蔣敏杰 潘小福（特級教師）

數(shù)的運算是小學數(shù)學課程的重要內(nèi)容，是數(shù)學教學的基礎(chǔ)。“運算能力”是《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出的應(yīng)當注重發(fā)展的十項素養(yǎng)之一，培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（2017年版）》將“數(shù)學運算”定位為六項數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一，主要表現(xiàn)為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結(jié)果。基于小學數(shù)學的學科性質(zhì)及小學生年齡特點，小學生數(shù)學運算能力的培養(yǎng)應(yīng)注重理解運算、實施運算和估算。計算教學中要重視學生獨立思考，多元表征理解運算的算理，構(gòu)建算法，靈活選擇合適算法解決問題，發(fā)展思維能力。

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”是小學四則運算的重要內(nèi)容，是后續(xù)學習三位數(shù)乘兩位數(shù)以及小數(shù)乘法的基礎(chǔ)。乘數(shù)由一位數(shù)拓展為兩位數(shù)，是學生認知結(jié)構(gòu)由舊知向新知的一次拓展，更是整數(shù)乘法學習中的一次跨越。不少教師在教學豎式時認為，學生已會兩位數(shù)乘一位數(shù)豎式，只需要引導(dǎo)遷移就行；或是學生在教師的帶領(lǐng)下僅完成了例題就放手讓學生獨立練習。而現(xiàn)實是：學生不會算，第二層積不會對位，乘的順序有誤……可見，兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算豎式結(jié)構(gòu)、運算程序與原有經(jīng)驗的差異，學生認識跨越的客觀性，這些決定了理解及實施運算不能簡單地遷移與講授。人教版、蘇教版教材將此內(nèi)容均編排在三年級下冊，兩位數(shù)乘一位數(shù)、整十數(shù)口算教學之后，都以解決實際問題為情境引入。具體編排上，人教版承接已往學習經(jīng)驗和工具，利用點子圖引導(dǎo)學生圈一圈、算一算，借助幾何直觀，學生不僅明確口算方法的算理，還溝通了內(nèi)在聯(lián)系，幫助學生將口算方法遷移到筆算方法中。蘇教版則充分應(yīng)用問題情境“又搬來2 箱”，引導(dǎo)學生借助認知經(jīng)驗，聯(lián)系實際問題中的數(shù)量關(guān)系來感悟算法，連接筆算豎式，進而掌握算法?？梢姡瑑蓚€版本教材都遵循學生思維發(fā)展過程，強調(diào)算理聯(lián)通，構(gòu)建算法，靈活應(yīng)用，于此，教學中緊扣“理”“法”“境”三要素，是提升學生運算能力的可行策略。下面以王妍老師和王暑雅老師《兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位）筆算》的同課異構(gòu)教學為例，談一談小學生數(shù)學運算能力的教學培養(yǎng)。

一、注重“算理”理解的探究與建模

算理為算法提供理論依據(jù)，核心在明理、會意、成型，懂得“為什么這樣算”的道理，因此理解算理是正確掌握計算方法的關(guān)鍵，缺乏算理支撐的算法是機械的，只有既明白怎樣算又明白為什么這樣算，算法才具有意義。本課的算理關(guān)鍵在于理解為什么分兩步乘，以及每一步乘的結(jié)果為什么要寫在規(guī)定的位置上?！袄怼比绾沃v清講明，兩位教師采用了不同的表征方式加以支持。理解為什么分兩步乘，由于三年級學生沒有學過乘法分配律，不可能聯(lián)系運算律來理解和解釋兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法，因此王妍老師通過點子圖的圈、畫表達算的過程，提出要求，借助幾何直觀，引導(dǎo)學生理解這樣“拆開來”計算的必要性與合理性。王暑雅老師，結(jié)合著“買鉛筆”的現(xiàn)實情境，引導(dǎo)學生調(diào)用生活經(jīng)驗，聯(lián)系實際問題中的數(shù)量關(guān)系感悟理解。如“把12 盒拆成2 盒和10 盒，先算2 盒，24 乘2 等于48 支，再算10 盒，24 乘10 等于240 支，最后加起來就是288支。這樣分更容易口算。”對建立在現(xiàn)實情境中的數(shù)量關(guān)系進行分析，為學生理解算理提供幫助。

對于理解“每一步乘的結(jié)果為什么要寫在規(guī)定的位置上”，兩位教師的做法趨于一致。兩節(jié)課都非常注重溝通“拆開來計算”的過程與已有豎式計算經(jīng)驗，引導(dǎo)學生在比較聯(lián)系中理解每一步算出的是什么，在豎式中如何表達等，從而較好地理解豎式計算的程序。

教學研究可知，算理的理解離不開對問題構(gòu)造的數(shù)學模型抽象，理解算理需要通過多種形式，多元表征算法內(nèi)涵，以促進已有認知經(jīng)驗的遷移與再創(chuàng)造，幫助學生形成計算模型。這種幫助一般表現(xiàn)為提供一定的思維支架，如本課研究中對點子圖操作與結(jié)合情境圖理解等，都為學生搭建了“為什么這樣算”的平臺，通過“動手做”“用嘴說”“落筆記”的方式，促進學生對算理進行主體性構(gòu)造分析。此外，兩位教師在教學中不約而同地設(shè)計了操作、口算（橫式）與豎式表達的溝通環(huán)節(jié)，進一步在掌握算法中強化了算理理解，使算理融于計算認識的不同節(jié)點，如此有意義的聯(lián)系，使“算理”理解成為一個整體綜合的內(nèi)循環(huán)過程。

