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        幾何非線性分析的高效高階無網(wǎng)格法

        2020-12-23 02:16:42陳嵩濤段慶林馬今偉
        關(guān)鍵詞:變形方法

        陳嵩濤, 段慶林, 馬今偉

        (大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,大連116023)

        1 引 言

        許多工程問題的力學(xué)分析需考慮結(jié)構(gòu)構(gòu)形的變化,如橡膠材料的大變形等。這一類問題的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)和應(yīng)變很劇烈,小變形假設(shè)失效,需要采用幾何非線性模型進(jìn)行計(jì)算。

        傳統(tǒng)有限元法的形函數(shù)依賴于網(wǎng)格單元,在處理幾何非線性問題時(shí)容易因網(wǎng)格畸變而導(dǎo)致計(jì)算失敗。與此不同,無網(wǎng)格法[1]的形函數(shù)僅依賴于離散點(diǎn),無需網(wǎng)格單元,因而處理大變形問題更具優(yōu)勢。目前,無網(wǎng)格法已在幾何非線性的數(shù)值分析中得到廣泛應(yīng)用[2-4]。

        與線性分析不同,求解幾何非線性問題時(shí)參考構(gòu)形的選取關(guān)系到分析效率與結(jié)果的精確性,有限元通常選擇相鄰構(gòu)形作為參考構(gòu)形,即UL法,相比于有限元,無網(wǎng)格法求解形函數(shù)導(dǎo)數(shù)過程較為復(fù)雜,使用UL法不斷更新構(gòu)形,必然會(huì)降低計(jì)算效率。針對該問題,需要建立既能及時(shí)跟蹤變形又不產(chǎn)生極大計(jì)算代價(jià)的構(gòu)形更新方式。Léger等[5]發(fā)展了一種介于TL法和UL法之間的構(gòu)形更新方法,即在每個(gè)載荷步迭代平衡后將此構(gòu)形作為新的參考構(gòu)形,這種方法比較適用于形函數(shù)復(fù)雜、更新構(gòu)形代價(jià)較大的無網(wǎng)格法。

        由于無網(wǎng)格形函數(shù)的豐富性,Galerkin弱形式的準(zhǔn)確積分要求較多的區(qū)域積分點(diǎn),嚴(yán)重降低了計(jì)算效率。無網(wǎng)格領(lǐng)域已發(fā)展了一些高效積分方法,如Wang等[6]的子域積分、Beissel等[7]的節(jié)點(diǎn)積分和Duan等[8]的穩(wěn)定應(yīng)力點(diǎn)積分等。其中,Chen等[9]發(fā)展的基于應(yīng)變光順的穩(wěn)定相容節(jié)點(diǎn)積分SCNI(Stabilized Conforming Nodal Integration)方法極具吸引力,其突出優(yōu)點(diǎn)是不引入任何人工參數(shù),且能精確通過線性分片試驗(yàn)。該方法已成功應(yīng)用于幾何非線性分析[10,11],在高度不規(guī)則計(jì)算網(wǎng)格下仍展現(xiàn)出良好的計(jì)算穩(wěn)定性和效率。Wang等[12]進(jìn)一步將該方法拓展到板單元的大變形問題,成功克服了剪切自鎖。

        Puso等[13]發(fā)現(xiàn)SCNI仍然可能導(dǎo)致邊界附近鋸齒形振蕩模式的出現(xiàn)。Duan等[14]也指出,即使對于二次無網(wǎng)格近似,SCNI也只能通過線性分片試驗(yàn),而不能通過二次分片試驗(yàn)。本質(zhì)上,SCNI是一點(diǎn)積分方案,只能反映出常數(shù)應(yīng)變場。對于應(yīng)變分布可能較為復(fù)雜的非線性問題,高階方法更能夠精確地再現(xiàn)變形過程,避免體積自鎖。Ortiz等[15]指出,在一些大應(yīng)變算例中低階方法魯棒性較差,對這一類問題發(fā)展高效的高階方法是必要的。Duan等[14]針對線彈性小變形問題發(fā)展了一個(gè)三點(diǎn)積分方案,積分點(diǎn)上的形函數(shù)導(dǎo)數(shù)由其與形函數(shù)之間散度定理的離散形式計(jì)算。該方法可精確通過二次分片試驗(yàn),因而稱之為二階一致三點(diǎn)積分方法QC3(Quadratically Consistent 3-point integration method)。相應(yīng)的,SCNI可稱為線性一致一點(diǎn)積分方法LC1(Linearly Consistent 1-point integration method)。目前,QC3積分方案已成功應(yīng)用于不可壓縮固體[15]、斷裂相場[16]和斯托克斯流[17]等問題,但這些研究仍主要集中在線性分析方面。

        本文把QC3積分方案拓展到幾何非線性分析,并進(jìn)一步引入Léger等[5]的更新構(gòu)形方法,發(fā)展能夠高效分析大變形問題的高階無網(wǎng)格法,并通過數(shù)值結(jié)果考察和驗(yàn)證方法的計(jì)算精度與效率。

