廣東省廣州市南沙東涌中學(xué)(511453) 霍銳泉

核心素養(yǎng), 是學(xué)生為適應(yīng)未來發(fā)展所具備的品格和關(guān)鍵能力.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的體現(xiàn),是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成的.專家學(xué)者普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含六個方面(如圖1).

圖1

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),是指學(xué)生利用相關(guān)實(shí)驗(yàn)工具(如紙張、模具、測量軟件(工具)、作圖工具、計(jì)算器(機(jī))等),在一定的實(shí)驗(yàn)環(huán)境或條件下進(jìn)行的數(shù)學(xué)思維活動,其目的在于通過實(shí)驗(yàn)獲某些數(shù)學(xué)知識或驗(yàn)證某個數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)結(jié)論,解決一些數(shù)學(xué)問題,是一種以學(xué)生親身動手參與實(shí)驗(yàn)操作為特征的數(shù)學(xué)探究實(shí)踐活動.其基本目的是讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證和豐富自己的數(shù)學(xué)認(rèn)識,促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

1 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提升學(xué)生幾何直觀能力

數(shù)學(xué)是集抽象思維和邏輯思維于一身的學(xué)科,一直給人抽象的感覺,相當(dāng)部分學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有困難.對于初中學(xué)生來說,他們的抽象思維能力還在形成和發(fā)展當(dāng)中,在思考數(shù)學(xué)問題時更多的是借助形象思維,借助實(shí)物或者具體的圖像.2011年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象,有助于探索解決問題的思路,預(yù)測結(jié)果.”幾何直觀可以讓學(xué)生借助圖形進(jìn)行思考,讓學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué),在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中有重要的作用.而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芤砸粋€直觀形象的方式呈現(xiàn),為抽象的數(shù)學(xué)提供直觀;使靜態(tài)變?yōu)閯討B(tài),使抽象的知識直觀化與具體化,為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供直觀形象的展現(xiàn);使抽象難懂的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)變?yōu)樾蜗笾庇^的感性知識,通過借助形象直觀的數(shù)學(xué)思維促進(jìn)學(xué)生把感性的知識上升為理性的知識.

案例1剪紙實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證公式:a2－b2=(a+b)(a－b).

實(shí)驗(yàn)?zāi)康耐ㄟ^剪紙體驗(yàn)由“形”到“數(shù)”的結(jié)論,并能借助圖形反映出部分“數(shù)”的幾何意義.

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備剪刀、白紙, 裝有“幾何畫板”的計(jì)算機(jī).

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟實(shí)驗(yàn)探究1:1.如圖2,在邊長為a的正方形中剪下一個邊長為b的正方形,則余下面積為:____

圖2

圖3

圖4

2.探究: 除了以上方法表示紙片的面積外還可以用怎樣的方法表示呢? (1)如圖3,沿虛線部分把紙片剪開,得到兩塊長方形紙片;(2)如圖4,把小長方形紙片與大長方形紙片重新組合成一個新的長方形;(3)可得新的長方形的面積為:____.由此可得結(jié)論:____.

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生動手操作, 自主探究, 通過觀察圖形,計(jì)算陰影部分的面積,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,進(jìn)行歸納,初步感受平方差公式可以利用圖形的前后變化,進(jìn)行直觀的驗(yàn)證.剪去小正方形后,圖3 的面積為a2－b2.沿著圖3 的虛線剪下小長方形,拼成長為(a+b)、寬為(a－b)的大長方形(圖4),圖4 面積為(a+b)(a－b).而圖3、圖4 的面積是相等的,由此可得出平方差公式:a2－b2=(a+b)(a－b).

實(shí)驗(yàn)探究2: 如圖5,在邊長為的正方形中剪下一個邊長為b的正方形,把陰影部分拼成梯形(圖6),分別計(jì)算圖5、圖6 的陰影部分面積,根據(jù)前后兩者圖形的變化,你還能驗(yàn)證到平方差公式嗎?

圖5

圖6

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生從另一種探究方式,得出平方差公式的又一驗(yàn)證方法,進(jìn)一步感受可以利用幾何直觀驗(yàn)證平方差公式.圖5 中陰影部分的面積為a2－b2; 圖6 中梯形的上下底長分別為2b、2a,高為a－b,根據(jù)梯形面積公式可知圖6 的面積為化簡可得:a2－b2=(a+b)(a－b),因而平方差公式得到驗(yàn)證.

