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        旋轉(zhuǎn)懸臂Rayleigh軸的Galerkin近似解1)

        2021-01-06 05:16:12張玉環(huán)任勇生張金峰
        力學(xué)與實(shí)踐 2020年6期
        關(guān)鍵詞:渦動特征方程旋轉(zhuǎn)軸

        張玉環(huán) 任勇生 張金峰

        (山東科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院,山東青島266590)

        在機(jī)械工程領(lǐng)域,蒸汽機(jī)、燃?xì)鈾C(jī)、內(nèi)燃機(jī)驅(qū)/傳動軸、機(jī)床主軸以及鏜/銑削刀具,均可簡化為一類典型的旋轉(zhuǎn)軸力學(xué)模型,精確地描述旋轉(zhuǎn)軸的動力學(xué)建模和動力學(xué)特性對于提高機(jī)械效率和/或者機(jī)床加工精度具有重要的理論指導(dǎo)意義。旋轉(zhuǎn)軸的動力學(xué)建模理論包括經(jīng)典的Euler-Bernoulli梁理論、在Euler-Bernoulli梁模型中引入轉(zhuǎn)動慣量的Rayleigh梁理論,以及在Rayleigh梁模型中引入剪切變形的Timoshenko梁理論。其中,Euler-Bernoulli梁理論適用于分析細(xì)長軸的低階振動特性。既然鏜/銑削系統(tǒng)的顫振大多數(shù)是圍繞細(xì)長刀桿結(jié)構(gòu)的低階固有頻率發(fā)生的[1],并且由于旋轉(zhuǎn)軸上陀螺效應(yīng)的存在,轉(zhuǎn)動慣量的影響也是不容忽視的,所以,為了精確揭示旋轉(zhuǎn)細(xì)長軸的動力學(xué)特性,采用Rayleigh梁理論對旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行結(jié)構(gòu)動力學(xué)建模與數(shù)值分析是十分必要的。

        Dimentberg[2]采用Euler-Bernoulli梁導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)軸的特征方程。Lee等[3]給出旋轉(zhuǎn)Rayleigh簡支軸和懸臂軸的特征值和特征函數(shù)。Katz等[4]基于Timoshenko梁理論分析了旋轉(zhuǎn)軸的動力學(xué)特性。Zu等[5-6]基于模態(tài)分析法對具有不同邊界條件的旋轉(zhuǎn)Timoshenko軸進(jìn)行自由振動分析。Shiau等[7]給出旋轉(zhuǎn)簡支Rayleigh軸渦動頻率的封閉解。Sheu等[8]建立簡支旋轉(zhuǎn)Rayleigh軸的渦動頻率的解析表達(dá)式。Banerjee等[9]導(dǎo)出Euler-Bernoulli復(fù)合材料梁的動剛度矩陣并采用Wittrick-Williams算法求解自由振動和臨界轉(zhuǎn)速。任勇生等[10]建立Euler-Bernoulli黏彈性復(fù)合材料旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動方程,采用Galerkin法求解得到渦動頻率與阻尼。

        經(jīng)典的求解方法是利用分離變量法對偏微分運(yùn)動方程進(jìn)行求解,建立表征模態(tài)振型的特征方程,由于特征方程與特征值是渦動頻率和轉(zhuǎn)速的非線性函數(shù),所以無法得到渦動頻率解的封閉表達(dá)式,只能采用數(shù)值計(jì)算的方法求解非線性特征方程,以獲得Rayleigh軸的渦動頻率和臨界轉(zhuǎn)速。Galerkin法是一種尋求振動系統(tǒng)連續(xù)偏微分方程近似解的實(shí)用、有效近似解法,已經(jīng)在線性與連續(xù)非線性振動系統(tǒng)的求解中得到了廣泛的應(yīng)用[11-12]。

        本文研究旋轉(zhuǎn)懸臂軸的渦動頻率和臨界轉(zhuǎn)速。為了獲得渦動頻率和臨界轉(zhuǎn)速的近似解,首先給出基于分離變量解法的旋轉(zhuǎn)懸臂軸的渦動頻率和臨界轉(zhuǎn)速求解數(shù)學(xué)公式,其次采用Galerkin法將軸的偏微分運(yùn)動方程化為常微分方程,然后通過求解矩陣特征值問題得到渦動頻率和臨界轉(zhuǎn)速的近似解,分別選用不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli軸的振型函數(shù)和旋轉(zhuǎn)Rayleigh軸的振型函數(shù)為Galerkin過程的試探函數(shù)。并且將Galerkin法與基于經(jīng)典方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比分析。

        1 數(shù)學(xué)模型

        1.1 運(yùn)動方程與自由振動經(jīng)典解

        單位長度質(zhì)量為m,轉(zhuǎn)速為Ω,長度為L,半徑為R的圓截面均勻無阻尼旋轉(zhuǎn)軸(如圖1所示)的運(yùn)動方程為[8]