二、體現(xiàn)“算法”建構(gòu)的創(chuàng)造與遷移

計算能力包含著對算法的構(gòu)造、設(shè)計、選擇。算理、算法互為支撐，讓學生經(jīng)歷算法的“創(chuàng)造”過程，既是對算理理解的強化，也有助于學生理解及掌握算法，提高計算技能，是學生運算能力提升的重要保證。上述兩個教學中，雖然算理理解的表征切入方式不同，但都注重了基于“理”的算法自主探索，以順應(yīng)學生的思維方式，引領(lǐng)學生經(jīng)歷知識“生長”的過程。

第一層次：根據(jù)需要解決的問題，調(diào)用原有經(jīng)驗，引發(fā)思考?！敖柚c子圖，把你的想法記錄下來”“你能根據(jù)以前學過的知識想辦法解決嗎？”基于問題解決，教師提供學習工具，提出探究任務(wù)。其后，學生借助圖式、具體情境將問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學過的一位數(shù)乘法進行計算，并通過比較分析，理解不同算法的合理性，并類推出更多“拆”的方法。王妍老師在這個過程中還特別設(shè)計了變式辨析的過程，讓學生感受到有的兩位數(shù)不能拆成兩個數(shù)的乘積，但是總能拆成整十數(shù)和一位數(shù)的和，為后面的豎式計算、理解算理做了很好的鋪墊。

第二層次：溝通不同算法之間的聯(lián)系，讓學生自主“創(chuàng)造”兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式。兩個版本教材，都是從分步計算的角度引導(dǎo)學生向筆算進行遷移的，較好地蘊含了豎式計算的算理和計算程序，但如果僅此而已，常會出現(xiàn)“分步計算直觀易懂，但到了豎式計算時，每一步計算的是什么就不那么直觀”的現(xiàn)象，如何幫助學生從分步計算過渡到豎式計算，完成對兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法建構(gòu)呢？兩位教師都關(guān)注到了“操作”與“思維”，將豎式創(chuàng)造與記錄表達有機聯(lián)系起來，引發(fā)思考：“先算什么，再算什么，怎樣書寫豎式可以清楚地記錄計算過程，并計算出結(jié)果？”兩者不同的是，點子圖較直觀，情境圖則更貼合生活情境。正如教學中出現(xiàn)了有的學生是分三個豎式，有的是對位出錯等等，這些都通過想、說、辯等過程得以從“理”的視角糾正，這種承接理解，接的就是運算本質(zhì)的地氣。這個教學過程中，不是簡單地告訴學生兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法，而是讓學生經(jīng)歷“尋求”合理運算途徑的過程，是個人的運算“創(chuàng)造”。

第三層次：逐層構(gòu)建，掌握算法。對于豎式計算的算法突破，并非一次例題教學就能突破，而需要進一步豐富例證，以降低學習難度，提升計算技能。王妍老師通過“示范指導(dǎo)——回顧反思——比較溝通”的閉環(huán)方式，幫助學生進一步掌握豎式計算程序，在練習后嘗試總結(jié)計算方法。王暑雅老師則結(jié)合問題情境，設(shè)計“聯(lián)系情境——指導(dǎo)講解——演繹應(yīng)用”的過程，促進學生歸納算法。兩種方式的教學都承接“算法創(chuàng)造”的過程，體現(xiàn)對實施運算能力的落實。

教學研究可知，要讓學生自然地理解、掌握計算方法，首先需要教師設(shè)計貼合兒童思維的多樣化探究活動，從已有經(jīng)驗與方法出發(fā)，逐步向具體算法進行遷移與轉(zhuǎn)化，并在過程中不斷優(yōu)化認識，豐富理解。兩個教學中，學生借助思維工具的支持（點子圖、問題情境），憑借原有經(jīng)驗遷移、轉(zhuǎn)化能夠想到算法，并通過直觀化手段引導(dǎo)思維，展開分析、綜合、比較、抽象和推理等思維過程，使學生能夠從乘法的意義、具體情境中理解算理，支持算法形成，不但使算法有根據(jù)，還發(fā)展了學生的思維能力。其次，要聚焦核心關(guān)鍵，注重引導(dǎo)算法創(chuàng)造。如本課中“如何對位書寫”的問題就是核心關(guān)鍵，教師要聚焦相似性，幫助學生對算法進行主體性構(gòu)造分析，給予學生研究、交流的平臺，在“講道理”中實現(xiàn)特殊向一般的轉(zhuǎn)化。最后，還需要設(shè)計溝通比較環(huán)節(jié)，以提升對算法的歸納。教學中教師需要以例題指導(dǎo)為基礎(chǔ)，開展指向算理理解與算法建構(gòu)的梯度練習，并通過多個例子的分析比較后，再進行算法歸納，使“算法”落地。