希爾伯特曾經(jīng)說過:“圖形可以幫助我們找到解決數(shù)學(xué)問題的思路,圖形能幫助我們理解和記憶我們所得到的數(shù)學(xué)結(jié)果.”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)使得抽象的數(shù)學(xué)以形象直觀的方式呈現(xiàn),利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué),能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀,增強(qiáng)運(yùn)用圖形的意識,提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力,抓住事物的本質(zhì)特征,感悟知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,促進(jìn)學(xué)生更好地理解和掌握相應(yīng)的知識.

2 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力

建立數(shù)學(xué)模型是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑,可以起到溝通理論與實(shí)際的中介橋梁作用.通過數(shù)學(xué)建模,讓學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模的思想方法,感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.引導(dǎo)學(xué)生對具體的生活情境進(jìn)行分析、研究、探索, 構(gòu)建實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型, 然后用觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、證明等方法,求解出模型的結(jié)果,再應(yīng)用到實(shí)際問題中,實(shí)現(xiàn)問題的解決.讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程,在抽象—建?！蠼狻?yàn)證—概括的深度思考中不斷總結(jié)提升數(shù)學(xué)建模能力.

案例2最短路徑問題

實(shí)驗(yàn)?zāi)康耐ㄟ^幾何畫板軟件探索軸對稱中的最短路程問題.

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備三角板、裝有幾何畫板軟件的計(jì)算機(jī).

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟實(shí)驗(yàn)探究1: 將軍飲馬問題

著名的“將軍飲馬”問題: 如圖7,有一位騎馬的將軍,要從A地到B地,途中要到河邊l飲馬,則將軍怎樣走才能使全程最短?

圖7

圖8

1.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

把A地、B地抽象成兩個點(diǎn),把河邊l抽象成一條直線,設(shè)C為直線l上一點(diǎn),A、B為在直線l同一側(cè)的兩個點(diǎn),則當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時,AC與BC的和最小.

2.紙上探究

讓學(xué)生獨(dú)立思考,在草稿紙上畫圖,通過不同角度的測量實(shí)驗(yàn)進(jìn)行初步分析、猜想點(diǎn)C的位置,然后小組合作交流、討論,形成共識并展示.

3.幾何畫板探究

(1)利用幾何畫板畫出點(diǎn)A和點(diǎn)B,直線l;

(2)在直線l上選取一點(diǎn)C,連接AC,BC;

(3)選中線段AC,BC,點(diǎn)擊“度量”菜單中的“長度”,量出AC和BC的長度,再點(diǎn)擊“數(shù)據(jù)”菜單中的“計(jì)算”,計(jì)算“AC+BC”的長度.

(4)拖到點(diǎn)C左右移動,觀察“AC+BC”的長度變化情況.

圖9

圖10

(5)雙擊直線l,標(biāo)記為鏡面,再點(diǎn)擊點(diǎn)A,點(diǎn)擊“變換”菜單中的“反射”,作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′;

(6)連接A′B,與直線l交于點(diǎn)P,選中線段AP,BP,點(diǎn)擊“度量”菜單中的“長度”,量出AP和BP的長度,再點(diǎn)擊“數(shù)據(jù)”菜單中的“計(jì)算”,計(jì)算“AP+BP”的長度.

(7)再拖到點(diǎn)C,比較“AC+BC”的長度和“AP+BP”的長度.

設(shè)計(jì)意圖此類問題的數(shù)學(xué)本質(zhì),是建立一種數(shù)學(xué)模型:在一條已知直線上作一點(diǎn),使該點(diǎn)與直線同側(cè)兩定點(diǎn)的連線長最短.讓學(xué)生拖動動點(diǎn)C,啟用幾何畫板的測量功能,進(jìn)行動態(tài)測量探究,直觀感受通過圖形的軸對稱變換.利用軸對稱將兩條線段轉(zhuǎn)到同一直線上,把“同側(cè)線段和”轉(zhuǎn)化為“異側(cè)線段和”,根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”即可.讓學(xué)生體會和感受“難化易、繁化簡”的數(shù)學(xué)思想.

實(shí)驗(yàn)探究2: 造橋選址問題

問題呈現(xiàn): 如圖11, 一條兩岸平行的小河, 把A地B地分隔開,現(xiàn)需在河上建一座橋MN(假定橋與河垂直) , 在橋的何處位置, 才能使A地到B地的路程最短(即AM+MN+NB)?