        2 幾何非線性分析列式

        如圖1所示,考慮當(dāng)前構(gòu)形為Ωn + 1,坐標(biāo)為xn + 1,自然邊界為Γn + 1,本質(zhì)邊界為Γun + 1,Γun + 1∪Γtn + 1=Γn + 1,Γun + 1∩Γtn + 1= ?。與標(biāo)準(zhǔn)的TL和UL方法不同,本文選取第n個(gè)載荷步迭代平衡后的構(gòu)形Ωn作為參考構(gòu)形,該構(gòu)形上的各物理量均標(biāo)注下標(biāo)n,如圖1的Γtn和Γun。相應(yīng)地,初始構(gòu)形Ω0的各物理量均標(biāo)注下標(biāo)0。圖1的Fn和fn + 1分別表示Ωn相對于Ω0以及Ωn + 1相對于Ωn的變形梯度。

        當(dāng)前構(gòu)形下,平衡方程及邊界條件為

        (1)

        (2)

        σi jnj=tn + 1ionΓtn + 1

        (3)

        (4)

        式中左端為內(nèi)力虛功Wint,右端為外力虛功Wext。采用本文選取的參考構(gòu)形Ωn,式(4)可表示為

        (5)

        式中bn和tn為定義在參考構(gòu)形下的體力和面力載荷,Sn和En分別為

        (6)

        (7)

        圖1 計(jì)算構(gòu)形

        式中Jn= |Fn|,I為二階單位張量,S和E分別為參考初始構(gòu)形的第二Piola-Kirchhoff應(yīng)力(PK2應(yīng)力)和格林應(yīng)變。顯然,Sn和En分別為前推到參考構(gòu)形Ωn的PK2應(yīng)力和格林應(yīng)變[5]。

        采用節(jié)點(diǎn)的無網(wǎng)格形函數(shù)建立位移近似u=NIuI,并代入式(5),則該式左端可表示為

        (8)

        (9)

        (10)

        (11)

        (12)

        (13)

        (14)

        (15)

        (16)

        式中m為節(jié)點(diǎn)數(shù)目,un=xn + 1-xn為參考構(gòu)形到當(dāng)前構(gòu)形的位移增量。須著重指出的是,本文方法采用Ωn作為計(jì)算參考構(gòu)形,因而式(12,14,16)的空間導(dǎo)數(shù)均為對xn的導(dǎo)數(shù),這是與參考初始構(gòu)形的傳統(tǒng)TL法以及參考相鄰構(gòu)形的傳統(tǒng)UL法的核心區(qū)別。

        非線性方程的求解采用牛頓-拉普森迭代算法,計(jì)算流程簡述如下。

        (17)

        (3) 建立切線剛度陣K,并通過罰函數(shù)法施加本質(zhì)邊界條件求解增量平衡方程

        (18)

        (19)

        3 二階一致三點(diǎn)積分格式

        由以上列式可以看到,剛度陣的建立需要計(jì)算形函數(shù)導(dǎo)數(shù)的區(qū)域積分。由于無網(wǎng)格形函數(shù)是非多項(xiàng)式的有理函數(shù),精確計(jì)算該區(qū)域積分需要較多的積分點(diǎn),故計(jì)算效率下降。針對該問題,本文引入Duan等[14]針對線彈性小變形問題發(fā)展的三點(diǎn)積分格式QC3來減少積分點(diǎn)數(shù)目。

        如圖2所示,QC3方法采用背景三角形單元進(jìn)行積分計(jì)算,每個(gè)單元僅使用三個(gè)積分點(diǎn)(五角星),邊界積分在每條邊上使用兩個(gè)一維高斯點(diǎn)(三角形)。QC3方法的核心思想是導(dǎo)數(shù)修正,即積分點(diǎn)上形函數(shù)的空間導(dǎo)數(shù)不采用標(biāo)準(zhǔn)形式,而是由散度定理(20)確定

        (20)

        式中ΩSn為參考構(gòu)形下的背景積分子域,ΓSn為其邊界,q(x) =p,x(x)∪p,y(x),p(x)為MLS形函數(shù)的基底函數(shù)向量。本文采用二次近似,即p(x) =[1xyx2xyy2]T,則q(x) = [1xy]T,因而

        圖2 QC3積分方法

        式(20)實(shí)際上表示了三個(gè)方程,剛好可以用于確定三個(gè)積分點(diǎn)上形函數(shù)的空間導(dǎo)數(shù)。采用數(shù)值積分,式(20)的離散形式為

        (21)

        4 數(shù)值算例

        采用三個(gè)算例考察和驗(yàn)證本文發(fā)展的無網(wǎng)格方法處理幾何非線性問題的有效性。作為對比,對有限元(線性三節(jié)點(diǎn)三角形單元,標(biāo)識為FEM)、LC1以及積分點(diǎn)上直接使用標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)數(shù)(而非修正導(dǎo)數(shù))的無網(wǎng)格法(標(biāo)識為ST16,即每個(gè)背景三角形單元使用16個(gè)積分點(diǎn))也進(jìn)行了程序?qū)崿F(xiàn)。

