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        均勻擬陣二階圈圖的哈密頓性

        2020-12-24 10:07:24鄧梓健杜輕松火博豐李發(fā)旭
        江漢大學學報(自然科學版) 2020年5期
        關鍵詞:哈密頓條邊二階

        劉 彬,鄧梓健,杜輕松,火博豐,b,李發(fā)旭

        (青海師范大學 a. 數(shù)學與統(tǒng)計學院,b. 青海省物聯(lián)網(wǎng)重點實驗室,c. 計算機學院,d. 藏文信息處理實驗室,青海 西寧 810008)

        0 引言

        1935 年,Whitney[1]首次提出了擬陣的概念。為了研究擬陣中圈的性質,李萍[2]提出了擬陣圈圖的概念,并且得出了擬陣圈圖的哈密頓性[3-6]連通度[7]和路的性質[8]。對于一階圈圖的哈密頓性,已經(jīng)有了一般性的結果,并知道了連通擬陣M的圈圖的連通度[7]至少是2|E-B|- 2,其中B是M的一個基,至少含有4 個圈的連通擬陣的圈圖是一致哈密頓的[4]。本文在擬陣一階圈圖的基礎上,探究了在某些條件下均勻擬陣二階圈圖的哈密頓性。

        定義1[9- 10]一個擬陣M是一個有序對(E,?),其中E是一個有限集合,? ?2E是E中子集的集合,它們滿足以下公理:

        (Ι1)?∈?。

        (Ι2)若I∈? 且I′ ??,則I′ ∈?。

        (Ι3)若I1,I2∈? 且|I1|< |I2|,則存在e∈I2-I1使得I1?e∈?。

        其中,集合? 中的元素稱為擬陣M的獨立集。設M(E,?)是一個擬陣,若子集X??,則X稱為M的一個相關集。極小的相關集叫做極小圈,令C(M)表示由擬陣M的全體極小圈組成的集合。

        定 義2[10]設n≥m≥ 0 為 兩 個 整數(shù),E是一個n- 元集。令? = {X?E:|X| ≤m},則(E,?)是個擬陣,這種擬陣稱為均勻擬陣,記作Um,n。

        定義3[2]設擬陣M圈圖為G,其中頂點集V(G)=C,邊集E(G)= {CC'|C,C'∈C,|C?C'|≠ 0},這里C和C'既代表G的頂點,也代表擬陣M的圈。設擬陣M的二階圈圖為G,其中頂點集V(G)=C,邊集E(G)= { }CC'|C,C'∈C,|C?C'| ≥ 2 ,這 里C和C'既代表G的頂點,也代表擬陣M的圈。

        定義4[11]設G是一個圖,包含圖G的每個頂點的路稱為圖G的一條哈密頓路;包含圖G的每個頂點的圈稱為圖G的一個哈密頓圈;如果圖G存在一個哈密頓圈,則稱之為哈密頓的。如果圖G中的每對頂點u,v都存在一條u到v的哈密頓路,則稱圖G是哈密頓連通的。如果對于圖G的任意一條邊,G都有一個包含這條邊的哈密頓圈,則稱G是正哈密頓的;如果對于圖G的任意一條邊,G都有一個不包含這條邊的哈密頓圈,則稱G是負哈密頓的。如果G既是正哈密頓的,又是負哈密頓的,則稱G是一致哈密頓的。

        定義5[11]設G是一個圖,如果G中的任意兩個頂點都相鄰,則稱G是完全圖。

        1 預備知識

        引理1[11]設G是一個n- 階圖,其中n≥ 3。如果G的每個頂點v都有那么G是哈密頓的。

        引理2[11]設G是一個n- 階圖,其中n≥ 3。如果G的每個頂點v都有那么G是哈密頓連通的。

        證明E= {x1,x2,…,xn},C(U2,n)= {X?E:|X |= 3},從n個元素中選取3 個元素可以作為U2,n二階圈圖的一個頂點,所以U2,n的二階圈圖共有個頂點。任取U2,n的二階圈圖的一個頂點{xi,xj,xk},其中i≠j≠k且i,j,k∈{1,2,…,n}。從{xi,xj,xk}中任取兩個元素,剩下的一個元素需從除了xi,xj,xk之外的n - 3 個元素中選擇,故與{ xi,xj,xk}相鄰的頂點有個。又由{ xi,xj,xk}的任意性可知U2,n的二階圈圖是正則圖。

        所以,當|E|=n時,與{xi1,xi2,…,xim+1}相鄰的點的個數(shù)為

        引理7若G是完全圖,則G是哈密頓連通的,并且是一致哈密頓的。

        證 明設V(G)= {1,2,…,n},E(G)= {eij|i≠j,且i,j∈[1,2,…,n] }。任 取i,j∈V(G),因為G中任意兩點都相鄰,所以G中存在從i到j的哈密頓路為所以G是哈密頓連通的。任取eij∈E(G),其中i≠j,因為G中任意兩點都相鄰,所以G中存在包含eij的哈密頓圈為:1 →2 →…→i →j →…→n →1,因 此G 是正哈密頓的。任取eij∈E(G),存 在eik,ekj∈E(G),其 中i≠j≠k,則G中存在不包含eij 的哈密頓圈為:1 →2 →…→i→k→j→…→n→1,因此G是負哈密頓的。故G是一致哈密頓的。

        2 主要結論

        定理1U2,4,U3,5,U3,6的二階圈圖是哈密頓連通的,并且是一致哈密頓的。

        證明由引理6 知,U2,4的二階圈圖中每個頂點的度都是3,共有4 個頂點。U3,5的二階圈圖中每個頂點的度都是4,共有5 個頂點。U3,6的二階圈圖中每個頂點的度都是14,共有15 個頂點。故U2,4,U3,5,U3,6的二階圈圖是完全圖。又由引理7 知U2,4,U3,5,U3,6的二階圈圖是哈密頓連通的,并且是一致哈密頓的。

        定理2當n=m+ 2,m+ 3,…,2m- 1,2m時,Um,n的二階圈圖是哈密頓連通的,并且是一致哈密頓的。

        所以Um,2m的二階圈圖是完全圖,由引理7 可知Um,2m的二階圈圖是哈密頓連通的,并且是一致哈密頓的。綜上所述,當n=m+ 2,m+ 3,…,2m- 1,2m時,Um,n的二階圈圖是哈密頓連通的,并且是一致哈密頓的。

        例1 均勻擬陣Um-1,2m的二階圈圖是哈密頓的并且是哈密頓連通的,其中m≥ 4。

        下面我們提出一個猜想。

        猜想1均勻擬陣Um,n的二階圈圖是哈密頓的并且是哈密頓連通的,其中m,n均為正整數(shù),且m≥ 2,n≥m+ 2。

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