黃志誠， 王興國， 吳南星， 褚福磊， 羅 經(jīng)

(1.景德鎮(zhèn)陶瓷大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，景德鎮(zhèn) 333403； 2.清華大學(xué) 機(jī)械工程系，北京 100084；3.北京機(jī)械工業(yè)自動化研究所有限公司，北京 100084)

1 引 言

對于各種車輛、飛機(jī)和船舶等,其內(nèi)外部噪聲和振動水平是最重要的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)之一[1]。同時(shí),這些領(lǐng)域經(jīng)常要求控制產(chǎn)品的重量,需要大量使用薄壁件,而因其輕薄的特性,在激勵(lì)下更容易產(chǎn)生振動和噪聲。在飛機(jī)和一些高端汽車中,振動主動控制是滿足技術(shù)需求的一種方式,但代價(jià)是成本較高[2]。所以，更常見的是在結(jié)構(gòu)中添加被動阻尼材料以降低噪音和振動水平。其中,被動約束層阻尼PCLD(Passive constrained layer damping)形式的應(yīng)用阻尼材料在降低結(jié)構(gòu)振動能量方面非常有效[3]。圖1所示的黏彈夾芯板結(jié)構(gòu)即為一典型的PCLD板結(jié)構(gòu)。其技術(shù)原理是高損耗因子黏彈性材料層(如橡膠)附著在基板結(jié)構(gòu)上，并且在其另一側(cè)受到剛性層(如金屬)的約束(約束層)。 因此,當(dāng)基板產(chǎn)生彎曲振動時(shí),黏彈性層將經(jīng)受大的剪切變形,使動能轉(zhuǎn)化為熱能耗散掉,達(dá)到減振降噪目的。這種結(jié)構(gòu)在沒有顯著改變構(gòu)件重量的情況下能夠有效地抑制振動,所以在對重量有嚴(yán)格限制的場合應(yīng)用廣泛。其動力學(xué)建模和振動及阻尼特性一直是研究的熱點(diǎn)問題。

本文基于經(jīng)典板理論對黏彈夾芯板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了有限元建模,采用Biot模型描述黏彈性材料參數(shù)的頻率依賴特性并給出了識別其參數(shù)的方法。通過引入輔助坐標(biāo)將Biot模型和黏彈夾芯板的有限元方程相結(jié)合,并將其轉(zhuǎn)化成便于求解的標(biāo)準(zhǔn)二階定常線性系統(tǒng)方程形式。最后，對黏彈夾芯板的振動特性進(jìn)行了分析和實(shí)驗(yàn)研究,結(jié)果表明本文方法是正確可靠的,對同類工程振動問題的解決有一定參考應(yīng)用價(jià)值。

圖1 黏彈夾芯板結(jié)構(gòu)

2 有限元建模

2.1 基本假設(shè)

假設(shè)黏彈夾芯板的兩個(gè)彈性層(基板和約束層)的剪應(yīng)變忽略不計(jì),只考慮中間黏彈性層的剪應(yīng)變;各層沿厚度方向的撓度變化可忽略,即三層具有相同的撓度,中面只發(fā)生彎曲變形;彈性層不耗散振動能量,黏彈性層為不可壓縮材料,通過剪切變形耗散能量;黏彈性層為線性黏彈性材料,其本構(gòu)模型由復(fù)剪切模量模型表示;各層結(jié)合面完美粘合,不存在相對滑動。

2.2 運(yùn)動學(xué)關(guān)系

基于上述假設(shè)和圖2所示的運(yùn)動關(guān)系,可得黏彈性層x向和y向位移分別為[14]

(1)

(2)

黏彈性層繞y軸和x軸的剪應(yīng)變分別為

(3)

(4)

式中d= (h3+h1)/2+h2為約束層和基板中面間的距離。

圖2 xoz截面黏彈夾芯板的運(yùn)動關(guān)系

2.3 自由度與形函數(shù)

構(gòu)造如圖3所示的夾芯板單元。該單元為四節(jié)點(diǎn)矩形單元,尺寸為2a×2b。每個(gè)節(jié)點(diǎn)有7個(gè)自由度,分別為板單元基板層和約束層面內(nèi)x向和y向位移u1,v1,u3和v3、板的橫向位移w及繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)角θx和θy。其空間分布函數(shù)(插值函數(shù))為

u3=a1+a2x+a3y+a4xy

v3=a5+a6x+a7y+a8xy

u1=a9+a10x+a11y+a12xy

v1=a13+a14x+a15y+a16xy

w=a17+a18x+a19y+a20x2+

a21xy+a22y2+a23x3+a24x2y+

a25xy2+a26y3+a27x3y+a28xy3

θx= ?w/?y,θy=-?w/?x

(5)

