王思文， 王憲杰， 胡 彪， 李承玥， 張 帆

(云南大學(xué) 建筑與規(guī)劃學(xué)院，昆明 650500)

1 引 言

結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機性對工程的影響一直伴隨著工程設(shè)計和建造等全過程。經(jīng)過大量研究工作的持續(xù)投入，取得了系列成果[1]。90年代末到新世紀初，我國學(xué)者發(fā)展了隨機系統(tǒng)分析理論，為隨機結(jié)構(gòu)可靠度的求解提供了新的途徑[2]。李杰等[3]提出隨機結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的概率密度演化方法PDEM(Probability Density Evolution Method)，可精確高效地獲得隨機結(jié)構(gòu)概率反應(yīng)信息。梅真等[4]將PDEM方法結(jié)果與統(tǒng)計結(jié)果對比，證明了該方法的高效與準確性。范文亮等[5]基于PDEM方法推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)承載力裕度的概率密度演化方程，研究了鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)的體系可靠度等。諸多研究已證明概率密度演化理論這一新方法的應(yīng)用范圍正逐漸普及開來。

實際工程中，隔震支座長期與外界環(huán)境接觸，不可避免會老化。同時，在生產(chǎn)支座的過程中，因材料和尺寸存在不確定因素，致使支座力學(xué)參數(shù)具有一定隨機性。對此，已有學(xué)者進行了相應(yīng)探究，Kato等[6]發(fā)現(xiàn)長期服役后的隔震支座水平剛度顯著增大;Oh等[7]證明加速老化后支座的剪切剛度、能量吸收和等效阻尼系數(shù)受到了影響；薛斌等[8]〗指出橡膠剪切模量和鉛芯屈服強度的變異會影響等效水平剛度的不確定性。因此，對支座老化衰退以及參數(shù)的不確定性應(yīng)予以重視。

等效水平剛度是影響建筑隔震效果的一個重要力學(xué)指標，其值越小，隔震效果越好；相反，其值越大，致使上部結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)加大[9]。在役支座剛度減小或增加過大都不利于隔震建筑的安全性，因此，對隔震支座可靠度的研究具有重要的工程意義。

現(xiàn)有關(guān)于支座力學(xué)性能的分析大多是確定性的分析，并沒有考慮支座材料性能的衰退；或僅考慮材料衰退而忽視了材料衰退與參數(shù)不確定性的耦合影響。在前人對LRB支座試驗研究的基礎(chǔ)之上，本文引入橡膠材料的隨機性、時變性及鉛芯彈模的隨機性，得出橡膠和鉛芯的隨機時變本構(gòu)模型，構(gòu)建LRB支座隨機時變有限元模型，探究支座等效水平剛度的退化趨勢。最后，基于極值分布事件概率密度演化理論得出不同老化時間下支座等效水平剛度的概率密度演化曲線和衰退規(guī)律，求解不同老化年限下LRB支座的時變可靠度，為隔震工程設(shè)計和既有隔震支座的更換和維護提供一定的理論支持。

2 LRB支座隨機時變本構(gòu)關(guān)系

2.1 Mooney-Rivlin超彈性本構(gòu)模型

LRB支座中的硫化橡膠材料有著體積不可壓縮的特點，且具有優(yōu)良的彈性和恢復(fù)性。和金屬等材料初始時刻即展現(xiàn)出線彈性本構(gòu)關(guān)系不同，橡膠本構(gòu)具有非線性的特點，不能簡單用彈性模量來描述，其本構(gòu)可以由式(1，2)表示[10]。

(1)

(2)

式中W為應(yīng)變能函數(shù)，N為階次，Ck l為材料常數(shù)，k和l為所取級數(shù)最低次冪第一項對應(yīng)的指數(shù)，一般取0或1，Dk為不可壓縮系數(shù)，J為彈性體積比，I1,I2和I3分別為第1,2，3應(yīng)變不變量，λ1,λ2，λ3分別為第1,2，3拉伸比。