        式中,v和w分別表示軸上任意一點(diǎn)x沿y和z方向的位移,E表示楊氏模量,I表示直徑慣性矩,J表示軸的轉(zhuǎn)動慣量。

        圖1 旋轉(zhuǎn)軸結(jié)構(gòu)簡圖

        m和J計(jì)算表達(dá)式分別為

        式中,ρ為密度。

        對運(yùn)動方程采用無量綱變換

        式中,EI表示抗彎剛度。

        無量綱運(yùn)動方程為

        引入復(fù)變量U=ˉv+iˉw,運(yùn)動方程(5)和方程(6)可以合并為一個復(fù)方程

        將式(8)代入式(7),得

        方程(9)的解為

        其中

        渦動振型函數(shù)為

        其中,系數(shù)C1,C2,C3,C4由邊界條件確定。

        懸臂軸在ˉx=0固支,在ˉx=L自由,則邊界條件可以表示為

        由條件(13)得到特征方程

        對應(yīng)的渦動振型函數(shù)為

        為了求得渦動頻率,首先將式(10)和式(11)代入方程(14),得到的方程(14)是渦動頻率的超越方程,沒有封閉解。借助于數(shù)值解法,可以獲得它的兩個根,其中,正根對應(yīng)于正進(jìn)動渦動頻率γf,負(fù)根對應(yīng)于反進(jìn)動渦動頻率γb。如果將求解得到的渦動頻率代入方程(15),即可得到對應(yīng)的正、反進(jìn)動渦動振型函數(shù)φf和φb。為簡單起見,φ(ˉx),λ1和λ2的下標(biāo)j不再寫出。

        1.2 Galerkin近似解

        1.2.1 采用旋轉(zhuǎn)Rayleigh梁振型函數(shù)

        假設(shè)

        將式(16)和式(17)代入式(5)和式(6),再乘以φj,在[0,1]上積分,得

        其中

        通過求解振動方程組的特征值問題,可以得到渦動頻率。

        1.2.2 采用不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli梁振型函數(shù)

        其中,不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli梁的振型函數(shù)φj(ˉx)為

        特征方程為

        將式(20)和式(21)代入式(5)和式(6)可得相同形式的方程組(18),方程系數(shù)為

        與不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli梁的振型函數(shù)(22)相比,旋轉(zhuǎn)Rayleigh梁的振型函數(shù)(15)不僅包含了無量綱旋轉(zhuǎn)速度ˉΩ,同時也包含了無量綱轉(zhuǎn)動慣量l的影響。如果在方程(10)和方程(11)中令旋轉(zhuǎn)速度和轉(zhuǎn)動慣量同時為零,則有λ1=λ2。由此得到的特征方程(14)和渦動振型函數(shù)(15)即可分別退化為不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli梁的特征方程(23)和振型函數(shù)(22)。

        2 數(shù)值結(jié)果與討論

        圖2 和圖3給出利用式(15)畫出的旋轉(zhuǎn)軸的歸一化正進(jìn)動和反進(jìn)動振型曲線,并且為了比較,圖中還展示了利用式(22)畫出的不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli梁的振型曲線。圖2表示旋轉(zhuǎn)速度對正、反進(jìn)動振型曲線的影響,結(jié)果表明,正、反進(jìn)動振型之間是存在差別的,這種差別隨著轉(zhuǎn)速的增加而增加;另外,旋轉(zhuǎn)振型曲線與不旋轉(zhuǎn)振型曲線之間的差別也隨著轉(zhuǎn)速的增加而增加。圖3表示長徑比對正、反進(jìn)動振型曲線的影響,結(jié)果表明,正、反進(jìn)動振型曲線之間的差別隨著長徑比的增加而減??;另外,旋轉(zhuǎn)振型曲線與不旋轉(zhuǎn)振型曲線之間的差別隨著長徑比的增加而減小,由此可見,長徑比對振型曲線的影響與轉(zhuǎn)速對振型曲線的影響剛好是相反的。

        圖4~圖6 表示前三階渦動頻率隨長徑比的變化曲線(Ω=50),其中包括采用式(10),式(11)和式(14)得到經(jīng)典解,以及分別采用旋轉(zhuǎn)振型和不旋轉(zhuǎn)振型的Galerkin近似解。結(jié)果表明,采用上述三種解法得到的結(jié)果基本一致。

        圖7~圖9 表示前三階正進(jìn)動渦動頻率隨轉(zhuǎn)速變化曲線(l=40)。直線Ω=ω與+ωj(j=1,2,3)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)Ωcj代表第j階臨界轉(zhuǎn)速。結(jié)果表明,正進(jìn)動渦動頻率隨轉(zhuǎn)速變化曲線的經(jīng)典解與基于旋轉(zhuǎn)振型的Galerkin解重合,基于不旋轉(zhuǎn)振型的Galerkin解雖然與上述兩種解法得到的曲線不重合,但是相互之間的差距非常小。

