廣東省深圳市新安中學(xué)(集團(tuán))第二外國語學(xué)校(518100) 華南師范大學(xué)(510631) 鐘煥旻

1 引言

如圖1 是三角形中兩條塞瓦線相交的圖形模型.

雖然是一個非常簡單的圖形模型,但在小學(xué)高年級和中學(xué)低年級階段的數(shù)學(xué)競賽中出現(xiàn)的頻率很高.我們在此簡單列舉幾道競賽真題.

圖1

題1(第十屆華杯賽初一組總決賽一試第4 題[1])如圖2中三角形ABC的面積是60,BE:CE=1:2,AD:CD=3:1,求四邊形DOEC的面積.

題2(第十三屆華杯賽初一組決賽第11 題[1]) 如圖3所示,E,F是三角形ABC邊上的點,CE與BF相交于點P.已知三角形PBC的面試是12,且SΔEBP=SΔF P C=S四邊形AEP F,求三角形EBP的面積.

圖2

圖3

題3(第十八屆華杯賽初一組決賽B 卷第5 題[1])如圖4 所示, 三角形ABC中,E,F分別是邊AB,AC上的一點,CE,BF相交于點P, 已知SΔEBP=SΔF P C=S四邊形AEP F=4,則三角形PBC的面積是( ).

題4(2017年第十五屆小學(xué)希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽第一試6年級第8 題[2])如圖5,點E,F是三角形ABC邊AB,AC上的點,線段CE,BF交于點D.若三角形CDF,三角形BCD, 三角形BDE面積分別為3, 7, 7, 則四邊形AEDF面積為____.

圖4

圖5

我們可以在這幾道競賽真題中看到,在這個圖形中,常考察的是面積和線段比的計算.張景中院士所提出的共邊定理就是解決面積和線段比問題的強(qiáng)有力工具.在本文中,我們就將使用共邊定理的四種圖形形式來對這種類型的問題給出通解通法.

2 基本概念及相關(guān)性質(zhì)

定義1[3]連接三角形的一個頂點和它的對邊(或延長線)上一點(非端點)的線段稱為塞瓦線.

定 理1[4]如 圖6, ΔABC、ΔABD和ΔACD等高, 則BC:BD:CD=SΔABC:SΔABD:SΔACD;

證明見文獻(xiàn)[4].

圖6

等高模型是共邊定理的理論基礎(chǔ).張景中院士所提出的共邊定理正是由等高模型證明得到的.

圖7

定理2[5](共邊定理)若直線AB與PQ交于點M, 如圖7,有四種情形,則有

證明[5]

為了方便記憶,人們對共邊定理中的四種圖形賦予了生動形象的模型名字.我們簡要地介紹如下.

2.1 風(fēng)箏模型

風(fēng)箏模型是在任意四邊形內(nèi)的一個圖形模型,因四邊形的兩條對角線相交形似“風(fēng)箏骨架”,故得名風(fēng)箏模型.風(fēng)箏模型是定理1 共邊定理中情形(1)的圖形.即如圖7(1).此處需注意風(fēng)箏模型和箏形的區(qū)別.箏形是對角線相互垂直的四邊形,而風(fēng)箏模型是任意四邊形內(nèi)部兩條相交的對角線形成的.可以說箏形是風(fēng)箏模型的一種特殊情形.

定理3如圖8,在四邊形ABCD中,點O是對角線AC和BD的交點,則有以下結(jié)論:

(1)(共邊定理圖7 情形(1));

(2)(共邊定理圖7 情形(1));

(3)S1×S3=S2×S4.

證明(1) 和(2) 的證明見文獻(xiàn)[5].由等高模型有故交叉相乘即可得S1×S3=S2×S4.

圖8

圖9

2.2 燕尾模型

如圖9 中,在ΔABC中任意兩種顏色的陰影部分組合起來都如同燕尾的形狀,故稱之為燕尾模型.共邊定理中的圖7(2)就是燕尾模型.所以燕尾模型是共邊定理.

定理4如圖9,若點O是三角形ABC內(nèi)部任意一點,連接AO并延長與BC交于D點,連接BO并延長與AC交于E點,連接CO并延長與AB交于F點,即三角形ABC中的線段AD,BE,CF交于一點O.

(1)(共邊定理圖7 情形(2));

2.3 雙峰模型

雙峰模型就是共邊定理1 中的第四種圖形的體現(xiàn).在以往的小學(xué)高年級和中學(xué)低年級階段的數(shù)學(xué)競賽的平面幾何試題中出現(xiàn)頻率較少.但雙峰模型的結(jié)論可以給直線形圖形中求解線段比和面積比帶來極大的簡便.