當N= 1和I3= 1并取最低次冪時，式(1)可用傅里葉級數(shù)式表示，即得式(3)的Mooney-Rivlin本構(gòu)模型。對橡膠而言，材料常數(shù)C10和C01可根據(jù)式(4～6)[11]由橡膠硬度間接換算得出。

(3)

lgE0= 0.0238Hr-0.9905

(4)

E0= 6(C10+C01)，C01= 0.25C10

(5，6)

式中Hr為橡膠硬度，E0為橡膠彈性模量，D1為k取1時對應(yīng)的不可壓縮系數(shù)。

2.2 橡膠材料性能的衰變

LRB隔震支座由鋼材、鉛芯和橡膠組成。其中，鋼板和鉛芯的性質(zhì)較為穩(wěn)定，力學(xué)性質(zhì)改變緩慢，而橡膠材料隨著使用時間的增加，分子層面的化學(xué)性質(zhì)發(fā)生改變。橡膠老化是一個緩慢的過程，為便于試驗研究，文獻[12]提出化學(xué)反應(yīng)速度論，并指出實際環(huán)境中的材料老化時間與加速老化時間存在換算關(guān)系。馬玉宏等[13]在其理論基礎(chǔ)上，進一步歸納出式(7)。在單純考慮熱老化因素時，對支座橡膠材料進行了2160 h(等同于20 ℃環(huán)境使用180年，詳見文獻[13]圖24)超長周期的加速老化試驗，部分試驗時間與自然老化時間的換算關(guān)系及數(shù)據(jù)列入表1和如圖1所示。

表1 試驗時間與對應(yīng)自然環(huán)境20 ℃的老化時間

(7)

式中Ea為反應(yīng)活化能，R為氣體常數(shù)，Treal為自然環(huán)境中的絕對溫度，Ttest為熱氧加速老化試驗絕對溫度，treal為自然老化時間，ttest為試驗老化時間。

因我國建筑設(shè)計基準期較長，一般在50年以上，房屋產(chǎn)權(quán)為70年，具有較長的使用年限。為使研究范圍覆蓋大多數(shù)房屋的壽命周期，圖1中0～84年數(shù)據(jù)點是下文的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)?？梢钥闯觯鹉z的老化并不是線性關(guān)系，在0～16年增加速度較快；隨后因試樣外層橡膠老化起了一定隔絕作用，減慢了內(nèi)部橡膠的老化；16～36年出現(xiàn)了平臺期，此時橡膠硬度較穩(wěn)定；在36～84年繼續(xù)上升，與前16年相比增加速度較緩。為了進行針對性分析，選取0年，4年，12年，16年，24年，40年，60年，72年和84年的老化時間作為目標時刻。

2.3 支座等效水平剛度不確定性

目前，已有大部分研究采用確定性的力學(xué)指標來衡量隔震支座的力學(xué)性能。實際上，支座在制造過程中不可避免地存在諸多隨機性因素，如支座的幾何尺寸、材料彈模和橡膠材料常數(shù)等，最終導(dǎo)致支座等效水平剛度的不確定性。本文選定橡膠材料常數(shù)和鉛芯彈模Eq作為LRB支座材料層面的時變和隨機性因素，并假設(shè)其服從標準正態(tài)分布。根據(jù)貴州輪胎股份有限公司對橡膠材料樣品的基礎(chǔ)試驗數(shù)據(jù)，近似擬合出式(8)所示橡膠材料常數(shù)變異系數(shù)Cv的時變關(guān)系。變異系數(shù)和材料常數(shù)概率取值列入表2，Eq均值取16000，變異系數(shù)取0.02。式(9，10)即為橡膠和鉛芯材料的隨機本構(gòu)關(guān)系模型表達式。

圖1 加速熱老化試驗數(shù)據(jù)[13]

表2 材料常數(shù)概率信息取值Tab.2 Probability information of material constant

Cv(t) = 0.000363e0.06201 t+0.04164e0.01213 t

(8)

W(μ1,σ1) =C10(μ1,σ1)(I1- 3)+

(9)

