李懷忠

(甘肅省景泰縣第二中學(xué) 730400)

解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題的一類(lèi)題型，它集代數(shù)、幾何、三角等知識(shí)于一體，運(yùn)算量大、方法與技巧要求比較高.很多學(xué)生往往是按常規(guī)思路進(jìn)行求解，常在繁雜的運(yùn)算中越陷越深，不能自拔，很難將運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行到底，出現(xiàn)半途而廢的情況.如何減低運(yùn)算量，提升學(xué)生的運(yùn)算能力和學(xué)習(xí)效率，本文就降低解析幾何運(yùn)算量談幾點(diǎn)思維策略.

一、合理運(yùn)用圓錐曲線(xiàn)的定義

解析由橢圓定義得PF1+PF2=2a

所以，當(dāng)PF1=PF2時(shí)，PF1·PF2取得最大值a2.

點(diǎn)評(píng)圓錐曲線(xiàn)的定義運(yùn)用廣泛，對(duì)于圓錐曲線(xiàn)中與焦點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題、軌跡問(wèn)題、計(jì)算或證明問(wèn)題，需要把定量的計(jì)算和定性的分析有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到準(zhǔn)確判斷、合理運(yùn)算、靈活解題的目的.

二、合理運(yùn)用曲線(xiàn)系方程

例2已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為2x-3y=0且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解析設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為4x2-9y2=λ(λ≠0).

因?yàn)橐阎p曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)，所以4×12-9×22=λ，解得λ=-32.

三、合理利用對(duì)稱(chēng)原理

例3自點(diǎn)P(-3,3)發(fā)出的光線(xiàn)L經(jīng)x軸反射，其反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)正好與圓(x-2)2+(y-2)2=1相切，求入射光線(xiàn)L所在的直線(xiàn)方程

解析常規(guī)方法解此題比較困難，利用對(duì)稱(chēng)性能使運(yùn)算簡(jiǎn)單，根據(jù)光學(xué)原理，入射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)和已知圓關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圓相切，則圓(x-2)2+(y-2)2=1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圓為(x-2)2+(y+2)2=1,

設(shè)入射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為y-3=k(x+3)，

所以直線(xiàn)方程為3x+4y-3=0 或者4x+3y+3=0.

解析此題常規(guī)的方法有兩種，一種是設(shè)出過(guò)P點(diǎn)的點(diǎn)斜式方程，然后和橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理求斜率；另一種方法是點(diǎn)差法，利用設(shè)而不求的思想求出斜率.現(xiàn)在利用對(duì)稱(chēng)性求解，可以使問(wèn)題更加簡(jiǎn)潔.

兩式相減有48x1+25y1=169 ①.

把上式可以改寫(xiě)為

48(6-x1)+25(2-y1)=169 ②.

由①②兩式表明A(x1,y1)與B(6-x1,2-y1)均滿(mǎn)足48x+25y=169.

所以48x+25y=169就是所要求的直線(xiàn)方程.

點(diǎn)評(píng)合理運(yùn)用對(duì)稱(chēng)思想解題.利用軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)溝通已知與未知的關(guān)系，來(lái)確定問(wèn)題的入手點(diǎn)，尋找解題的突破口，從而簡(jiǎn)化計(jì)算，提高解題速度.

四、合理運(yùn)用設(shè)而不求的方法

點(diǎn)評(píng)“設(shè)而不求”就是根據(jù)題意巧妙設(shè)立未知數(shù)來(lái)建立“未知”和“已知”之間的關(guān)系，而設(shè)置的未知數(shù)不需要求解的一種方法.點(diǎn)差法是設(shè)而不求的思想最典型的題型，它的特點(diǎn)是題目中有明顯或隱含的中點(diǎn)，中點(diǎn)的坐標(biāo)與斜率具有相關(guān)性，解題的程序是設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入曲線(xiàn)方程，再作差得到問(wèn)題的解決.

五、合理運(yùn)用平面幾何方法

點(diǎn)評(píng)解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合是其主要特征，因此，靈活運(yùn)用代數(shù)知識(shí)的同時(shí)，充分利用問(wèn)題中的幾何性質(zhì)，往往是解決解析幾何問(wèn)題的關(guān)鍵.本題是從平面幾何的角度入手，利用了三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)，找出OM與PF2的關(guān)系是本題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，彰顯了數(shù)形結(jié)合的思維優(yōu)勢(shì).

六、合理運(yùn)用參數(shù)方法

點(diǎn)評(píng)參數(shù)方程是用參數(shù)把曲線(xiàn)上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)表達(dá)出來(lái).圓和橢圓的參數(shù)方程，對(duì)于解決圓錐曲線(xiàn)上與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題，直線(xiàn)的參數(shù)方程對(duì)于處理兩線(xiàn)段長(zhǎng)度的積、和、差等問(wèn)題，有著普通方程無(wú)可比擬的優(yōu)越性.

七、合理運(yùn)用向量法

例8已知點(diǎn)A(1,2)，過(guò)點(diǎn)D(5,-2)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y2=4x交于B，C兩點(diǎn)，試判斷△ABC的形狀．

即t1t2+t1+t2+5=0.

點(diǎn)評(píng)由于向量具有幾何和代數(shù)的雙重屬性，以向量為工具，幾何問(wèn)題代數(shù)化，代數(shù)問(wèn)題坐標(biāo)化，使得復(fù)雜運(yùn)算更加簡(jiǎn)潔、直接；抽象問(wèn)題更加具體、明了；數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)得更深刻、更完善.

八、合理選用極坐標(biāo)方程

證明將橢圓方程化為極坐標(biāo)方程得

點(diǎn)評(píng)借助極坐標(biāo)的特征表示出了所求線(xiàn)段的長(zhǎng)，長(zhǎng)度的量值關(guān)系用坐標(biāo)運(yùn)算完成，從而使問(wèn)題得以解決.極坐標(biāo)法是解決平面解析幾何常用的方法，在解決過(guò)程中，遇到從一點(diǎn)出發(fā)的幾條線(xiàn)段長(zhǎng)度問(wèn)題和角度問(wèn)題可以考慮借助極坐標(biāo)解決，利用極坐標(biāo)的幾何意義，結(jié)合三角函數(shù)可以使問(wèn)題更加簡(jiǎn)潔、明晰.