摘要：在高中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形結(jié)合思想是一種十分重要的方法，不僅實(shí)用性強(qiáng)，還能培養(yǎng)學(xué)生的靈活思維，幫助學(xué)生消化知識(shí)。所以在數(shù)學(xué)解題中掌握數(shù)形結(jié)合的思想尤為重要，能夠降低解題難度，緩解學(xué)習(xí)壓力。本文將針對(duì)高中數(shù)學(xué)課本中的經(jīng)典問(wèn)題，提出數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)踐嘗試，以幫助學(xué)生更好地理解運(yùn)用此方法。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)解題;整合數(shù)形結(jié)合思想;實(shí)踐嘗試

中圖分類號(hào)：A 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

引言

高考考綱指出“數(shù)學(xué)科的命題在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查”，且在高考數(shù)學(xué)試題中大約57%的題型都涵括數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生用好數(shù)形結(jié)合思想方法，在解題時(shí)先想圖、畫(huà)圖后再解題，可以達(dá)到事半功倍的效果。

一、高中數(shù)學(xué)解題中整合數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵

在高中數(shù)學(xué)里，整合數(shù)形結(jié)合表現(xiàn)為把數(shù)或數(shù)量的關(guān)系與圖形對(duì)應(yīng)起來(lái)，借助幾何來(lái)研究代數(shù)關(guān)系或者利用代數(shù)關(guān)系來(lái)研究幾何的性質(zhì)，可以使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，化繁為簡(jiǎn)，化隱為顯。“數(shù)缺形時(shí)不直觀，形少數(shù)時(shí)難定量”，把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，可以讓很多問(wèn)題迎刃而解，提高學(xué)生的解題效率。

二、高中數(shù)學(xué)解題中整合數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)踐嘗試

（1）學(xué)生應(yīng)牢固掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念

例如，數(shù)與數(shù)軸、函數(shù)與圖像等。數(shù)的定義是數(shù)域里的某一個(gè)值，換成幾何的思維就是：在一條能夠表示數(shù)域的軸上（即數(shù)軸），一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)。而從幾何來(lái)想代數(shù)就是：這條軸上所有點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)著數(shù)域里所有的數(shù)。函數(shù)的定義是含有未知數(shù)的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，換成幾何的思維就是：在某一個(gè)運(yùn)動(dòng)面上，由滿足函數(shù)表達(dá)式的所有點(diǎn)形成的圖案;而從幾何來(lái)想代數(shù)就是：固定正交坐標(biāo)軸后圖像上每一點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都對(duì)應(yīng)著滿足函數(shù)表達(dá)式的一對(duì)數(shù)值。

（2）教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合的思想

教師要通過(guò)積極的方式讓學(xué)生感受到利用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)輔助掌握的優(yōu)勢(shì)，從而在學(xué)習(xí)過(guò)程中更多地使用此方法。例如，在學(xué)習(xí)集合時(shí)，教師應(yīng)先讓學(xué)生自己想出一個(gè)圖形或空間辦法來(lái)表示集合的包和并，然后教師展示韋恩圖這個(gè)方法，多使用例題讓學(xué)生牢記方法的使用和理解，從而幫助學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合思想解題容易且準(zhǔn)確的想法。再比如，以形解數(shù)問(wèn)題的時(shí)候，選取典例“螞蟻路線”。在做題之前先引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出長(zhǎng)方體的展開(kāi)方式，標(biāo)出長(zhǎng)寬高，然后提出路線問(wèn)題，直接利用展開(kāi)圖快捷地解出最短路徑問(wèn)題，把抽象的空間問(wèn)題轉(zhuǎn)為簡(jiǎn)單的平面問(wèn)題，這也是數(shù)形結(jié)合思想的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)。

（3）讓學(xué)生熟練掌握數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用

技巧一：有效轉(zhuǎn)化圖形與代數(shù)

在高中數(shù)學(xué)應(yīng)試題目中，除去單純的代數(shù)計(jì)算，所有題目均可以使用數(shù)形結(jié)合思想，但不是所有題目使用此方法都會(huì)變得簡(jiǎn)單直接，因此準(zhǔn)確的推理與正確的圖形相互對(duì)照才能實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合提高效率的有效性。

例題1 當(dāng) 0<x<1時(shí)，x^2，x，1/x之間的大小關(guān)系如何？

本題定義域?yàn)椋?，1），三個(gè)函數(shù)分別為y=x^2，y=x，y=1/x，則可以在坐標(biāo)軸xOy中做出這三個(gè)函數(shù)的圖像，放大 0<x<1處的圖像，比較曲線的高低。因?yàn)閤的定義域已知，則可以在（0，1）內(nèi)取一數(shù)1/2，則x^2=1/4，x=1/2，1/x=2，顯然1/x>x>x^2，大小關(guān)系可以得出。