(10)

規(guī)范《建筑隔震橡膠支座JG/T118-2018》[14]規(guī)定隔震支座的等效水平剛度計算式為

Kh= (Q+-Q-)/(U+-U-)

(11)

式中Kh為等效水平剛度，U+和U-為支座的最大和最小位移，Q+和Q-為最大和最小位移對應(yīng)的最大和最小剪力。

LRB支座等效水平剛度的理論值計算式為[15]

(12，13)

(14，15)

3 基于概率密度演化理論極值分布的可靠度求解

PDEM理論是一種新興的隨機性理論方法，高效而準確，為求解復(fù)雜隨機問題提供了一種新的途徑。結(jié)構(gòu)的可靠度可定義為

R(t) = Pr{X(τ) ∈Ωs, 0≤τ≤t}

(16)

式中R(t)為結(jié)構(gòu)可靠度函數(shù),X(τ)為致使結(jié)構(gòu)失效的物理因素,Ωs為安全域,t為參考時間。

根據(jù)不同的判別標準，PDEM方法求解可靠度問題可分為單側(cè)吸壁問題和雙側(cè)吸壁問題等[16]。規(guī)范[14]指出，老化后支座等效水平剛度的變化量應(yīng)在+20%之內(nèi)，存在一側(cè)限值，故適合采用單側(cè)吸壁準則式(17)來定義其變化區(qū)間限值。

R(t) = Pr{X(τ) ≤b, 0≤τ≤t}

(17)

根據(jù)PDEM方法的基本思想[17],求解極值分布事件可靠度的核心是構(gòu)造一個虛擬隨機過程Ql(τ)，在虛擬時間τ中使目標隨機變量為該過程的截口隨機變量Zl(τ= 1)。以該過程為橋梁，進而求解目標隨機變量的概率密度函數(shù)[18]，如式(18,19)。式(20)即為依賴于隨機參數(shù)Θ定義的隨機結(jié)構(gòu)反應(yīng)絕對值的最大值。

Zl=Ql·τ=Wl(Θ,T) ·τ

(18)

Zl=Ql(τ)|τ =1

(19)

(20)

進一步，可得到(Ql,Θ)的聯(lián)合概率密度函數(shù)pQl Θ(q,θ,τ)的概率密度演化方程(21)和相對應(yīng)的初值條件(22)。

(21)

pQlΘ(q,θ,τ) |τ = 0=δ(q)pΘ(θ)

(22)

式中δ(q)為Dirac函數(shù)。

求解偏微分方程(21)初值問題,聯(lián)立式(21，22)即可求出pQlΘ(q,θ,τ)的數(shù)值解，再代入式(23～25)求出可靠度。

(23)

pz1(z) =pQl(q,τ)|q =z,τ =1

(24)

(25)

根據(jù)數(shù)論選點法在三維隨機變量Θ的三維分布空間Ωθ中選取若干個代表點，求出等效水平剛度Kh。根據(jù)式(19)構(gòu)造的虛擬隨機過程如式(26)所示，則虛擬隨機過程Z(τ)關(guān)于τ的導(dǎo)數(shù)即為式(27)。

Z(τ) =Kh(θi,j) · sin(τ· π/2)

(26)

式(26)滿足Z(τ)|τ =0= 0,Z(τ)|τ =1=Kh(θi,j),當τ= 1時，Z(τ)即為真實的等效水平剛度。

4 算例分析

4.1 參數(shù)選取與有限元模型的建立

依照圖2 所示的LRB支座結(jié)構(gòu)形式進行有限元建模，模型的尺寸大小參照規(guī)范[14]對支座尺寸規(guī)格的規(guī)定，選取支座直徑為Ф600 mm進行建模。為了便于分析，暫不考慮封板中的螺栓和支座橡膠保護層的厚度，以及外層橡膠老化后對內(nèi)部橡膠的延緩效果，模型具體尺寸參數(shù)列入表3。

