王青虹

摘 要：數(shù)學(xué)知識(shí)往往通過“類型化”的界定產(chǎn)生較為固定的模型，從“尋找模型的起點(diǎn)”“搭建模型的框架”“夯實(shí)模型的基礎(chǔ)”三個(gè)方面解讀小學(xué)階段如何借構(gòu)建“數(shù)學(xué)模型”之契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生看透數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，巧妙理清解決問題的思路，以此實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長、師生共進(jìn)。

關(guān)鍵詞：模型;教與學(xué);小學(xué)數(shù)學(xué)

小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中指出：模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。筆者認(rèn)為，模型思想始終貫穿于整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無論是符號(hào)、字母公式、定律、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系等，還是正兒八經(jīng)以滲透“模型思想”為教學(xué)目標(biāo)的“烙餅問題”“植樹問題”“鴿巢問題”等，無一不是循“數(shù)學(xué)建?！钡耐緩絹斫鉀Q問題的。在實(shí)際教學(xué)中，我們要立足學(xué)生的年齡和思維方式，為學(xué)生搭建自主探索的平臺(tái)，讓學(xué)生在解決問題的過程中經(jīng)歷模型的建構(gòu)，并能合理地運(yùn)用模型來解決某一類問題。

一、追根溯源，尋找模型的起點(diǎn)

數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)生活，卻又“低”于現(xiàn)實(shí)生活。很多數(shù)學(xué)模型，往往是我們限定并刨除大部分干擾因素后的一種理想化狀態(tài)，即對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的一種抽象。因此這種“低配版”的“數(shù)學(xué)模型”很多時(shí)候并非我們想象得如此“高深”，尤其是小學(xué)低年級(jí)，我們要做到的是充分“讀懂”學(xué)生，搭建起數(shù)學(xué)模型與學(xué)生發(fā)展認(rèn)知的橋梁。如在教學(xué)一年級(jí)時(shí)，經(jīng)常會(huì)碰到這樣一類錯(cuò)題：

（1）2=（ ）-（ ），學(xué)生會(huì)填出2=（3）-（5），2=（2）-（4）這種錯(cuò)誤答案;

（2）7-3=（ ）+1=（ ）+2=（ ）-4，學(xué)生會(huì)填出7-3=（4）+1=（5）+2=（7）-4這種錯(cuò)誤答案。

很明顯第二種錯(cuò)例，是學(xué)生不明白“=”的意義造成的，一味地單向計(jì)算出結(jié)果，與“開火車”口算7-3→（4）+1→（5）+2→（7）-4=3這類型的題目混淆起來。但第一種錯(cuò)例，我們往往會(huì)覺得匪夷所思，心里犯嘀咕“學(xué)生怎么連小數(shù)不能減大數(shù)都不知道？”面改作業(yè)的時(shí)候，就會(huì)很嚴(yán)肅地告訴孩子“只有大數(shù)可以減小數(shù)，3怎么能減5！”孩子們會(huì)乖乖地把錯(cuò)誤答案訂正了。若反復(fù)出現(xiàn)這種錯(cuò)誤，老師大抵會(huì)反復(fù)強(qiáng)調(diào)。

深究原因，筆者聯(lián)系第二種錯(cuò)例，發(fā)現(xiàn)了其中的“奧秘”。其實(shí)對(duì)于“=”，幼兒園和家長給孩子建立了一個(gè)錯(cuò)誤的符號(hào)化模型：“=”的作用其實(shí)就是類似于“→”，即從左往右得出結(jié)果，下一步是什么。此后，對(duì)于“=”的意義再無涉及。課堂上教師也往往更注重“>”和“<”的教學(xué)，殊不知，孩子們固有的思維起點(diǎn)把“=”當(dāng)作“→”，看到2=（ ）-（ ），算式的結(jié)果2在前面，就很自然地將算式翻譯成2←（ ）-（ ），因此才會(huì)有2=（3）-（5），2=（2）-（4）這種錯(cuò)例，并非是學(xué)生不知道小數(shù)不可減大數(shù)。故（1）（2）兩種錯(cuò)例其實(shí)是如出一轍，屬于同一類錯(cuò)誤，是因?yàn)閷W(xué)生腦海中并沒有建構(gòu)起“=”表示兩邊相等的這種符號(hào)化模型思想。而這一模型的建立，人教版教材在五年級(jí)上冊(cè)“簡(jiǎn)易方程”這一單元中給出了最為形象、直觀的載體——天平。一年級(jí)的學(xué)生即使對(duì)天平不熟悉，但天平和生活經(jīng)驗(yàn)中的蹺蹺板是同一道理，學(xué)生易于理解。兩邊不一樣重，天平就無法平衡，只有兩邊一樣重的時(shí)候，天平才能保持平衡，就像“=”一樣。借助天平在學(xué)生心中建立起“=”即為兩邊相等的模型思想。

