李秀元

(湖北省武穴市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 435400)

平面向量數(shù)量積融合了代數(shù)、幾何及三角等知識(shí)，在求其最值時(shí)，解題方法呈現(xiàn)出多樣性.本文以求最值的主要方式，從六個(gè)角度對(duì)其進(jìn)行分類解讀，供復(fù)習(xí)參考.

一、與均值不等式結(jié)合

均值不等式是求最值的常用工具之一.要想利用均值不等式，首先得建立基于數(shù)量積的等量條件.

例1已知平面向量a，b，c滿足|e|=1，a·e=1，b·e=-2，|a+b|=2，則a·b的最大值為( ).

A.13 B.15 C.19 D.21

二、與平面幾何結(jié)合

將平面向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為幾何圖形的某個(gè)特征量，主要是想利用平面圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)來(lái)尋找最值，一般會(huì)涉及兩點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線間的距離等.

A. [0,24] B. [-12,24]

C. [-8,36] D. [-12,36]

故選D.

故選A.

三、與線性規(guī)劃結(jié)合

平面向量的數(shù)量積與線性規(guī)劃問題結(jié)合，主要有兩點(diǎn)，一是由數(shù)量積運(yùn)算得到變量的線性關(guān)系，進(jìn)而將問題直接轉(zhuǎn)化為純線性規(guī)劃問題；二是利用數(shù)量積運(yùn)算所得式子的幾何意義，巧借可行域的位置，確定最值.由于線性規(guī)劃內(nèi)容已不在新課標(biāo)范圍，故僅舉一例.

故選A.

四、與二次函數(shù)結(jié)合

這種題目主要是借助長(zhǎng)度，將數(shù)量積化歸為參數(shù)的二次函數(shù)形式，利用二次函數(shù)的知識(shí)求解.

A．[1，4] B．[0，4]

解顯然△ABC為直角三角形.設(shè)|PA|=m，則|PC|=4-m，且0≤m≤4.

五、與三角函數(shù)結(jié)合

數(shù)量積與三角函數(shù)的結(jié)合，主要是借助角參數(shù)，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和恒等變換，以及三角函數(shù)的有界性，達(dá)到求解的目的.

解構(gòu)造平行四邊形ABCD.

圖2

解得x0=1-sinα，y0=1-cosα.

圖3

六、與解析幾何結(jié)合

數(shù)量積與解析幾何的結(jié)合，主要是通過建坐標(biāo)系，借助數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，確定目標(biāo)的指向，然后利用曲線的幾何特點(diǎn)來(lái)完成問題的解，與直接利用平面幾何圖形有異曲同工之妙.對(duì)于運(yùn)算后的目標(biāo)式，一種是針對(duì)不受限制的點(diǎn)，主要是利用代數(shù)結(jié)構(gòu)求最值，另一種是受幾何圖形限制的點(diǎn)，則需要結(jié)合圖形求最值.

圖4

例15已知平面向量a，b，c滿足|a-b|=6，且(a-c)·(b-c)=-5，則c·(a+b)的最小值為____.

即c·(a+b)最小值為-2．

下面這道全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽省級(jí)初賽試題正是基于此設(shè)計(jì)的，讀者可以嘗試求解.

雖然我們將平面向量數(shù)量積的最值問題作了些分類，但事實(shí)上，它們并不能完全割裂開來(lái)，很多時(shí)候方法之間是可以轉(zhuǎn)化的，問題是究竟用哪種方式求解更快更方便，如到底需不需要建系，不建系是不是很方便，需要根據(jù)題目的條件去權(quán)衡，不能死盯著一種方式不放，多方出擊，總有一種方法是有效的.