橡膠材料常數(shù)取值基于表2的概率信息，經(jīng)由數(shù)論選點法生成；鋼板選用Q235鋼，鋼材彈模EG= 206000 MPa，采用隨動硬化本構(gòu)關(guān)系[20]，應(yīng)力σ1，σ2及應(yīng)變ε1，ε2的取值分別為235 MPa，444 MPa及0,0.1812，泊松比μG=0.3；鉛芯彈模Eq=16000 MPa；泊松比μ=0.44，屈服強度σs=10.2 MPa，采用理想彈塑性本構(gòu)關(guān)系[21]。

LRB支座具有軸對稱的特點，為提高收斂性和計算效率，對支座模型進行如下簡化。以xOy平面為基準面，沿X軸方向切去一半，可減少一半網(wǎng)格數(shù)量。因支座在組裝過程中的硫化工藝可使鋼板層和橡膠層間產(chǎn)生極強的黏結(jié)力，很難產(chǎn)生剝離破壞，且鉛芯在制作時直徑會略大于中孔直徑，以使鉛芯和鋼板-橡膠復(fù)合體緊密相連。因此，將支座的鋼板、封板、橡膠層和鉛芯合并為一個構(gòu)件，細部構(gòu)造如圖2所示，模型展示如圖3所示。

因橡膠體積不可壓縮的性質(zhì)，取D1=0。為防止模擬過程中材料進入非線性階段發(fā)生體積自鎖的現(xiàn)象，橡膠選用8結(jié)點線性6面體雜交單元C3D8H；鋼板和鉛芯采用8節(jié)點線性6面體減縮單元C3D8R。

加載方式采用正弦幅值位移加載，位移的限值為±114 mm(即使支座產(chǎn)生100%的剪切變形)，僅對支座上封板圓心施加位移荷載。規(guī)范[14]要求加載頻率f≥0.02 Hz，取f=0.5 Hz。模型底部鎖定所有自由度，剖面方向約束Y方向平動自由度，頂部釋放X和Z向平動自由度，約束其他自由度。

《建筑抗震設(shè)計規(guī)范GB/50011-2010》[22]規(guī)定，各類隔震建筑支座豎向壓應(yīng)力應(yīng)小于等于15 MPa，綜合考慮課題組涉及隔震項目中柱結(jié)構(gòu)軸力，取壓強P=7.07 MPa。

4.2 結(jié)果分析

篇幅所限，在4.1節(jié)加載方式基礎(chǔ)之上，僅繪制出支座經(jīng)4年、16年、60年和84年老化后的滯回曲線(圖4)。隨著老化時間增長，滯回曲線逐漸呈現(xiàn)出一定的非線性關(guān)系，橡膠老化變硬后不再是最初的理想超彈性本構(gòu)，支座性能產(chǎn)生了退化。圖4反映出加載位移不變的情況下，隨著老化時間增加，支座的反力同步增大，滯回曲線Y軸峰值呈上下移動的趨勢，支座變剛。圖5為經(jīng)式(9)計算后所有目標時刻支座等效水平剛度的變化趨勢。老化后支座的等效水平剛度(圖5)與橡膠材料的硬度(圖1)有著相似的變化規(guī)律，即隨著時間推移，剛度以兩次不同的速率增大直至平臺期，最后以較平穩(wěn)增長速率繼續(xù)增大。

表3 LRBФ600支座幾何尺寸

圖3 LRB支座有限元模型

但需要指出的是，文獻[23]表明當LRB支座產(chǎn)生小應(yīng)變以下剪切變形時(γ≤150%)，有限元方法對支座剛度的模擬較好，但對等效阻尼比等其他參數(shù)的模擬存在誤差；支座剪力-位移限值的模擬值與試驗值較契合，而式(11)的剛度正是基于該限值求得，因此本文采用有限元方法模擬LRB支座等效剛度具有一定可行性。從圖4可以看出，LRB支座滯回曲線中加載和卸載階段的折角較尖銳，原因在于有限元模擬時沒有考慮試驗中加載設(shè)備與支座之間的相對滑動。