圖10

此圖形被稱為雙峰模型的原因是兩個三角形ABC和DBC像兩座山峰一樣.它們以共同的“山底”BC為底,然后“山頂”頂點A,D連線和“山底”的延長線相交,所得到的線段AE,DE的比例等于兩個三角形的面積之比.這樣從圖形的特點出發(fā),給予生動形象的命名.

鑒于小學(xué)高年級和中學(xué)低年級階段的同學(xué)心智還比較不成熟,故使用貼近生活,生動形象的命名可以幫助同學(xué)們激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,從而更好地記憶共邊定理的各個形式.另一方面,在競賽題的圖形中,也能更快地找到對應(yīng)的圖形以及其中的數(shù)量關(guān)系,從而使用共邊定理給出簡潔的解答.

3 例題詳解及推廣和變式

例1[5]AD是ΔABC邊BC上的中線,過點B任意做一條直線交AD于點E,交AC于F,證明

圖11

圖12

圖13

證明一(風(fēng)箏模型)如圖12,連接DF,由風(fēng)箏模型和等高模型有

證明二(燕尾模型)如圖13,連接CE,由燕尾模型和等高模型有

我們將例1 推廣.

問題1如圖13,已知的值.

圖14

圖15

圖16

解法一(風(fēng)箏模型)如圖15,由風(fēng)箏模型和等高模型有

解法二(燕尾模型)如圖16,由燕尾模型和等高模型有

評注當(dāng)我們已知三角形邊上的比例時,可以借助風(fēng)箏模型或燕尾模型以及等高模型,以面積比例為中間橋梁,求得兩相交的塞瓦線上的線段比.

反過來,如果我們知道兩相交的塞瓦線上的線段比,同樣也有兩種方式可以求得三角形邊長上的線段比.

我們對上面的問題進(jìn)行變式.

問題2如圖14,已知的值.

解法一(雙峰模型)如圖15,由雙峰模型和等高模型有

從而有

由雙峰模型和等高模型有

從而有

解法二(燕尾模型)如圖16,由共邊定理的有

所以

由燕尾模型有

在問題1 中,我們是已知了三角形兩邊上的線段比,可以利用風(fēng)箏模型和燕尾模型來求解三角形內(nèi)的兩條塞瓦線上的線段比.問題2 的已知條件和待求問題正好與問題1 是相反的.已知條件是三角形內(nèi)兩條塞瓦線上的線段比,待求問題是三角形兩條塞瓦線所對的兩邊上的線段比.我們可以應(yīng)用雙峰模型(共邊定理的第四種圖形形式)還有共邊定理的第三種圖形形式和燕尾模型給出兩種解決方法.我們在問題1 和問題2 的解決過程中將共邊定理的四種形式都展示了出來.

可見本圖形三角形內(nèi)兩塞瓦線相交的圖形模型,雖然看著簡單,但蘊(yùn)含了豐富的數(shù)量關(guān)系.

我們還可以進(jìn)一步思考,如果在本圖形模型中,已知三角形一邊長上的線段比和某塞瓦線上的線段比,可否求出另一條邊上的線段比和另一條塞瓦線上的線段比呢? 是可以的.

問題3如圖14,已知的值.

解法一(風(fēng)箏模型)如圖15,由風(fēng)箏模型和等高模型有

解法二(燕尾模型)如圖16,由燕尾模型和等高模型有

問題4如圖14, 若已知求的值.

解法一(雙峰模型+風(fēng)箏模型)如圖15,由風(fēng)箏模型有所以SΔABE=pSΔBDE,由等高模型有所以SΔADE=aSΔCDE,

由雙峰模型有

解法二(燕尾模型)由共邊定理有由燕尾模型有=a,所以

所以

故由燕尾模型有

另一方面由共邊定理(3)有

由以上四個問題我們可以發(fā)現(xiàn)在三角形內(nèi)兩塞瓦線相交的圖形模型中,只要知道了三角形兩邊上的線段比和兩塞瓦線上的線段比這四組線段比中的兩組,就可以求出另外兩組線段比.為了敘述的簡便性, 我們將三角形的邊稱為“外邊”,將塞瓦線成為“內(nèi)邊”.稱“內(nèi)邊”AD與“外邊”BC是相對的位置關(guān)系,稱“內(nèi)邊”AD與“外邊”AC是相鄰的位置關(guān)系.同理可知BE與AC相對,BE與BC相鄰.我們可以將解題思路簡要地通過下面的三個流程圖進(jìn)行總結(jié).

圖17

圖18

圖19

若題目中再給出一個小三角形的面積,則可求得圖形中各個三角形,四邊形的面積,就是前面我們所列舉的那些競賽真題的考察形式.至此我們對此類問題給出了通解通法.