付宏偉，曾梅蘭①

（湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 孝感432000）

0 引言

二次型正定性的理論在數(shù)學(xué)和物理的許多分支中有著廣泛的應(yīng)用［1-4］. 到目前為止，關(guān)于二次型的正定、半正定、負定、半負定的判定問題已有很多結(jié)果［5-9］，關(guān)于不定二次型的判定問題討論卻較少. 文獻［10］給出不定二次型的判定及其分類. 本文給出不定二次型的性質(zhì)、判定定理及其應(yīng)用.

定義［11-12］對于實二次型f(x1，x2，…，xn)=XTAX，其中矩陣A是實對稱的. 如果存在實向量同時存在實向量X2=(b1，b2，…，bn)T≠0 ，使 得則稱矩陣A為不定矩陣，該二次型為不定二次型.

1 主要結(jié)果

下面給出不定二次型的性質(zhì)與判定定理.

性質(zhì)設(shè)實二次型是不定二次型，則存 在(c1，c2，…，cn)≠0 ，使 得

f(c1，c2，…，cn)=0.

證明由于f(x1，x2，…，xn)=XTAX是實二次型，則存在可逆的線性替換X=CY，使得

這里p,q為非負整數(shù)，且p+q≤n. 又f(x1，x2，…，xn)為不定二次型，那么存在實向量X1=(ɑ1，ɑ2，…，ɑn)T≠0，使得f(X1)=X1TAX1＞0，因此，p≥1. 同時存在實向量X2=(b1，b2，…，bn)T≠0，使得f(X2)=XT2AX2＜0 ，那 么，q≥1. 令Y3=εp+εp+1,X3=CY3=(c1,c2,…,cn)T，其 中εi=(0,…,1,…0) ，則X3≠0，且f(c1，c2，…，cn)=1-1=0.

定理對于實二次型f(x1，x2，…，xn)=XTAX，其中矩陣A是實對稱的，則下列條件等價：

（1）f(x1，x2，…，xn)是不定二次型；

（2）在實可逆矩陣C，使得其中p,q均為正整數(shù)，且p+q≤n；

（3）A 既有正特征值，又有負特征值.

這里λ1，λ2，…，λn是A 的全部特征值. 作正交變換X=CY ，則f(x1，x2，…，xn)=λ1y21+λ2y22+…+λny2n. 由于f(x1，x2，…，xn) 為不定二次型，那么存在實向量X1=(ɑ1，ɑ2，…，ɑn)T≠0 ，使得f(X1)＞0 ，因此，存在λi＞0. 同時存在實向量X2=(b1，b2，…，bn)T≠0，使得f(X2)＜0，那么，λj＜0. 故A 既有正特征值，又有負特征值.

(3)?(1) 設(shè)A 有p 個正特征值λ1，…，λp，q 個負特征值-λp+1，…，-λp+q，則存在正交矩陣C，使得

作正交變換X=CY ，則

令X1=Cε1，則f(X1)=λ1＞0. 令X2=Cεp+1，則f(X2)=-λp+1＜0. 故f(x1，x2，…，xn)是不定二次型.

2 應(yīng)用舉例

從不定二次型的定義和判定定理，得到不定二次型的3種判定方法：定義法、合同法和特征值法. 有些不定二次型的判定較為復(fù)雜，如何靈活運用這幾種判定方法，下面給出其應(yīng)用舉例.

證法1（定義法） 設(shè)λ 是A 的特征值，由于A 可逆，則λ ≠0 且存在向量x ≠0，使得

那么，

證法2（合同法）A可逆，則存在可逆矩陣P,Q，使得PAQ=E，那么