二、因勢(shì)利導(dǎo)，搭建模型的框架

在平時(shí)的教學(xué)中，組建一個(gè)數(shù)學(xué)模型并不是一蹴而就的，這個(gè)過程完全彰顯了教師作為教學(xué)引領(lǐng)者的功能。老師通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)化訓(xùn)練策略，引導(dǎo)學(xué)生巧妙地抓住數(shù)學(xué)問題的核心本質(zhì)，吸引學(xué)生自然而然地落入老師精心組建的模型“圈套”中。有時(shí)候因?yàn)閷W(xué)生對(duì)文字描述理解上的偏頗——難以理解或把握不住要點(diǎn)，無法將其形成準(zhǔn)確而鮮明的表象。這時(shí)，可以借助形象的力量，把文字所描述的、所要揭示的、所要表達(dá)的數(shù)學(xué)本質(zhì)通過圖示（圖形、圖表等）的方式形象地表示出來，給抽象的數(shù)學(xué)披上形象的外衣。如人教版三上“倍的認(rèn)識(shí)”這一課，筆者摘錄了一部分教學(xué)片段：

課件出示：

師：仔細(xì)觀察，除了海星少、海螺多，海星和海螺之間還有什么關(guān)系？

生1：海星個(gè)數(shù)是海螺的一半。

生2：海螺數(shù)量是海星的2倍。

師：如果把3個(gè)海星看作一份，海螺有這樣的幾份？

師：怎樣可以清楚地表示出這樣的2份，讓大家一眼就看明白？（將6個(gè)海螺3個(gè)1份圈出來）

師：海螺的個(gè)數(shù)里有2個(gè)3，我們還可以說，海螺的個(gè)數(shù)是海星個(gè)數(shù)的2倍。

課件出示：海星增加1個(gè)，海螺增加2個(gè)。

師：那現(xiàn)在海螺的個(gè)數(shù)又是海星個(gè)數(shù)的幾倍呢？

生：2倍。

師：怎么想的？請(qǐng)你圈一圈。

生1：海螺的個(gè)數(shù)里有2個(gè)4。

生2：把海星的個(gè)數(shù)看作1份，海螺的個(gè)數(shù)有這樣的2份。

課件出示：繼續(xù)增加海星和海螺的個(gè)數(shù)。

師：你們現(xiàn)在還能看到海螺的個(gè)數(shù)是海星個(gè)數(shù)的幾倍嗎？

課件出示：

師：仔細(xì)觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

師：為什么每組海星和海螺的數(shù)量不一樣，卻都可以說是2倍的關(guān)系？

師：不管海星和海螺的個(gè)數(shù)怎么變化，把第一行海星的個(gè)數(shù)看作1份，第二行海螺里都有2個(gè)。

這樣的1份，我們就說海螺的個(gè)數(shù)是海星個(gè)數(shù)的2倍。

課件演示：

師：第一行有這么多，第二行就擺出2個(gè)這么多，我們就說第二行是第一行的2倍。

這個(gè)教學(xué)片段，教師非常注重模型教學(xué)。從一開始引入海星、海螺的實(shí)物模型，幫學(xué)生理清“幾個(gè)幾”與“幾倍”的關(guān)系，再通過幾次增減海星、海螺的個(gè)數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只要把海星的個(gè)數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)量即一份數(shù)，在海螺的個(gè)數(shù)中找到這樣的幾份，那海螺的個(gè)數(shù)就是海星的幾倍，逐步實(shí)現(xiàn)對(duì)“標(biāo)準(zhǔn)量×倍數(shù)=幾倍數(shù)”數(shù)量關(guān)系模型的初步感知。而這“圈一圈”的動(dòng)作，又將具體的實(shí)物模型半抽象成圖形模型，尤其是到后面直接略去實(shí)物，完全抽象成圖形模型，堪稱亮點(diǎn)，形象的圖形倍比關(guān)系一目了然，根植學(xué)生腦海，為接下來教學(xué)線段圖中的“倍比關(guān)系”作鋪墊。

