林月理

摘 要：探究2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅲ卷（理科）21題第（1）小題，分析題目背景，進(jìn)而進(jìn)行推廣，從特殊到一般，尋求根源，理順規(guī)律，得到一系列的統(tǒng)一性質(zhì)。探究出試題中數(shù)學(xué)問(wèn)題所蘊(yùn)含的本質(zhì)阿基米德三角形，拓展出阿基米德三角形的一些性質(zhì)，并舉例說(shuō)明阿基米德三角形的性質(zhì)在解決近幾年相關(guān)高考題中的妙用。

關(guān)鍵詞：2019年全國(guó)Ⅲ卷（理科）21題;高考解題;推廣研究;圓錐曲線;問(wèn)題本質(zhì);阿基米德三角形。

近年來(lái)各地高考試題中，圓錐曲線問(wèn)題，尤其是圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題，始終是考題中的熱點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)問(wèn)題。圓錐曲線問(wèn)題信息量大，綜合性強(qiáng)，靈活性高，能比較全面地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在高考試題中有著重要的作用。本文通過(guò)對(duì)2019年全國(guó)Ⅲ卷（理科）21題第（1）小題進(jìn)行探究，逐步發(fā)現(xiàn)并解決問(wèn)題，推廣和深化試題的結(jié)論，最終探究出試題中數(shù)學(xué)問(wèn)題所蘊(yùn)含的本質(zhì)阿基米德三角形，進(jìn)一步探究圓錐曲線中過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)的阿基米德三角形的統(tǒng)一性質(zhì)，并舉例說(shuō)明這些性質(zhì)在解決近幾年相關(guān)高考題中的妙用。

一、真題再現(xiàn)

2019年全國(guó)Ⅲ卷（理科）21題

題目 已知曲線C：? ?，D為直線? ?上的動(dòng)點(diǎn)。過(guò)D作曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別

為點(diǎn)A、B。

（1）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn);

（2）若以? 為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE

的面積。

接下來(lái)，本文就該題的第（1）小題展開(kāi)研究。

證明：設(shè)? ? ? ? ，則

曲線C在點(diǎn)A處的切線DA的斜率為? ?，所以

整理，得? ? ?。同理，對(duì)于直線DB有

因此直線AB的方程為? ? ? ，所以直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)? 。

二、推廣研究

本題中，觀察到直線所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)? 恰為該拋物線的焦點(diǎn)，而動(dòng)點(diǎn)D為拋物線C的準(zhǔn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。這一特性是否對(duì)一般拋物線成立，下面進(jìn)行猜想與證明。

結(jié)論：對(duì)于拋物線C（以? ? ? ?為例）。點(diǎn)D為拋物線C的準(zhǔn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)D作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B，則直線AB恒過(guò)拋物線的焦點(diǎn)。

證明：設(shè)? ? ? ? ?。則

因?yàn)? ，所以切線DA斜率 ，所以

整理得? ? ? ，同理可得

故直線AB的方程：? ? ?，所以直線AB恒過(guò)拋物線的焦點(diǎn)? ?。

上述結(jié)論同樣適用于橢圓及雙曲線，限于篇幅，此處不再贅述。

因此，我們可以歸納出以下結(jié)論：

設(shè)點(diǎn)D是圓錐曲線C的準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D的直線DA、DB與圓錐曲線C分別相切于A、B兩點(diǎn)，則切點(diǎn)弦AB所在的直線必過(guò)相應(yīng)于準(zhǔn)線的焦點(diǎn)F。

三、追溯背景，探尋源流

試題背景

2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅲ卷（理科）21題解題的關(guān)鍵是要發(fā)掘D點(diǎn)與直線AB之間的聯(lián)系。從數(shù)學(xué)史的角度看，本題中的“? ?”是阿基米德三角形。拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱(chēng)為阿基米德三角形。2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅲ卷（理科）21題為過(guò)拋物線焦點(diǎn)的阿基米德三角形。

四、拓展研究

阿基米德三角形有很多性質(zhì)，以拋物線? ? ?為例，拋物線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)? ? ?，分別以A、B為切點(diǎn)的切線PA、PB相交于點(diǎn)P，我們稱(chēng)弦AB為阿基米德三角形的底邊。

定理1（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（2）底邊AB所在直線方程

定理2 若阿基米德三角形的底邊（即弦AB）過(guò)拋物線內(nèi)一定點(diǎn)? ? ，則另一頂點(diǎn)P的軌跡為一條直線，其方程為

推論1（1）阿基米德三角形底邊上的中線平行（重合）于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸

（2）設(shè)? ?，則底邊AB的直線方程

推論2 若阿基米德三角形的底邊（即弦AB）過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn)? ?（m>0）

則：（1）另一頂點(diǎn)P的軌跡方程? ?;（2）? ? （定值）

推論3 若阿基米德三角形的底邊（即弦AB）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)? ?，

則：（1）另一頂點(diǎn)P的軌跡為拋物線的準(zhǔn)線? ?;

定理3 阿基米德三角形中

五、阿基米德三角形在高考解題中的妙用

例1（2012高考福建卷文21）

如圖，等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為 ，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E：x2=2py（p>0）上。

（1）求拋物線E的方程;

（2）設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y=-1相交于點(diǎn)Q。

證明以PQ為直徑的圓恒過(guò)y軸上某定點(diǎn)。

對(duì)于第（2）問(wèn)，注意到直線y=-1是拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)阿基米德三角形性質(zhì)推論3（3）可知，

以PQ為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)F（0，1）（F為拋物線的焦點(diǎn)）

證明：由（1）得，拋物線E：x2=4y，設(shè)點(diǎn)

切線方程：? ? ? ，即? ? ?，所以

所以以PQ為直徑的圓恒過(guò)y軸上定點(diǎn)

例2（2013年高考廣東卷理20）

已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（c>0）到直線l：x-y-2=0的距離為? .設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線 C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線C的方程;

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)? ?為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程;

（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求? ? 的最小值.

分析：由（1）解得拋物線C的方程：

本題中的第（2）問(wèn)，由阿基米德三角形性質(zhì)推論1（2）可知，直線AB的 方程：

解;（2）拋物線C的方程為? ?，即? ?，求導(dǎo)得

設(shè)? ? ? ?，（其中? ? ? ），則切線PA，PB的斜率分別為

所以切線PA的方程為? ? ? ?，即

同理可得切線PB的方程為

因?yàn)榍芯€PA，PB均過(guò)點(diǎn)P（x0，y0），所以

所以? ? ?為方程? ? ? ?的兩組解.

所以直線AB的方程為

例3（2018年高考全國(guó)理科Ⅲ卷16）

已知點(diǎn)? ?和拋物線? ? ，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn).若? ? ，則k=___.

解：因?yàn)? ?在拋物線? ? 的準(zhǔn)線上，? ? ?，

所以由阿基米德三角形性質(zhì)推論3（3）知，

又因?yàn)? ? ? ，所以? ? ?，所以

高考試題具有深刻的知識(shí)背景，我們要加強(qiáng)對(duì)高考試題的深入探究，對(duì)其一般性進(jìn)行推廣，這對(duì)于拓展解題思路和尋求更多更好的解題方法大有益處。因此，我們要教會(huì)學(xué)生掌握問(wèn)題的本質(zhì)，反思總結(jié)解題的思想方法，進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)效率，最終達(dá)到事半功倍的效果。

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