在有限元模擬完成后，取Ar=268429.5 mm2，α=0.216，σp b=10.2 MPa，代入式(12～15)，即可計算出等效水平剛度的理論值。目標時刻LRB支座等效水平剛度模擬值與理論值對比列入表4。

圖4 部分老化時間滯回曲線變化

圖5 等效水平剛度變化趨勢

由表4可知，不同老化時間下，模擬值與理論值的誤差在5%～7%之間，平均誤差為6.3%，采用有限元軟件能夠以較小的誤差對LRB支座水平力學(xué)性能進行模擬，獲得精度良好的等效水平剛度結(jié)果，進一步驗證了文獻[23]的有限元可較好模擬支座中小應(yīng)變下水平剛度的結(jié)論。采用有限差分法求出方程(21)的解,為了直觀地反應(yīng)等效水平剛度的演化過程，同時繪制等效水平剛度2維和3維的概率密度演化曲線(面)，如圖(6)所示。

表4 不同老化時間支座等效水平剛度模擬值與理論值的對比

可以看出，隨著老化時間增加，概率密度曲線呈現(xiàn)右移，表示LRB支座等效水平剛度產(chǎn)生了如圖5所示的剛度退化，證明概率密度演化理論對LRB支座等效水平剛度的衰退有良好的表達。從 圖6 和圖7可以看出，各老化時間等效水平剛度PDF值表現(xiàn)出下降的趨勢；老化40年之后，下降速率增加且概率密度演化曲線的輪廓逐漸趨于扁平，故老化對支座等效水平剛度離散性的影響較明顯。

由式(17)單側(cè)吸壁條件K(τ) ≤2.5,0 ≤τ≤1和式(23～25)可得表5可靠度，變化趨勢如圖8所示。可以看出，老化后支座可靠度呈下降趨勢，在0～10年可靠度比較穩(wěn)定；10～25年可靠度出現(xiàn)第一次下降；25～41年可靠度進入第二個穩(wěn)定期，41～84年可靠度再次下降；隨著老化時間增加，支座可靠度變化率逐漸增大。由此可見，在LRB支座服役時間達到20年前后，要加大檢測頻率；而40年后，需要檢修或有條件的更換，以確保隔震結(jié)構(gòu)維持設(shè)防的抗震能力。

圖6 目標時刻概率密度曲線(面)的演變過程

圖7 PDF值隨時間變化情況

圖8 可靠度隨老化時間增加的變化趨勢

表5 不同老化時間LRB支座可靠度Tab.5 LRB bearing reliability at different aging times

5 結(jié) 論

本文對LRBФ600支座算例等效水平剛度的衰退趨勢進行了分析，并將有限元模擬值與理論計算值進行對比，進一步驗證了有限元方法模擬支座水平剛度的準確性和可靠性?；诟怕拭芏妊莼碚撉蟪瞿繕藭r刻支座等效水平剛度與可靠度，最后得到如下結(jié)論。

(1) 概率密度演化理論可準確有效地捕捉目標時刻LRB支座時變本構(gòu)關(guān)系的概率信息，得到等效水平剛度隨老化時間的演化規(guī)律。支座在老化后，等效水平剛度也隨之增加。

(2) LRB支座的老化是一個非線性的過程。老化后支座外圍橡膠老化變硬延緩了內(nèi)部橡膠的老化，存在兩個平臺期，此時可靠度比較穩(wěn)定。在平臺期外的兩個時間段，可靠度下降較明顯。

(3) 在橡膠材料常數(shù)和鉛芯彈模時變變異系數(shù)確定的情況下，老化后各目標時刻概率密度演化曲線的峰值明顯降低，概率密度曲線的形狀逐漸扁平，老化增大了LRB支座等效水平剛度離散性。

本文的研究為在役LRB隔震支座的維護和更換提供了一定的理論支持，但不同支座種類橡膠是否均可視為體積不可壓縮材料目前尚不明確，相關(guān)的研究工作，課題組正陸續(xù)開展。