三、強調(diào)“情境”應(yīng)用的思維與習慣

運算能力并非是一種單一的、孤立的數(shù)學能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機整合，是以數(shù)學認知、數(shù)學思想、個人發(fā)展三個維度融合架構(gòu)形成。計算教學始終要以問題解決為目的，經(jīng)歷“從現(xiàn)實情境中提出問題——探索計算方法——解決實際問題”的過程。因此運算能力的培養(yǎng)，不僅要處理好“理解算理”“掌握算法”，更需要結(jié)合“現(xiàn)實情境”，培養(yǎng)學生判斷與選擇的意識和靈活敏捷的思維品質(zhì)，提升運算能力。正如學者指出的：應(yīng)用這種意識靈活解決問題的能力，其核心是指計算策略中的靈活性和創(chuàng)造性，而非“沒有思維”的計算程序。

兩位老師在教學的設(shè)計中，無論是點子圖操作還是數(shù)量關(guān)系分析，都伴著具體的問題情境，結(jié)構(gòu)性地呈現(xiàn)學生的思維成果，引導(dǎo)學生比較異同，加深對算理的理解，再溝通算法之間的聯(lián)系，借助“怎樣表達計算過程”的步驟，建立對兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算中“每一步乘的結(jié)果怎樣寫”的問題。在練習中，王妍老師采用不同情境應(yīng)用的方式，如在“你會找聯(lián)系嗎？”練習中，啟發(fā)學生“發(fā)現(xiàn)豎式計算與圖中各部分有怎樣的關(guān)系”，以進一步清晰地感受到豎式計算中每一步的意義。當然，其中也暗含著乘法、面積之間的關(guān)聯(lián)，讓學生感受整體與部分、筆算與圖式之間的關(guān)系。王暑雅老師則采用連續(xù)情境切入的方式，在“小熊文具店”的購物情境中，實現(xiàn)豎式的優(yōu)化；借助豎式計算比較，獲得對“調(diào)換兩個乘數(shù)的位置，積不會改變”的感性認識，為以后認識乘法交換律積累經(jīng)驗。又如兩節(jié)課都注重了在具體情境下計算方法的選擇問題，王妍老師設(shè)計的“裝蘋果一共需要多少個箱子”的問題，在比較辨別中，體現(xiàn)了基于數(shù)量關(guān)系及數(shù)據(jù)特點，靈活計算的價值取向。王暑雅老師設(shè)計的“600 元夠不夠”的問題，體現(xiàn)出教師對學生具體情境下估算能力的有意識培養(yǎng)。

教學研究可知，計算教學中的情境需與具體問題聯(lián)系，才能使運算成為解釋現(xiàn)象的工具，成為交流、加工、解釋信息的量化方法，發(fā)揮最大功能。比如錯例分析（改錯）是計算教學的常用方式，針對容易出錯處，化錯解錯，弄清錯誤的根源，將有助于學生對計算方法的掌握。如何使計算能真正解決學生的疑難？錯例的問題情境設(shè)置就需把握兩個方面：一是計算本身的難點，這是學生面對新知時產(chǎn)生的困難，如位值理解及口算技能等；二是學生的現(xiàn)實難點，這是學生的真正困難所在，如第二層積的書寫對位問題。教學中，借助錯例及時反饋學生的問題所在，為解決學生的疑難而教。當然，開展具體問題情境的“基礎(chǔ)練習”“挑戰(zhàn)問題”等也將幫助學生合理分析，掌握算法。

需要特別關(guān)注的是，計算靈活性意識與習慣的培養(yǎng)。有意識地積累問題解決的經(jīng)驗將為學生問題識別分析、算法合理選擇等提供現(xiàn)實的經(jīng)驗基礎(chǔ)。比如兩位教師在教學中都關(guān)注到了先估再算的習慣培養(yǎng)，讓“估”真正為計算結(jié)果是否合理進行“導(dǎo)航”，王暑雅老師還特別注重了“估”與正確結(jié)果的比較，讓學生體會到“估”的價值。良好的運算能力也體現(xiàn)在面對不同情境的具體問題解決方式，以往我們較為強化筆算出精確值作為學生解決問題的主要方式，忽視了估算、口算、靈活選擇計算等方法。事實上，單一固化的技能訓練往往使學生思維發(fā)展淺層與弱化。本課中，兩位教師在問題情境設(shè)計上充分關(guān)注到了能力發(fā)展節(jié)點，通過“能讀完嗎？”“夠不夠呢？”“□7×□8 的乘積可能是多少？”等問題，帶動學生結(jié)合情境選擇筆算、口算、估算的應(yīng)用，體現(xiàn)了“有思維”的算法選擇，提升了運算能力。

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算”的同課異構(gòu)教學，兩位老師均緊扣計算的“理”“法”“境”，通過學生對算法的自我創(chuàng)造，架起了經(jīng)驗與方法的橋梁，在理解算理、掌握算法、情境應(yīng)用中促進了思維發(fā)展，這些正是發(fā)展學生運算能力的重要要素與可持續(xù)研究的方向。