式中系數(shù)a1,a2,…,a28由單元4個(gè)節(jié)點(diǎn)的28個(gè)節(jié)點(diǎn)位移向量Δe來決定。節(jié)點(diǎn)位移向量為

(6)

(i= 1,2,3,4)(7)

因此,單元內(nèi)任意位置(x,y)的位移Δ可由單元節(jié)點(diǎn)位移矢量插值得到,即

(8)

將形函數(shù)N代入式(1～4),可得對應(yīng)于黏彈性層縱向位移u2,v2和剪應(yīng)變γx z，γy z的形函數(shù)分別為

(9)

(10)

(11)

(12)

圖3 28自由度板單元示意圖

2.4 單元運(yùn)動方程

2.4.1 勢能

根據(jù)經(jīng)典板理論[15]可得單元不同層因拉伸和彎曲引起的勢能為

(13)

式中下標(biāo)i(i= 1,2,3)分別表示該參數(shù)屬于基板、黏彈性層和約束層,

(14)

為第i(i= 1,2,3)層面內(nèi)彈性矩陣,其中Ei和νi分別為第i層的彈性模量和泊松比,

(15)

為第i層的彎曲彈性矩陣,ke i和kb i分別為第i層與拉伸和彎曲相關(guān)的剛度矩陣,其表達(dá)式為

(16)

式中Be i和Bb i(i= 1,2,3)分別為基板、黏彈性層和約束層的拉伸和彎曲應(yīng)變-位移矩陣,其表達(dá)式分別為

(17)

黏彈性層的剪切應(yīng)變能為

(18)

式中G為黏彈性材料的剪切剛度矩陣,其表達(dá)式為

(19)

式中Gx為x向剪切模量,Gy為y向剪切模量。本文研究的黏彈性材料為各向同性材料,所以有Gx=Gy=Gv,其中Gv為黏彈性層的剪切模量,一般情況下為復(fù)數(shù)形式。ks v為黏彈性層的剪切剛度矩陣,其表達(dá)式為

(20)

式中Bs v為黏彈性層的剪應(yīng)變矩陣,其表達(dá)式為

(21)

顯然,單元總勢能為各層勢能之和

(22)

則單元總剛度陣為各層剛度陣之和

(23)

式(23)可簡寫為

ke=ke+ks v

(24)

式中ke為單元的彈性剛度陣,其表達(dá)式為

(25,26)

式中G=Gv為黏彈性材料的剪切彈性模量,kv v為單元粘性剛度陣,其表達(dá)式為

(27)

2.4.2 動能

板單元各層動能也包含拉伸和彎曲動能兩部分。第i層(i= 1,2,3)的動能為

(28)

單元總動能為各層動能之和,即

(29)

應(yīng)用形函數(shù),則可得單元總質(zhì)量陣

(30)

式中me i和mb i分別為第i層拉伸和彎曲質(zhì)量陣。這些質(zhì)量陣的表達(dá)式分別為

(31)

2.4.3 單元運(yùn)動方程

將單元?jiǎng)菽芗皢卧獎(jiǎng)幽艽牍軤栴D(Hamilton)原理的變分形式可以推導(dǎo)出單元運(yùn)動方程

(32)

式中Re為單元外部激勵(lì)力。

2.5 應(yīng)用Biot模型

黏彈材料拉氏域的切變模量函數(shù)可用Biot模型[16]表示

(33)

式中G∞為黏彈材料剪切模量的平衡(穩(wěn)態(tài))值,N為微振子系列項(xiàng)數(shù),{ak,bk}為正常數(shù)。如果取N階微振子,該模型有2N+1個(gè)參數(shù)需要確定。這些參數(shù)可以通過對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合得到。

將單元運(yùn)動方程(32)進(jìn)行拉氏變換得

(34)

將Biot模型的表達(dá)式(33)代入式(34)并引入輔助耗散坐標(biāo)

(35)

式中k= 1,2,3，…，N。經(jīng)整理后可得到單元?jiǎng)恿W(xué)方程為

(36)

式中

(37)

顯然式(36)為普通的二階定常線性系統(tǒng)動力學(xué)方程,求解固有頻率和阻尼等模態(tài)參數(shù)都很直接方便,這一優(yōu)點(diǎn)使得Biot模型具有很好的工程應(yīng)用價(jià)值。