圖11

1.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

如圖12,所走的路程為“AM+MN+NB”,而MN為河岸寬度(橋?qū)?是一個定值,所以“AM+BN”的值最小即為最短路徑.

2.實(shí)驗(yàn)探究:

(1)學(xué)生先獨(dú)立思考,畫出草圖,通過不同角度的測量實(shí)驗(yàn)進(jìn)行初步分析、猜想、論證點(diǎn)M、N的位置,然后小組合作交流、討論.

(2)如圖12,線段MN是固定的長度,學(xué)生通過拖動點(diǎn)M,觀察“AM+NB”數(shù)值的變化,驗(yàn)證與自己的猜想是否相同.

圖12

圖13

(3)在利用幾何畫板實(shí)驗(yàn)后,學(xué)生得到如圖13 是最短路徑的圖形, 提問學(xué)生如何得到此圖形.(將點(diǎn)A沿著垂直于河岸的方向平移MN的長度到點(diǎn)A′,即AA′=MN,連接A′B,則線段A′B與河岸b的交點(diǎn)就是點(diǎn)N.過點(diǎn)N作與河岸a的垂線,交河岸a于點(diǎn)M,連接AM,即可得到最短路徑“AM+MN+NB”.)

設(shè)計(jì)意圖實(shí)驗(yàn)的過程中重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的方法,上面的實(shí)驗(yàn)探究2 利用了平移.要學(xué)生體會運(yùn)用平移的關(guān)鍵是抓住“定長線段”的平移方向和平移距離進(jìn)行相應(yīng)的平移,最后轉(zhuǎn)化為“兩定一動型”模型的最值問題,而“兩定一動型”的模型回歸到“兩點(diǎn)一線”模型的建構(gòu)過程.大道至簡,最后落在“兩點(diǎn)之間,線段最短”,把“化曲為直”,體會類比和轉(zhuǎn)化思想的價值和精髓.

如圖14,“問題情境——建立模型——求解——解釋和應(yīng)用”,是利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模求解的基本過程.在構(gòu)筑實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型時,在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生進(jìn)行觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證等一系列活動,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.教學(xué)中要重視學(xué)生的操作實(shí)踐,讓學(xué)生在建模的過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識的生成與發(fā)展.在進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)踐的基礎(chǔ)上獲取數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),再返回到實(shí)際問題中實(shí)現(xiàn)問題解決.所以,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

3 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念

2011年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào):“數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心.”數(shù)據(jù)分析觀念包括“了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究,收集數(shù)據(jù),通過分析做出判斷,體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息.”在統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中,根據(jù)學(xué)生的生活背景設(shè)計(jì)合適的身邊例子,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)就在我們生活中,鼓勵學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)整理、數(shù)據(jù)分析的過程,最后依據(jù)數(shù)據(jù)做出決策和推斷.體會數(shù)據(jù)所蘊(yùn)涵的信息,感受數(shù)據(jù)分析的應(yīng)用價值.

案例3關(guān)于東涌綠道的建設(shè)與構(gòu)建的調(diào)查研究

“紙上得來終覺淺”,為了發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念,結(jié)合學(xué)校周邊的資源,我們組織學(xué)生進(jìn)行了“關(guān)于東涌綠道的建設(shè)與構(gòu)建的調(diào)查研究”的實(shí)驗(yàn)活動.學(xué)生經(jīng)歷了從設(shè)計(jì)調(diào)查問卷到整理數(shù)據(jù)得出結(jié)論的全過程.在調(diào)查活動中,發(fā)放問卷200 份,回收189 份,調(diào)查者包括到東涌綠道的游客、在校學(xué)生、教師以及政府人員.調(diào)查問題的問題涉及綠道環(huán)境、旅游宣傳、設(shè)置設(shè)施及綠道發(fā)展等16 個問題,利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識進(jìn)行整理和分析,如問題: 您通過什么途徑了解綠道(可多選);您認(rèn)為有什么不方便的地方?

