劉向東 馮心怡

(上海市閔行中學(xué)，200240)

“宇宙間萬(wàn)物的總規(guī)律,其本質(zhì)就是數(shù)的嚴(yán)整性和和諧性．”物理學(xué)科中也處處包含著數(shù)學(xué)之美．在學(xué)習(xí)無(wú)窮多級(jí)電阻時(shí),可能會(huì)產(chǎn)生這樣一個(gè)問(wèn)題:將無(wú)窮多級(jí)電阻從某一級(jí)處截?cái)?所得前半部分的總電阻是多少呢?讓我們先探究一類遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式,再通過(guò)幾道例題欣賞數(shù)學(xué)和物理這兩個(gè)學(xué)科之間的相關(guān)之美．

一、一類遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式

二、應(yīng)用舉例

例1如圖1是由無(wú)限個(gè)阻值均為1Ω的電阻按一定規(guī)律組成的網(wǎng)絡(luò).若從圖中A1B1處沿虛線將網(wǎng)絡(luò)截?cái)?A,B間阻值為R1(Ω);若從A2B2處沿虛線將網(wǎng)絡(luò)截?cái)?A,B間阻值為R2(Ω);…;依次類推,從AnBn處沿虛線將網(wǎng)絡(luò)截?cái)?A,B間阻值為Rn(Ω).試求Rn的通項(xiàng)與極限.

例2如圖2的無(wú)窮多級(jí)電阻網(wǎng)絡(luò),每個(gè)電阻為r=1Ω,記A,B間電阻為R；圖3為R1狀態(tài),圖4為R2狀態(tài),圖5為R3狀態(tài).每次在最外圍邊的電阻上并聯(lián)2個(gè)電阻.試求Rn的通項(xiàng)與極限.

例3如圖6是一個(gè)無(wú)窮多級(jí)電阻網(wǎng)絡(luò),記A,B間電阻為R,圖7為R1狀態(tài),圖8為R2狀態(tài). 每次在A,B內(nèi)部并聯(lián)一個(gè)小正方形形狀的導(dǎo)電線框(線框電阻不計(jì)),正方形的每條邊上都有一個(gè)阻值為r=1Ω的電阻. 依此類推,直到Rn,試求Rn的通項(xiàng)與極限.

對(duì)物理無(wú)窮多級(jí)電阻問(wèn)題,采用數(shù)學(xué)中數(shù)列的知識(shí)來(lái)探討也是一件很有趣的事．對(duì)于含有無(wú)窮多級(jí)電阻的電路,我們可將其分解,運(yùn)用遞推的思想來(lái)理解該電路,這就是學(xué)科間相輔相成的和諧之美．