）交叉學(xué)科應(yīng)用。計(jì)算機(jī)科學(xué)知識(shí)發(fā)展更新快、學(xué)科交叉程度高、應(yīng)用面廣，教師在積極引導(dǎo)學(xué)生注重基礎(chǔ)理論學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，還需要強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的重要性，告訴學(xué)生離散數(shù)學(xué)的知識(shí)能應(yīng)用于哪些相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域中。離散數(shù)學(xué)在各學(xué)科領(lǐng)域，特別是在計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，同時(shí)離散數(shù)學(xué)也是計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的許多專(zhuān)業(yè)課程，如操作系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)通信與網(wǎng)絡(luò)、人工智能、數(shù)據(jù)庫(kù)、算法設(shè)計(jì)與分析等必不可少的先行課程。離散數(shù)學(xué)知識(shí)能廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)挖掘、網(wǎng)絡(luò)安全、人工智能、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和計(jì)算機(jī)視覺(jué)等領(lǐng)域。隨著科技的發(fā)展，教師應(yīng)多關(guān)注前沿技術(shù)應(yīng)用，向?qū)W生介紹最新研究成果，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。舉例說(shuō)明圖的應(yīng)用問(wèn)題，可以將其擴(kuò)展為三維網(wǎng)格結(jié)構(gòu)在三維電影、三維游戲、三維B 超中的廣泛應(yīng)用。更進(jìn)一步，還可以列舉更為實(shí)際的應(yīng)用，如將圖像分割算法中的Graph Cut算法應(yīng)用于圖論中的最小割（Min-Cut）理論等。

（4）強(qiáng)調(diào)歸納總結(jié)。理論課程學(xué)習(xí)中，應(yīng)注重學(xué)生思維能力和歸納總結(jié)能力培養(yǎng)。教師在授課過(guò)程中，應(yīng)理清各章節(jié)相互關(guān)系，對(duì)各知識(shí)要點(diǎn)做好歸納總結(jié)，善于運(yùn)用圖表方式對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行概括，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)總結(jié)。

2 多平臺(tái)混合教學(xué)模式

在大數(shù)據(jù)時(shí)代，接收信息的渠道越來(lái)越多，利用在線(xiàn)資源并發(fā)展混合式教學(xué)模式是未來(lái)高等院校課程發(fā)展大勢(shì)所趨［4］。混合式教學(xué)強(qiáng)調(diào)線(xiàn)上線(xiàn)下有序結(jié)合，將傳統(tǒng)面對(duì)面課堂和在線(xiàn)教學(xué)資源進(jìn)行有機(jī)整合，通過(guò)多維式互動(dòng)教學(xué)［5-6］獲得最佳教學(xué)效果，如圖1 所示。

圖1 多維式混合互動(dòng)教學(xué)模塊

2.1 騰訊會(huì)議直播授課

傳統(tǒng)面對(duì)面課堂教學(xué)有其存在的價(jià)值和意義，其并不能被完全取代。傳統(tǒng)課堂下，教師與學(xué)生可高效實(shí)時(shí)交流，教師對(duì)學(xué)生課堂表現(xiàn)也有最直觀的把控，且課堂板書(shū)效果難以被替代。2020 年疫情之下，各高校都開(kāi)啟了在線(xiàn)教學(xué)模式。離散數(shù)學(xué)課程組也采用騰訊會(huì)議直播方式進(jìn)行在線(xiàn)授課。其在很大程度上能對(duì)傳統(tǒng)課堂進(jìn)行在線(xiàn)模擬，但相比傳統(tǒng)課堂，仍有不便之處。

（1）實(shí)時(shí)交流受限制。在線(xiàn)授課過(guò)程中，為了避免雜音干擾，一般要求學(xué)生關(guān)麥。在傳統(tǒng)課堂教學(xué)過(guò)程中，教師拋出一個(gè)問(wèn)題，不指定學(xué)生回答，知道答案的學(xué)生都可以作答，或者學(xué)生會(huì)有幾類(lèi)答案，教師可以快速判斷學(xué)生學(xué)習(xí)情況。但在線(xiàn)教學(xué)就很難達(dá)到這種實(shí)時(shí)效果。操作過(guò)程中，甚至?xí)霈F(xiàn)學(xué)生無(wú)法開(kāi)麥的情況。