        4.1 淺拱

        如圖3所示,兩端固支弧形淺拱在頂部中心點(diǎn)A處受向下的集中載荷作用[10]。淺拱中性軸半徑為100 mm,拱厚為2 mm,弧對應(yīng)圓心角為 28.06°,楊氏模量E=4.8×103N/mm2,泊松比υ=0.0。無網(wǎng)格離散采用105個(gè)節(jié)點(diǎn),分20個(gè)加載步,每步載荷為1 N,各種方法得到的A點(diǎn)處的載荷-位移響應(yīng)如圖4所示??梢钥闯觯疚牡腝C3方法以及ST16方法的結(jié)果與解析解吻合良好,但是FEM和LC1方法的計(jì)算結(jié)果明顯偏離了解析解。應(yīng)說明的是,F(xiàn)EM的結(jié)果通過加密網(wǎng)格和改變構(gòu)形更新方式(如采用UL法)可以得到顯著改善。

        圖3 受集中載荷的淺拱

        圖4 淺拱A點(diǎn)處的載荷-位移響應(yīng)

        QC3與ST16的計(jì)算精度相當(dāng),但QC3更為高效,表1比較了三種無網(wǎng)格方法在四種計(jì)算節(jié)點(diǎn)配置下消耗的CPU時(shí)間。顯然,QC3的計(jì)算時(shí)間大約僅為ST16的1/4。

        4.2 懸臂梁

        如圖5所示,懸臂梁一端固支,另一端部中心A處受向上的集中載荷作用[10],梁長為20 mm,厚度為1 mm,楊氏模量E=4.8×103N/mm2,泊松比υ=0.0。采用405個(gè)節(jié)點(diǎn)離散,分100個(gè)加載步加載,每步載荷為0.1 N,QC3方法得到的變形過程如圖6所示,載荷-位移響應(yīng)的比較如圖7所示。QC3和ST16的結(jié)果與解析解吻合,LC1的精度相對較差,F(xiàn)EM則明顯偏離解析解。

        圖8比較了各方法得到的應(yīng)力場。FEM和LC1的應(yīng)力場均出現(xiàn)了明顯的虛假數(shù)值振蕩。本文QC3方法使用的積分點(diǎn)明顯少于ST16,但兩種方法得到了類似的光滑無振蕩的應(yīng)力場。

        表1 淺拱算例的CPU時(shí)間比較

        圖5 受集中載荷的懸臂梁

        圖6 QC3方法得到的不同載荷下變形后的懸臂梁

        4.3 軸承座

        如圖9所示,軸承座尺寸為10 cm×10 cm,大孔位于正中心,四角小孔對稱分布,h=1 cm,r=0.5 cm,R=4.5 cm。楊氏模量E=7.9×104N/cm2,泊松比υ=0.33。軸承座的上下表面分別施加向下和向上的不隨構(gòu)形變化的均勻面載荷。無網(wǎng)格計(jì)算采用了3830個(gè)節(jié)點(diǎn),如圖9所示,分50個(gè)加載步,前25步每步加載2 N直至達(dá)到極值載荷50 N,后25步每步卸載2 N直至完全卸載。

        圖7 懸臂梁A點(diǎn)處的載荷-位移響應(yīng)

        圖8 懸臂梁的σx x場

        圖9 軸承座的幾何模型和計(jì)算節(jié)點(diǎn)

        圖10為P=20 N時(shí)軸承座的y向正應(yīng)力場。以Abaqus結(jié)果為參照,QC3得到的應(yīng)力極值較為準(zhǔn)確,而LC1明顯偏離參考解。圖11展示了QC3方法得到的軸承座加卸載的變形過程。在完全卸載后軸承座與初始構(gòu)形吻合良好,無虛假殘余變形,這進(jìn)一步驗(yàn)證了本方法計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)大變形的能力。

        圖10 軸承座的σy y場

        圖11 QC3得到的軸承座的變形過程

        5 結(jié) 論

        本文將QC3方法拓展到了幾何非線性分析,并采用上一載荷步的收斂構(gòu)形作為計(jì)算參考構(gòu)形,針對超彈性材料建立了大變形分析的高階無網(wǎng)格法。與標(biāo)準(zhǔn)的高階無網(wǎng)格法(ST16)相比,本文方法大幅度減少了積分點(diǎn)數(shù)目,節(jié)省了大量的計(jì)算時(shí)間。與一點(diǎn)積分的高階無網(wǎng)格法(LC1)相比,本文方法具有高得多的計(jì)算精度。因此,本文方法有效提高了高階無網(wǎng)格法幾何非線性分析的計(jì)算效率,是超彈性材料大變形問題值得考慮的計(jì)算方案。

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