3 數(shù)值模擬

考慮三根長度不同但其他參數(shù)相同的懸臂黏彈夾芯板結(jié)構(gòu)，其幾何和材料參數(shù)列入表1。文獻(xiàn)[17]對這三種不同的懸臂板進(jìn)行了一系列實(shí)驗(yàn)以確定黏彈材料的機(jī)械性能參數(shù)。本節(jié)將應(yīng)用本文板單元分別對這三種不同的懸臂板進(jìn)行分析,得到其前三階固有頻率和損耗因子,將所得結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對比以驗(yàn)證本文模型。

表1中黏彈材料的彈性模量實(shí)部和損耗因子隨頻率變化而變化,文獻(xiàn)[17]通過實(shí)驗(yàn)確定其表達(dá)式分別為

(38)

(39)

式中α=5.26 MPa,β=55.59×106s-1

δ=6.98×109s-2，ε=0.58 MPa

式(38,39)通過數(shù)學(xué)變形得到形如取兩階微振子項(xiàng)的Biot模型表達(dá)式,其參數(shù)可以直接提取,列入表2。

應(yīng)用本模型分別計(jì)算該板前三階固有頻率和損耗因子值，并與實(shí)驗(yàn)值對比,結(jié)果列入表3。計(jì)算時(shí)，該板沿長寬方向離散成50×40個(gè)單元。

表1 懸臂黏彈夾芯板的幾何和材料參數(shù)

表2 黏彈材料Biot模型參數(shù)

由表3可知,在對固有頻率的預(yù)估中,本文模型對三根板的預(yù)估誤差都在3%以下,最低誤差為1.5%,最高誤差為2.78%,平均誤差為2.13%。在對結(jié)構(gòu)損耗因子預(yù)估中,本文模型的預(yù)估誤差都在5%以下,最低誤差為2.32%,最高誤差為4.58%,平均誤差為3.25%。上述結(jié)果表明，本文方法是準(zhǔn)確有效的。

4 實(shí)驗(yàn)研究

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文推導(dǎo)的有限元板模型，對一黏彈夾芯板進(jìn)行自由振動測試實(shí)驗(yàn)。該板的邊界條件為一邊固支,另三邊自由。長為290 mm,寬為80 mm,其約束層、黏彈性層和基板厚度分別為1.0 mm,0.5 mm和1.7 mm。其材料參數(shù)列入表4。

核心層材料選用國產(chǎn) Z N -1 型黏彈性材料,文獻(xiàn)[18]測得其在不同激勵(lì)頻率下的儲能模量和損耗因子值,據(jù)此通過曲線擬合得到其Biot模型參數(shù),列入表5。

通過如圖4所示的實(shí)驗(yàn)裝置測得黏彈夾芯板前三階固有頻率,對應(yīng)的損耗因子由半功率法得到,然后使用本文推導(dǎo)的有限元模型來計(jì)算板的固有頻率和損耗因子。計(jì)算時(shí)，板沿長寬方向劃分為20×8個(gè)單元。前三階固有頻率和損耗因子的實(shí)驗(yàn)和計(jì)算結(jié)果列入表6。

圖4 結(jié)構(gòu)模態(tài)實(shí)驗(yàn)

表3 不同長度的黏彈夾芯板前三階固有頻率和損耗因子的實(shí)驗(yàn)值和數(shù)值模擬結(jié)果對比Tab.3 Comparison of experimental values and numerical simulation results of first three natural frequencies and loss factors of viscoelastic sandwich plates of different lengths

表4 黏彈夾芯板結(jié)構(gòu)的材料和幾何參數(shù)

表5 Z N -1型黏彈材料Biot模型參數(shù)

表6 懸臂黏彈夾芯板前三階固有頻率和損耗因子的計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較Tab.6 Comparison between calculation and experimental results of first three natural frequencies and loss factors of cantilever viscoelastic sandwich plate

由表6可知,本文有限元模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好,這說明黏彈性材料Biot模型能夠很好地描述黏彈性材料參數(shù)隨頻率變化的特性,本文黏彈夾芯板有限元模型是準(zhǔn)確有效的。

5 結(jié) 論

建立了黏彈夾芯板的有限元?jiǎng)恿W(xué)模型。采用黏彈性材料Biot模型描述其力學(xué)性能參數(shù)的頻率依賴特性,通過引入輔助坐標(biāo)將其與三層四節(jié)點(diǎn)28自由度板單元結(jié)合,將黏彈夾芯板的有限元?jiǎng)恿W(xué)方程改造成二階線性系統(tǒng)形式,降低了常規(guī)非線性系統(tǒng)方程的求解難度。通過數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究驗(yàn)證了本文方法的有效性。