苗 壯

(江蘇省南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué) 210000)

立體幾何中的空間角問題，往往可以比較集中地考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等，歷來為高考命題者所垂青，幾乎年年必考，只是改變命題背景、考查角度等.立體幾何中的空間角問題是異面直線所成的角、直線和平面所成的角以及二面角的平面角三者的總稱，破解基本思維方法就是幾何法或坐標(biāo)法等.

一、真題在線

【高考真題】(2019·天津卷理·17)如圖，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2.

(1)求證：BF∥平面ADE；

(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

本題以一個(gè)非特殊的立體幾何圖形為問題背景，結(jié)合空間線面平行的判定、直線與平面所成的角的求解、二面角的平面角的應(yīng)用等三個(gè)部分來設(shè)置問題，把立體幾何中的線面判定問題、空間角問題、空間距離問題這三個(gè)最重要的問題加以合理交匯與融合，綜合考查考生的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力.

二、真題解析

解析方法1：(官方標(biāo)答——坐標(biāo)法)

設(shè)CF=h(h>0)，則F(1，2，h).

點(diǎn)評(píng)利用坐標(biāo)法破解空間線面角的步驟：①確定直線的方向向量和平面的法向量；②求兩個(gè)向量夾角的余弦值；③確定向量夾角的范圍；④確定線面角與向量夾角的關(guān)系：當(dāng)向量夾角為銳角時(shí)線面角與這個(gè)夾角互余；當(dāng)向量夾角為鈍角時(shí)，線面角等于這個(gè)夾角減去90°.利用坐標(biāo)法破解空間二面角的步驟：①確定兩平面的法向量；②求兩個(gè)法向量夾角的余弦值；③確定向量夾角的范圍；④確定二面角與向量夾角的關(guān)系：二面角的范圍要通過觀察圖形來確定，法向量一般不能體現(xiàn)出來.

方法2：(幾何法)

(1)因?yàn)镃F∥AE，AE平面ADE，所以CF∥平面ADE.因?yàn)锳D∥BC，AD平面ADE，所以BC∥平面ADE.又BC∩CF=C，所以平面BCF∥平面ADE.而BF平面BCF，所以BF∥平面ADE.

(3)分別取BD、BC、BF的中點(diǎn)H、M、K，連接EH、HK、AH、HM、KM、EK、MD.

點(diǎn)評(píng)利用幾何法破解空間角問題(包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角的平面角問題)，關(guān)鍵是抓住相應(yīng)空間角的概念，作出相應(yīng)的空間角，再通過回歸平面幾何問題，在相應(yīng)的平面三角形中通過解三角形問題來解決相應(yīng)的空間角問題.當(dāng)中涉及一些概念說明，邏輯推理等問題，要交代清楚，不能遺漏.特別一些必要的輔助線的構(gòu)造，為空間角的確定提供條件，也是破解相應(yīng)空間角問題的難點(diǎn)所在.

三、解后反思

立體幾何中涉及空間角的問題，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，從學(xué)生答題看，解題中對(duì)于異面直線所成角、直線與平面所成角，二面角的平面角等，涉及坐標(biāo)法切入時(shí)，要合理構(gòu)造相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來確定相應(yīng)的空間角，要注意所求解的空間向量的夾角與實(shí)際所要求解的空間角之間的關(guān)系；而涉及幾何法切入時(shí)，不加論述證明就直接計(jì)算或利用所成角，是比較普遍的錯(cuò)誤，務(wù)必注意糾正，在用所成角或證明前都必須依據(jù)定義先說明為何那角就是所成角，通過邏輯推理再加以合理應(yīng)用.