（2）板書(shū)效果差強(qiáng)人意。在授課過(guò)程中，除對(duì)PPT 內(nèi)容進(jìn)行講解外，也需對(duì)重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容予以強(qiáng)調(diào)，或?qū)φn堂內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)。板書(shū)內(nèi)容可以對(duì)PPT 進(jìn)行有效補(bǔ)充，但在線(xiàn)教學(xué)過(guò)程中，直接在PPT 中用鼠標(biāo)進(jìn)行標(biāo)注，速度慢、效果差。若借助手寫(xiě)板等工具，板書(shū)內(nèi)容無(wú)法實(shí)時(shí)保存，效果也不理想。如果通過(guò)QQ 群將重點(diǎn)內(nèi)容傳遞給學(xué)生，則在教學(xué)過(guò)程中需一直切換各在線(xiàn)工具，學(xué)習(xí)效果不佳。

2.2 輔助教學(xué)平臺(tái)

傳統(tǒng)課堂教學(xué)有其存在的必要性，但在線(xiàn)教學(xué)方式也有自身特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，應(yīng)成為其強(qiáng)有力的補(bǔ)充教學(xué)手段［7-8］。該課程結(jié)合實(shí)際情況，選擇中國(guó)大學(xué)MOOC、QQ 群和騰訊會(huì)議教學(xué)平臺(tái)作為輔助工具。

中國(guó)大學(xué)MOOC（慕課）是愛(ài)課程網(wǎng)攜手網(wǎng)易云課堂打造的在線(xiàn)學(xué)習(xí)平臺(tái)，通過(guò)該平臺(tái)，學(xué)習(xí)者可以學(xué)習(xí)中國(guó)優(yōu)質(zhì)的大學(xué)課程。慕課主要有以下3 類(lèi)主要功能：

（1）在線(xiàn)視頻。要求學(xué)生自主觀看，主要用于課程預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)。

（2）慕課堂。慕課堂提供了非常完善的線(xiàn)下輔助模式。教師可以事先備課，準(zhǔn)備練習(xí)、問(wèn)卷、討論等各類(lèi)教學(xué)內(nèi)容，并于上課過(guò)程中發(fā)布。各種形式的練習(xí)，是對(duì)上課內(nèi)容的鞏固，讓學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解是否有偏差。在教師講解過(guò)程中，穿插這部分內(nèi)容，能避免教師唱“獨(dú)角戲”，讓學(xué)生積極思考，而不是一味地接受知識(shí)。慕課堂還提供了簽到和點(diǎn)名功能，有助于規(guī)范課堂紀(jì)律。

（3）測(cè)驗(yàn)和作業(yè)。慕課可以按照教師需求，個(gè)性化實(shí)施測(cè)驗(yàn)和發(fā)布作業(yè)?？陀^題系統(tǒng)自動(dòng)更改，減少了教師批改作業(yè)的工作量。主觀題可以教師批閱，也可以學(xué)生互改。兩種方式穿插進(jìn)行，有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。特別是作業(yè)互改方式，讓學(xué)生也體驗(yàn)了一把小老師的感覺(jué)，對(duì)題目的理解也會(huì)更加深刻。

QQ 群主要用于發(fā)布重要信息，包括各種教學(xué)資料，如電子教材、PPT、教學(xué)大綱、授課計(jì)劃表等相關(guān)資料。QQ 群也可用于日常簡(jiǎn)單問(wèn)題答疑及通知發(fā)布等。