問題分析: 大部分游客通過親友介紹得知東涌綠道的;需要加強(qiáng)專題旅游資源宣傳,電視臺和報紙媒體的宣傳力度.分析: 大部分游客認(rèn)為指示不明確,交通不夠便利,配套設(shè)施不夠完備.東涌綠道的建設(shè)有待進(jìn)一步發(fā)展,需要大家的力量,尤其是增加游客的數(shù)量,這就需要我們將東涌綠道的建設(shè)更加完善,功能更加齊備,吸引更多的游客參觀.

圖15

圖16

通過數(shù)據(jù)分析,學(xué)生們總結(jié)如下:

1.游客對綠道這種集生態(tài)和知識于一體的綠道表示滿意.

2.人們了解綠道的途徑不夠廣泛,導(dǎo)致人們從網(wǎng)絡(luò)、電視電臺等各種渠道了解到的綠道游玩路線不明確,對于綠道的指示不明確、公用設(shè)施不齊全表示希望改善,一些人對綠道的餐飲服務(wù)不滿意,對綠道的宣傳力度有待加強(qiáng),但游客總體對綠道的印象表示滿意.

3.綠道種植的植物使綠道充滿了生機(jī),受到了的游客的一致好評,但是這里的植物、展品還不夠豐富,相關(guān)貼心介紹還有待改進(jìn).

4.綠道旁相關(guān)經(jīng)營存在不足,需有關(guān)部門加大整治力度.

5.游客表示對綠道應(yīng)該通過媒體多方面宣傳綠道,并且表示自己會加入宣傳綠道的隊(duì)伍;同時政府應(yīng)加強(qiáng)管理,吸引更多的游客體驗(yàn)這種原生態(tài)的魅力;部分游客表示可以增加政府投入,發(fā)展觀光業(yè).

在這次活動后,學(xué)生寫下自己的體會: 在研究過程中不僅使我們開闊了視野,增長了知識,學(xué)習(xí)到了許多在課本上沒有學(xué)到的東西.例如,我們在戶外進(jìn)行調(diào)查、采訪時遭到質(zhì)疑,我們及時調(diào)整調(diào)查策略,選擇更加合適的方式方法.這次活動提高了我們的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力、社交能力,培養(yǎng)了我們獨(dú)立思考問題和變能力,以及探究新事物的科學(xué)精神.在實(shí)際調(diào)查中,我們運(yùn)用數(shù)學(xué)調(diào)查方法解決實(shí)際問題,一次很好地把理論應(yīng)用于實(shí)踐的學(xué)習(xí)過程.作為一名中學(xué)生,我們可以關(guān)心社會,盡自己的能力,為政府出一份綿薄之力.

在本次實(shí)驗(yàn)活動中,學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)整理、描述數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、數(shù)據(jù)分析、得出結(jié)論的過程.這次活動不僅有利于統(tǒng)計(jì)知識的深入學(xué)習(xí),而且具有“學(xué)以致用”的教育價值,讓學(xué)生充分關(guān)注生活,體會“數(shù)學(xué)源于生活,又應(yīng)用于生活”.讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)對解決生活實(shí)際問題的應(yīng)用價值.我們做生活的有心人,把數(shù)學(xué)與生活相聯(lián)系,數(shù)學(xué)問題生活化,要用數(shù)學(xué)的眼光看待生活中的問題.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,要為學(xué)生提供實(shí)踐的機(jī)會,讓學(xué)生觀察、思考、操作,體會數(shù)學(xué)無處不在,感受數(shù)學(xué)的魅力,體驗(yàn)數(shù)學(xué)的趣味和作用.通過這次調(diào)查研究,數(shù)學(xué)素養(yǎng)也得到提升.通過親身進(jìn)行實(shí)地調(diào)查的實(shí)驗(yàn)方式,提升了學(xué)生的實(shí)踐能力,強(qiáng)化了學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識和能力,從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育目的.

發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),要學(xué)生真正參與到數(shù)學(xué)教學(xué)活動中去,不能依賴教師的教學(xué)傳授.在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程中,每一位同學(xué)都可以進(jìn)行相應(yīng)的動手、動腦的實(shí)驗(yàn)操作,完成知識的自我建構(gòu),體驗(yàn)成功,享受數(shù)學(xué)歡樂的魅力.通過“親身經(jīng)歷”實(shí)驗(yàn)的過程,使學(xué)生對所學(xué)知識有更深刻的理解,達(dá)到更深層次的掌握,從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展,是純粹的傳授所不能達(dá)到的.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蜃寣W(xué)生的手與腦得到充分的鍛煉,很好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑.