劉敬敏， 楊綠峰， 余 波*

(1.廣西科技大學 土木建筑工程學院，柳州 545006；2.廣西大學 土木建筑工程學院，工程防災與結構安全教育部重點實驗室，廣西防災減災與工程安全重點實驗室，南寧 530004)

1 引 言

結構可靠度分析對于工程結構的設計和概率安全性評估具有重要意義。近年來，框架結構的可靠度分析得到國內外學者的廣泛關注。其中，文獻[1]利用非線性有限元法開展了框架結構的可靠度分析；文獻[2]研究了按照加拿大建筑規(guī)范設計的鋼框架結構的可靠度；文獻[3]基于隨機有限元的梯度優(yōu)化法，研究了荷載和截面慣性矩等參數(shù)為隨機變量時的框架結構可靠度；文獻[4]通過現(xiàn)場測量獲取了鋼筋混凝土框架結構的幾何尺寸和材料參數(shù)的施工誤差統(tǒng)計信息，進而采用驗算點法計算了框架結構的可靠度；文獻[5]利用基于一次可靠度的有限元方法分析了框架結構的可靠度；文獻[6,7]采用響應面法計算了框架結構的可靠度。需要說明的是，上述研究成果都將結構的材料參數(shù)描述為隨機變量，而忽略了材料參數(shù)空間變異性的影響。然而，由于材料制備、施工技術和腐蝕缺陷等因素的影響，結構的材料參數(shù)通常具有顯著的空間變異性[8-19]。文獻[8]利用隨機有限元法分析了彈性模量具有隨機性的鋼框架結構的可靠度，采用中點法離散隨機場，導致適用性和計算精度難以保證。通過分析發(fā)現(xiàn)，目前國內外傳統(tǒng)的隨機場離散方法主要局限于一維桿系單元[9]、二維平面單元[10,11]或三維實體單元[12-14]，而缺少一種針對由桿系單元組成的平面框架隨機場的有效離散方法，所以無法有效分析材料參數(shù)空間變異性對框架結構可靠度的影響[9,10]。

本文結合隨機場離散的局部平均理論和隨機響應分析的攝動隨機有限元法，提出了一種能夠有效考慮材料參數(shù)空間變異性的框架結構可靠度分析方法，進而定量分析了材料參數(shù)空間變異性(如隨機場的相關結構類型、相關偏度和變異性等)對框架結構可靠度的影響規(guī)律。

2 空間變異性的隨機場模型及離散

采用平面內廣義平穩(wěn)且均勻的隨機場來模擬框架結構的材料參數(shù)、幾何尺寸和外荷載等因素在空間分布上的變異性。以圖1(a)所示門式剛架為例，將任一個單元(假定平面內長度為Li的線性單元i或長度為Lj的線性單元j)模擬為平面內廣義平穩(wěn)且均勻的M維隨機場R(x,y,θ)，其中x和y為隨機場的平面坐標，θ為隨機場的隨機特性參數(shù)。已知隨機場的均值和方差分別為

μR= [μ1,μ2,…,μM]T

(1)

(2)

2.1 隨機場的局部平均離散技術

(i= 1,2,…,N)(3)

(i= 1,2,…,N;r= 1,2,…,M)(4)

(5)

(6,7)

圖1 平面內任意分布的線性單元i和j

工程中比較常用的隨機場相關結構類型包括三角型(T)、指數(shù)型(EXP)、二階AR型(AR)和高斯型(G)等，對應的相關函數(shù)和方差函數(shù)分別為[20]

(1) 三角型

(8)

(9)

式中θr為局部平均法的相關偏度。

(2) 指數(shù)型

(10)

(11)

(3) 二階AR型

(12)

γr(Li) = (θr/2Li){2+exp(-4Li/θr)-

[3θr/(4Li)][1-exp(-4Li/θr)]}

(13)

(4) 高斯型

(14)

(15)

式中erf( · )為誤差函數(shù)。

2.2 互相關函數(shù)與協(xié)方差矩陣

(16)

將ds=dxi/cosα和dl=dxj/cosβ代入式(16)可得

(17)

(18)

當單元j平行于y軸時，將ds= dxi/cosα和dl= dyj代入式(16)可得

(19)

當單元i和j都平行于y軸時，將ds= dyi和dl= dyj代入式(16)可得

(20)

(21)

式中σr和σs分別為隨機場第r和第s分量的點標準差。

3 空間變異性結構的可靠度分析

在獨立標準正態(tài)空間內，結構可靠指標β等于原點到極限狀態(tài)面的最短距離，即

(22)

且功能函數(shù)滿足

G(ξ*) = 0

(23)

ξ(k +1)=ξ(k)+s(k)d(k)

(24)

式中上標k和k+1表示迭代步，s(k)為移動步長，可以通過使式(25)所定義的價值函數(shù)取最小值來確定[21]

(25)

(26)

(27)

3.1 正態(tài)相關隨機變量的處理

假設利用局部平均法將隨機場離散為一組具有相關性的正態(tài)隨機向量x= [x1,x2,…,xn]T，其中n=M×N為隨機變量總數(shù)，M為隨機場維數(shù)，N為隨機場單元離散數(shù)。為了進行可靠度計算，需要將x變換為獨立標準正態(tài)分布隨機向量ξ[22]，兩者之間的關系如下，

ξ=TATx+B

(28)

對式(28)進行逆變換有

x=AT-1(ξ-B)

(29)

由此可以得到從隨機向量x變換到隨機向量ξ的雅克比矩陣Jx,ξ為

Jx,ξ=AT-1

(30)

3.2 結構功能函數(shù)的梯度計算

已知原變量空間中的功能函數(shù)g(x)，根據(jù)ξ和x之間的關系，可以確定梯度向量G(ξ)和g(x)之間存在以下關系。

(31)

功能函數(shù)g(x)通?？梢杂蓮V義抗力R和廣義荷載效應S表示為

g(x) =g(R,S)

(32)

由于R和S都是x的函數(shù)，所以梯度向量g(x)為

g(x) =JRgR(R,S)+JSgS(R,S)

(33)

根據(jù)攝動隨機有限元法的控制方程可以求出結構的結點位移向量的均值和協(xié)方差分別為[18,19]

(34，35)

其中

(36，37)

當利用節(jié)點位移來建立結構的功能函數(shù)時，JS= ?S/?x可以由式(37)計算，從而可以利用式(31,33)計算功能函數(shù)梯度向量，進而可以根據(jù)式(22～27)計算結構可靠指標。考慮空間變異性的框架結構可靠度分析方法的計算流程如圖2所示。

圖2 本文方法計算流程

4 對比分析與驗證

4.1 門式剛架

圖3 平面剛架的計算簡圖

4.1.1 相關結構類型和單元劃分數(shù)的影響

以隨機場的相關偏度θr=3.0 m，變異系數(shù)δ= 0.1為例，分析單元劃分數(shù)和隨機場的相關結構類型對框架結構可靠指標的影響，計算結果列入表1，其中εPM表示MCS與本文方法的相對誤差?？煽恐笜穗S單元劃分數(shù)的收斂趨勢如圖4所示。為了兼顧MCS的計算精度和計算效率，分析了抽樣次數(shù)對可靠指標計算結果的影響，將MCS的抽樣次數(shù)選取為10萬次。

表1 不同相關結構類型和單元劃分數(shù)情況下的可靠指標

圖4 單元劃分數(shù)對可靠指標收斂性的影響

由表1可知，(1) 當單元劃分數(shù)不同時，由本文方法與MCS計算得到的可靠指標之間的相對誤差均控制在3.5%以內，說明本文方法的計算精度較高；(2) 當單元劃分數(shù)相同時，隨機場相關結構類型為T，EXP，AR和G時的可靠指標相差不大，符合局部平均法對相關結構類型不敏感的特點。此外，從圖4可以看出，當相關結構類型相同時，結構可靠指標隨著單元劃分數(shù)的增大而逐漸收斂；當單元劃分數(shù)不少于12時，計算結果基本收斂，與文獻[23]在邊坡穩(wěn)定可靠性中有關局部平均法隨機場單元劃分的結論基本吻合。

4.1.2 相關偏度的影響

以單元劃分數(shù)為12，變異系數(shù)δ= 0.1為例，分析隨機場的相關偏度對結構可靠指標的影響，計算結果列入表2，可靠指標隨相關偏度的變化趨勢如圖5所示。由表2可知，當相關偏度取不同值時，本文方法與MCS所得可靠指標的相對誤差均控制在3.1%以內，再次說明本文方法的計算精度較高。從圖5可以看出，當相關結構類型相同時，結構可靠指標隨著隨機場相關偏度的增大而降低，說明相關偏度的大小對結構可靠度有較大影響，與文獻[24]有關曲邊單元局部平均法的研究結論一致。

表2 不同相關結構類型和相關偏度情況下的可靠指標

4.1.3 變異性的影響

以單元劃分數(shù)為12，隨機場的相關偏度θr=3.0 m為例，分析隨機場的變異性對結構可靠指標的影響，計算結果列入表3，可靠指標與變異系數(shù)的變化趨勢如圖6所示。由表3可知，本文方法與MCS的相對誤差隨著變異系數(shù)的增大而增大，當δ≤0.15時，相對誤差控制在5.2%以內；當δ>0.15時，相對誤差較大，主要原因在于攝動展開技術只適于小變異分析。此外，從圖6可以看出，當相關結構類型相同時，結構可靠指標隨著隨機場變異系數(shù)的增大而降低，說明變異系數(shù)的大小對結構可靠度有較大影響。

4.1.4 計算效率對比

通過以上對比分析可知，本文方法與MCS的計算結果相吻合，說明本文方法具有較好的計算精度。取單元劃分數(shù)為12，變異系數(shù)δ= 0.1，相關結構類型為T時的可靠度計算為例，相關偏度分別取1.5 m，4.5 m和7.5 m時，本文方法和MCS 的計算效率對比列入表4。可以看出，MCS按照統(tǒng)計方法計算失效概率，雖然不需要進行可靠度迭代計算，但是需進行大量抽樣且每一組樣本都要進行一次有限元分析計算。 此外，可靠指標越大，MCS所需的抽樣次數(shù)越多，計算耗時越久。而本文方法僅需要進行1次有限元分析計算及4次左右可靠度迭代計算，計算耗時非常少且穩(wěn)定。由 表4 結果可知，本文方法的計算耗時大概只需MCS的1/100，說明本文方法具有較高的計算效率。

圖5 相關偏度對可靠指標的影響

表3 不同相關結構類型和變異系數(shù)情況下的可靠指標

4.2 三層三跨剛架

假設λe和λq的相關結構分別取三角型(T)、指數(shù)型(EXP)、二階AR型(AR)及高斯型(G)，各隨機場的相關偏度為θ1=θ2,分別取6.0 m,7.5 m和9.0 m時，利用本文方法和MCS計算的可靠指標結果列入表5?？梢钥闯?，對于三層三跨剛架結構，當相關偏度取不同值時，本文方法與MCS所得可靠指標的相對誤差均控制在5%以內，說明本文方法具有較高的計算精度和較好的適用性。此外，結構可靠指標隨著隨機場相關偏度的增大而降低，再次說明相關偏度的大小對結構可靠度有較大影響。

圖6 變異系數(shù)對可靠指標的影響

表4 不同方法的計算精度和計算效率的對比

圖7 三層三跨剛架的計算簡圖

表5 不同相關結構類型和相關偏度情況下的可靠指標

5 結 論

結合隨機場離散的局部平均理論和隨機響應分析的攝動隨機有限元法，提出了一種能夠有效考慮參數(shù)空間變異性的框架結構可靠度分析方法，并定量分析了參數(shù)的空間變異性對框架結構可靠度的影響，結論如下。

(1) 隨機場離散的局部平均理論對相關結構類型不敏感。

(2) 隨機場相關偏度和變異性對框架結構可靠度影響較大，隨著隨機場相關偏度的增大或變異性的減小，框架結構的可靠指標逐漸增大。

(3) 所提出的考慮空間變異性的框架結構可靠度分析方法對于小變異(如變異系數(shù)δ≤0.15)情況下的框架結構可靠度分析有較好的適用性。

(4) 所提出的考慮空間變異性的框架結構可靠度分析方法的計算耗時大概只需MCS的1/100，具有較好的計算精度和計算效率。

(5) 基于本文方法，可以進一步開展靈敏度分析，從而遴選考慮空間變異性結構可靠指標的關鍵影響因素，為框架結構的設計提供科學依據(jù)。