對(duì)比這兩種方法，我們可以看出實(shí)際上只做代數(shù)的運(yùn)算會(huì)更簡(jiǎn)單，畫(huà)函數(shù)圖像反而會(huì)影響加大分析過(guò)程難度和影響結(jié)果得出。因此，是否選擇數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解題這一判斷非常重要。

例題2 利用函數(shù)圖像求不等式解集 2x-6>3x-1

對(duì)于本題，分別作直線y=2x-6（紅色）與直線y=3x-1（黑色），它們相交于（-5，-17），所以當(dāng)x<-5時(shí)，2x-6>3x-1，得出結(jié)果。然后我們?cè)儆么鷶?shù)的思想來(lái)驗(yàn)證這一結(jié)果，取x=-6，驗(yàn)算出2×（-6）-6>3×（-6）-1，即（-18）>（-19），不等式成立。

通過(guò)此題可以看出，數(shù)與形在解題過(guò)程中相互對(duì)照，這樣提高了正確率，使數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用變得更加高效。

技巧二：不局限于給出的圖像，善用輔助線構(gòu)造新圖形來(lái)解決? ?代數(shù)要求（此技巧多用于解三角形一類題目）

例題3 如圖，已知在三角形ABC內(nèi)，角BAC為60°，角C為40°，P，? ? ?Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是角BAC，角ABC的角平分線。求證： BQ+AQ=AB+BP。

已知兩個(gè)角的度數(shù)，通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算我們可以得出三角形BCQ為等腰三角形。因此求證的BQ+AQ可以轉(zhuǎn)化為AQ+CQ=AC，且AC如何=AB+BP的問(wèn)題，很容易聯(lián)想到應(yīng)在AC上截取AD=AB，轉(zhuǎn)而證明BP如何等于CD的問(wèn)題。此后再證出CD=DP=BP即可解決題目所求。

通過(guò)此題可以看出，僅僅依靠所給的圖形來(lái)解決三角形的長(zhǎng)度問(wèn)題還不夠，因此在解三角形題目里常用到輔助線，而輔助線里常用的角平分線、中位線、等長(zhǎng)線、取半線均有特殊的數(shù)量關(guān)系。利用這些特殊的線得出角度、長(zhǎng)度的信息從而解出完整的三角形圖案。這是以數(shù)助形，以形解數(shù)的最普遍利用，學(xué)生應(yīng)牢牢掌握此技巧，在解決空間立體幾何問(wèn)題時(shí)才能游刃有余。

技巧三：在平時(shí)的學(xué)習(xí)解題過(guò)程中要多加練習(xí)，構(gòu)建自己的數(shù)形結(jié)合聯(lián)想思維，碰到相似題型可以更快捷的直接應(yīng)用已得出的結(jié)論迅速寫(xiě)出答案。

例題4 若當(dāng)P（m，n）為圓x^2+（y-1）^2=1上任意一點(diǎn)時(shí)，不等式m+n+c≥0恒成立，則c的取值范圍是多少？

由m+n+c≥0，可以看作是點(diǎn)P（m，n）在直線x+y+c=0的右側(cè)，而點(diǎn)P（m，n）在圓x^2+（y-1）^2=1上，實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于是x^2+（y-1）^2=1在直線的右側(cè)并與直線相離或相切。則可以利用直線與圓的距離公式求出c的取值范圍。但當(dāng)學(xué)生學(xué)會(huì)了使用三角換元方法：不等式m+n+c≥0恒成立等價(jià)于c≥-m-n，由題意，令m=cost，n=sint+1。所以經(jīng)過(guò)代換可求等式-m-n=-cost-sint-1=-√2×sin（t+pi/4）-1的最大值為√2-1，則c≥√2-1。此方法更加的簡(jiǎn)單便捷。

通過(guò)這道題可以看到，熟悉一種解題方法，在經(jīng)過(guò)數(shù)形的準(zhǔn)確分析后，遇到同類型的題快捷地使用代換即可求解，這是一種比較更為高級(jí)的技巧。

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，高中數(shù)學(xué)解題中整合數(shù)形結(jié)合思想可以開(kāi)拓學(xué)生的解題思維，提高學(xué)習(xí)效率，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有著重要的價(jià)值。希望通過(guò)本文的實(shí)踐嘗試，學(xué)生能不斷提升做題思路，總結(jié)出技巧和規(guī)律，真正地將數(shù)形結(jié)合思想貫徹到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去。

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作者簡(jiǎn)介：馮波（1989年-）男 重慶市 大學(xué)本科 中級(jí)職稱 研究方向：高中數(shù)學(xué) 工作單位：重慶市江津第八中學(xué)校