騰訊會(huì)議提供了非常穩(wěn)定的直播交流模式，在疫情期間是各大高校非常重要的直播工具，在正常教學(xué)環(huán)節(jié)過(guò)程中，其也可以作為一種快捷有效的答疑工具。騰訊會(huì)議的屏幕共享功能可實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)資料調(diào)用，教師可以直接調(diào)用學(xué)生答案，分析問(wèn)題所在。

采用多維式互動(dòng)教學(xué)方式，有效拓展了傳統(tǒng)理論課程的教學(xué)空間，將傳統(tǒng)教學(xué)與現(xiàn)代手段相結(jié)合，教學(xué)方式更加靈活，教學(xué)手段更加先進(jìn)，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，也有利于學(xué)生個(gè)性化發(fā)展，同時(shí)提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性與積極性。

3 教師人格魅力

在教學(xué)中，應(yīng)遵循“以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體”的原則，教會(huì)學(xué)生“怎么學(xué)”，以提高學(xué)生素質(zhì)為宗旨，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和學(xué)習(xí)能力、實(shí)踐能力。

教師的理想信念、學(xué)識(shí)水平、知識(shí)能力、個(gè)人情趣、品質(zhì)修養(yǎng)等，都能在潛移默化中感染和影響學(xué)生。教師的人格魅力對(duì)學(xué)生的健康成長(zhǎng)有最直接的示范和導(dǎo)向作用，學(xué)生的世界觀、人生觀、價(jià)值觀大多在學(xué)校形成，教師的人格魅力對(duì)學(xué)生影響深遠(yuǎn)。

教師的人格魅力包含品德和才能。學(xué)高為師，身正為范，師德是教師的靈魂。作為教師，應(yīng)愛(ài)國(guó)愛(ài)黨，堅(jiān)持正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀，熱愛(ài)教育事業(yè)，向?qū)W生傳遞正能量。在教學(xué)過(guò)程中，針對(duì)學(xué)生特點(diǎn)，堅(jiān)持以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)、教學(xué)為主線(xiàn)，注重講練結(jié)合。同時(shí)，淵博的知識(shí)是教師必備的基本素養(yǎng)，也是衡量教師是否稱(chēng)職的重要衡量標(biāo)準(zhǔn)。教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)手段的豐富與改進(jìn)，離不開(kāi)教師知識(shí)的積累。一位具有豐富科學(xué)文化基礎(chǔ)知識(shí)和精深專(zhuān)業(yè)學(xué)科知識(shí)的教師，在教學(xué)過(guò)程中充滿(mǎn)自信，滿(mǎn)懷激情，能風(fēng)趣幽默、理論聯(lián)系實(shí)際地向?qū)W生傳授知識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與積極性，使學(xué)生保持求知的熱情。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)優(yōu)化課程教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)手段，學(xué)生能夠更好地理解離散數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想和基本概念，掌握離散數(shù)學(xué)常用基本方法、手段、技巧，并具備一定的分析論證能力和較強(qiáng)的運(yùn)算能力，能運(yùn)用常用的離散數(shù)學(xué)思想方法解決計(jì)算機(jī)科學(xué)中的相關(guān)實(shí)際問(wèn)題，在學(xué)習(xí)數(shù)理邏輯與代數(shù)系統(tǒng)知識(shí)的基礎(chǔ)上，具有較好的抽象能力、邏輯思維能力、歸納構(gòu)造能力，以及針對(duì)計(jì)算機(jī)及應(yīng)用領(lǐng)域的具體問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的能力。

多維混合式教學(xué)是“互聯(lián)網(wǎng)+教育”的發(fā)展方向，2020年突如其來(lái)的疫情，也讓高校教師充分了解在線(xiàn)教學(xué)授課方式。作為高校教師，要主動(dòng)以疫情防控期間線(xiàn)上教學(xué)為契機(jī)，加強(qiáng)線(xiàn)上教學(xué)、研討與交流，全面推進(jìn)混合式教學(xué)改革與建設(shè)，助推學(xué)?！盎ヂ?lián)網(wǎng)+教育”發(fā)展。