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        降低解析幾何運(yùn)算量的幾種思維策略

        2021-01-04 13:23:56李懷忠
        數(shù)理化解題研究 2020年31期
        關(guān)鍵詞:極坐標(biāo)運(yùn)算量代數(shù)

        李懷忠

        (甘肅省景泰縣第二中學(xué) 730400)

        解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題的一類題型,它集代數(shù)、幾何、三角等知識(shí)于一體,運(yùn)算量大、方法與技巧要求比較高.很多學(xué)生往往是按常規(guī)思路進(jìn)行求解,常在繁雜的運(yùn)算中越陷越深,不能自拔,很難將運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行到底,出現(xiàn)半途而廢的情況.如何減低運(yùn)算量,提升學(xué)生的運(yùn)算能力和學(xué)習(xí)效率,本文就降低解析幾何運(yùn)算量談幾點(diǎn)思維策略.

        一、合理運(yùn)用圓錐曲線的定義

        解析由橢圓定義得PF1+PF2=2a

        所以,當(dāng)PF1=PF2時(shí),PF1·PF2取得最大值a2.

        點(diǎn)評(píng)圓錐曲線的定義運(yùn)用廣泛,對(duì)于圓錐曲線中與焦點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題、軌跡問(wèn)題、計(jì)算或證明問(wèn)題,需要把定量的計(jì)算和定性的分析有機(jī)地結(jié)合起來(lái),達(dá)到準(zhǔn)確判斷、合理運(yùn)算、靈活解題的目的.

        二、合理運(yùn)用曲線系方程

        例2已知雙曲線的一條漸近線方程為2x-3y=0且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

        解析設(shè)所求雙曲線的方程為4x2-9y2=λ(λ≠0).

        因?yàn)橐阎p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2),所以4×12-9×22=λ,解得λ=-32.

        三、合理利用對(duì)稱原理

        例3自點(diǎn)P(-3,3)發(fā)出的光線L經(jīng)x軸反射,其反射光線所在直線正好與圓(x-2)2+(y-2)2=1相切,求入射光線L所在的直線方程

        解析常規(guī)方法解此題比較困難,利用對(duì)稱性能使運(yùn)算簡(jiǎn)單,根據(jù)光學(xué)原理,入射光線所在的直線和已知圓關(guān)于x軸對(duì)稱的圓相切,則圓(x-2)2+(y-2)2=1關(guān)于x軸對(duì)稱的圓為(x-2)2+(y+2)2=1,

        設(shè)入射光線所在的直線方程為y-3=k(x+3),

        所以直線方程為3x+4y-3=0 或者4x+3y+3=0.

        解析此題常規(guī)的方法有兩種,一種是設(shè)出過(guò)P點(diǎn)的點(diǎn)斜式方程,然后和橢圓方程聯(lián)立,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo),利用韋達(dá)定理求斜率;另一種方法是點(diǎn)差法,利用設(shè)而不求的思想求出斜率.現(xiàn)在利用對(duì)稱性求解,可以使問(wèn)題更加簡(jiǎn)潔.

        兩式相減有48x1+25y1=169 ①.

        把上式可以改寫(xiě)為

        48(6-x1)+25(2-y1)=169 ②.

        由①②兩式表明A(x1,y1)與B(6-x1,2-y1)均滿足48x+25y=169.

        所以48x+25y=169就是所要求的直線方程.

        點(diǎn)評(píng)合理運(yùn)用對(duì)稱思想解題.利用軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的性質(zhì)溝通已知與未知的關(guān)系,來(lái)確定問(wèn)題的入手點(diǎn),尋找解題的突破口,從而簡(jiǎn)化計(jì)算,提高解題速度.

        四、合理運(yùn)用設(shè)而不求的方法

        點(diǎn)評(píng)“設(shè)而不求”就是根據(jù)題意巧妙設(shè)立未知數(shù)來(lái)建立“未知”和“已知”之間的關(guān)系,而設(shè)置的未知數(shù)不需要求解的一種方法.點(diǎn)差法是設(shè)而不求的思想最典型的題型,它的特點(diǎn)是題目中有明顯或隱含的中點(diǎn),中點(diǎn)的坐標(biāo)與斜率具有相關(guān)性,解題的程序是設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo),然后代入曲線方程,再作差得到問(wèn)題的解決.

        五、合理運(yùn)用平面幾何方法

        點(diǎn)評(píng)解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題,數(shù)形結(jié)合是其主要特征,因此,靈活運(yùn)用代數(shù)知識(shí)的同時(shí),充分利用問(wèn)題中的幾何性質(zhì),往往是解決解析幾何問(wèn)題的關(guān)鍵.本題是從平面幾何的角度入手,利用了三角形的中位線的性質(zhì),找出OM與PF2的關(guān)系是本題的數(shù)學(xué)本質(zhì),彰顯了數(shù)形結(jié)合的思維優(yōu)勢(shì).

        六、合理運(yùn)用參數(shù)方法

        點(diǎn)評(píng)參數(shù)方程是用參數(shù)把曲線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)表達(dá)出來(lái).圓和橢圓的參數(shù)方程,對(duì)于解決圓錐曲線上與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題,直線的參數(shù)方程對(duì)于處理兩線段長(zhǎng)度的積、和、差等問(wèn)題,有著普通方程無(wú)可比擬的優(yōu)越性.

        七、合理運(yùn)用向量法

        例8已知點(diǎn)A(1,2),過(guò)點(diǎn)D(5,-2)的直線與拋物線y2=4x交于B,C兩點(diǎn),試判斷△ABC的形狀.

        即t1t2+t1+t2+5=0.

        點(diǎn)評(píng)由于向量具有幾何和代數(shù)的雙重屬性,以向量為工具,幾何問(wèn)題代數(shù)化,代數(shù)問(wèn)題坐標(biāo)化,使得復(fù)雜運(yùn)算更加簡(jiǎn)潔、直接;抽象問(wèn)題更加具體、明了;數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)得更深刻、更完善.

        八、合理選用極坐標(biāo)方程

        證明將橢圓方程化為極坐標(biāo)方程得

        點(diǎn)評(píng)借助極坐標(biāo)的特征表示出了所求線段的長(zhǎng),長(zhǎng)度的量值關(guān)系用坐標(biāo)運(yùn)算完成,從而使問(wèn)題得以解決.極坐標(biāo)法是解決平面解析幾何常用的方法,在解決過(guò)程中,遇到從一點(diǎn)出發(fā)的幾條線段長(zhǎng)度問(wèn)題和角度問(wèn)題可以考慮借助極坐標(biāo)解決,利用極坐標(biāo)的幾何意義,結(jié)合三角函數(shù)可以使問(wèn)題更加簡(jiǎn)潔、明晰.

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