三、厚積薄發(fā)，夯實(shí)模型的基礎(chǔ)

我們要試著“以新觀舊”，有思考性地把新知置于舊知的結(jié)構(gòu)之中，夯實(shí)原有的數(shù)學(xué)模型，用以解決新的數(shù)學(xué)問題，促進(jìn)前后數(shù)學(xué)模型的合并統(tǒng)一。在教學(xué)完人教版四年級(jí)下冊(cè)“三角形的認(rèn)識(shí)”畫“高”這一內(nèi)容后，總有學(xué)生在作業(yè)練習(xí)中經(jīng)常會(huì)手足無措，拿著手中的三角尺無處安放，不知道三角尺該與三角形的哪條邊重合，明明給出了相應(yīng)的“底”，卻不自覺地把“高”畫到了不對(duì)應(yīng)的“底”上去了，更有甚者，拿著三角尺隨便畫一條“豎線”就自以為和“底”垂直了，還自信滿滿地標(biāo)上直角記號(hào)。

從上圖三個(gè)錯(cuò)例中可以看出，學(xué)生對(duì)三角形“高”的定義沒有理解到位。于是，筆者又重新幫學(xué)生分析了三角形“高”的定義，尤其強(qiáng)調(diào)“畫高”的三個(gè)步驟：一定頂點(diǎn)，二找對(duì)邊，三畫垂線。若已經(jīng)指定“底”了，那就直接找到對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)畫垂線即可。結(jié)果類似圖1、圖2這種錯(cuò)誤已不多見，但對(duì)于鈍角三角形“形外高”的畫法部分學(xué)生依舊很迷茫，特別是“底”不是水平的時(shí)候，就毫無頭緒了。盡管畫鈍角三角形的“形外高”是“畫高”的拓展延伸，但學(xué)生出現(xiàn)困難，就說明他們對(duì)“相對(duì)應(yīng)的底和高”的掌握是不到位的。

重新翻看教材對(duì)三角形和平行四邊形“高”的定義，發(fā)現(xiàn)圖形畫“高”這個(gè)模型的原型其實(shí)就是四年級(jí)上冊(cè)中“過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線段”，只不過多了幾條干擾的邊，造成學(xué)生的迷茫。學(xué)完“過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線段”，我們所有的練習(xí)中，直線外的這一點(diǎn)總是“老老實(shí)實(shí)”地待在直線的一側(cè)，最多把直線從水平旋轉(zhuǎn)成傾斜角度。學(xué)生從來不需要對(duì)直線進(jìn)行延長加工，就很順利地畫出了垂線段。

于是，筆者重塑了“過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線段”的模型，增加下圖（2）（3）兩個(gè)類型的習(xí)題。學(xué)生在練習(xí)的過程中，發(fā)現(xiàn)直線“不夠長”時(shí)，就主動(dòng)地延長了直線。同時(shí)，在作業(yè)中又布置了直線發(fā)生傾斜的情況如（4）（5）。

接著我們標(biāo)上頂點(diǎn)，連上線段，學(xué)生一眼就分辨出這其實(shí)就是三角形“畫高”的方法，尤其是對(duì)于畫鈍角三角形“形外高”時(shí)，為什么要延長對(duì)邊也了然于心。出于這次模型改進(jìn)的經(jīng)驗(yàn)，筆者在新一輪四年級(jí)上冊(cè)“過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線段”的新授課時(shí)，就加入了上面的練習(xí)，為之后學(xué)習(xí)各種圖形“畫高”打下基礎(chǔ)。

一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型其本質(zhì)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的吸收、拓展、消化及靈活應(yīng)用，數(shù)學(xué)的教學(xué)無論是化抽象為形象，還是化新知為舊知，思考的核心都是著力實(shí)現(xiàn)“舉一反三”“舉綱張目”的教學(xué)成效，從而使學(xué)生能夠有更多的時(shí)間、精力，生長出更豐富的思維觸角，去進(jìn)行有個(gè)性的、有生命力的、有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，最終走向教學(xué)相長、師生共進(jìn)的“共同富?！薄?/p>

參考文獻(xiàn)：

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編輯 王彥清