        圖2 旋轉(zhuǎn)軸的正進(jìn)動和反進(jìn)動振型(l=15)

        圖3 旋轉(zhuǎn)軸的正進(jìn)動和反進(jìn)動振型(Ω=50)

        圖4 第一階渦動頻率隨長徑比變化曲線(Ω=50)

        圖5 第二階渦動頻率隨長徑比變化曲線(Ω=50)

        圖6 第三階渦動頻率隨長徑比變化曲線(Ω=50)

        圖7 第一階正進(jìn)動渦動頻率隨轉(zhuǎn)速變化曲線(l=40)

        圖8 第二階正進(jìn)動渦動頻率隨轉(zhuǎn)速變化曲線(l=40)

        圖9 第三階正進(jìn)動渦動頻率隨轉(zhuǎn)速變化曲線(l=40)

        表1 表示長徑比對前三階臨界轉(zhuǎn)速的影響。其中列出了采用三種不同方法得到的計(jì)算結(jié)果。方法1、方法2和方法3分別表示經(jīng)典解法、基于旋轉(zhuǎn)和不旋轉(zhuǎn)振型的Galerkin法。結(jié)果表明,臨界轉(zhuǎn)速隨著長徑比的增加而減小。采用三種方法得到的臨界轉(zhuǎn)速的數(shù)值是相同的。

        為了檢驗(yàn)Galerkin近似解法的收斂性,表2給出振型函數(shù)個數(shù)N對前三階渦動頻率的影響。其中,下標(biāo)n表示不旋轉(zhuǎn),r表示旋轉(zhuǎn),“+”表示正進(jìn)動;“-”表示反進(jìn)動。結(jié)果表明,采用Galerkin法得到的近似解具有很好的收斂性,例如,采用不旋轉(zhuǎn)振型函數(shù)求解,N=3即可得到收斂的第一階正進(jìn)動頻率+ωn1=3.544 5,反進(jìn)動頻率-ωn1=3.519 3。如果采用旋轉(zhuǎn)振型函數(shù),則取得相同收斂結(jié)果所需要的振型函數(shù)的個數(shù)是N=4。采用經(jīng)典解法得到的前三階渦動頻率為:+ω1=3.544 2,-ω1=3.514 9,+ω2=22.358 2,-ω2=21.990 9,+ω3=62.241 1,-ω3=61.405 9。這說明本文的Galerkin近似解收斂到經(jīng)典解。因此,為了確保收斂性,在本文的數(shù)值結(jié)果中,不旋轉(zhuǎn)振型函數(shù)的個數(shù)為3,旋轉(zhuǎn)振型函數(shù)的個數(shù)為4。表3表示前三階臨界轉(zhuǎn)速近似解的收斂性。結(jié)果表明,振型函數(shù)只要取較少的項(xiàng)數(shù)即可得到足夠精確的結(jié)果(注:采用經(jīng)典解法得到的前三階臨界轉(zhuǎn)速分別為3.518 7,22.026 5,62.601 5)。

        表1 長徑比對前三階臨界轉(zhuǎn)速的影響

        表2 前三階渦動頻率隨振型函數(shù)個數(shù)的變化(l=20,Ω=50)

        表3 臨界轉(zhuǎn)速的收斂性驗(yàn)證(l=20)

        3 結(jié)論

        本文給出懸臂旋轉(zhuǎn)軸渦動頻率和臨界轉(zhuǎn)速的經(jīng)典分析解以及Galerkin近似解的求解公式和計(jì)算過程,旋轉(zhuǎn)軸動力學(xué)模型基于考慮轉(zhuǎn)動慣量和陀螺效應(yīng)的Rayleigh梁理論建立。Galerkin過程分別采用轉(zhuǎn)速無關(guān)不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli懸臂梁振型函數(shù)和轉(zhuǎn)速相關(guān)旋轉(zhuǎn)Rayleigh懸臂梁振型函數(shù)。結(jié)果表明,Galerkin近似解具有較好的收斂性,僅保留3項(xiàng)不旋轉(zhuǎn)振型函數(shù)或者僅保留4項(xiàng)旋轉(zhuǎn)振型函數(shù),即可得到收斂的渦動頻率和臨界轉(zhuǎn)速。Galerkin近似解與經(jīng)典解之間的差距很小,可以忽略不計(jì)。轉(zhuǎn)速相關(guān)的旋轉(zhuǎn)Rayleigh振型函數(shù)涉及非線性特征方程求解,計(jì)算過程復(fù)雜,而不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli振型函數(shù)與轉(zhuǎn)速無關(guān),易于計(jì)算,為采用不旋轉(zhuǎn)Euler-Bernoulli振型函數(shù)近似求解旋轉(zhuǎn)懸臂軸動力學(xué)特性(例如,運(yùn)用于包括鏜、銑削連續(xù)刀桿切削系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析)和簡化數(shù)值計(jì)算過程提供了依據(jù)。

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