李昊軒 賀鈺淇 張昊陽 解菲

摘 要：現(xiàn)代金融理論的核心問題是金融衍生品的定價(jià)問題，期權(quán)作為一種重要的衍生品，在投資市場中有著顯著作用，例如對沖風(fēng)險(xiǎn)、預(yù)測投機(jī)等。二叉樹模型對于期權(quán)定價(jià)理論具有指導(dǎo)性意義。本文首先介紹基于常數(shù)利率假設(shè)的二叉樹期權(quán)定價(jià)模型，其次推廣到三叉樹定價(jià)模型，并利用隨機(jī)微分方程和原點(diǎn)矩的思想，推導(dǎo)出三叉樹模型參數(shù)及期權(quán)價(jià)格的遞推表達(dá)，通過數(shù)值模擬驗(yàn)證二者具有相同收斂性，但三叉樹定價(jià)模型更穩(wěn)定、收斂速度更快。最后考慮隨機(jī)利率模型，引入基于Vasicek隨機(jī)利率的美式期權(quán)三叉樹定價(jià)模型，更貼合目前金融衍生品市場的實(shí)際定價(jià)策略。

關(guān)鍵詞：期權(quán)定價(jià)? Vasicek隨機(jī)利率? 二叉樹模型? 三叉樹模型? Black-Scholes模型

中圖分類號：F832 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：2096-0298（2020）08（b）--04

對于期權(quán)，Black-Scholes在1973年提出了B-S模型[1]用于歐式期權(quán)的定價(jià)，在假設(shè)股票價(jià)格行為服從維納過程、市場無摩擦等條件下開創(chuàng)性地得到了歐式期權(quán)定價(jià)的顯示表達(dá)式。然而，近年來大量的金融統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明B-S模型與實(shí)際情形存在系統(tǒng)性誤差，其主要原因是：（1）所涉及的參數(shù)大多認(rèn)為是已知常數(shù)，導(dǎo)致在參數(shù)估計(jì)的時(shí)候往往會產(chǎn)生模型誤差;（2）假設(shè)利率在購入期權(quán)到執(zhí)行時(shí)間內(nèi)始終保持常數(shù)水平，忽略了實(shí)際情況下利率隨時(shí)間變化的波動性。20世紀(jì)70年代后期，Merton[2]在股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動基礎(chǔ)上，加入泊松過程。針對于期權(quán)定價(jià)的數(shù)值計(jì)算，1979年Cox、Ross、Rubinstein提出了二叉樹定價(jià)模型[3]，其基本思想是將時(shí)間離散化，采用“倒推法”，利用風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)對期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。1986年P(guān)helim Boyle提出三叉樹模型[4]，與二叉樹的構(gòu)建和求解過程相似，但是從模型應(yīng)用效果上具有更大優(yōu)勢。

本文在二叉樹的基礎(chǔ)上引入三叉樹模型，利用隨機(jī)微分方程推導(dǎo)出風(fēng)險(xiǎn)中性概率及上升、下降倍數(shù)的表達(dá)式，采用Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)法得到三叉樹的收斂性高于二叉樹，之后基于Vasicek隨機(jī)利率模型構(gòu)建三叉樹，通過“倒推法”給出歐式及美式期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法。

4 結(jié)語

本文基于常數(shù)利率，推導(dǎo)出風(fēng)險(xiǎn)中性下的二叉樹定價(jià)模型，緊接著在三叉樹模型中，將期權(quán)時(shí)效T進(jìn)行n等分后利用隨機(jī)微分方程和原點(diǎn)矩的思想推導(dǎo)出一種三叉樹模型，并數(shù)值模擬得出二者具有相同收斂性，再使用Wilcoxon符號秩驗(yàn)證說明三叉樹的收斂速度優(yōu)于二叉樹。隨機(jī)利率模型中最著名的是Vasicek模型和CIR模型，本文的創(chuàng)新之處在于將風(fēng)險(xiǎn)中性下的Vasicek隨機(jī)利率模型帶入美式期權(quán)三叉樹定價(jià)模型中，并同樣采用數(shù)值離散化的方式，利用三叉樹模型給出隨機(jī)利率下美式期權(quán)的數(shù)值解，且這種想法更貼合目前金融衍生品市場的實(shí)際定價(jià)策略。但Vasicek模型的不足之處是可能以正的概率出現(xiàn)負(fù)值。

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