王晚生，莫 英，鄧丹丹，郭永紅

(1.長沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長沙 410114；2.上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，上海 200234)

由于銅期貨市場價格波動大、有一定的保證金要求，同時期貨交易將風(fēng)險(xiǎn)與收益完全捆綁，因此無法滿足所有投資客戶的需求.相較于傳統(tǒng)的銅期貨市場，銅期權(quán)是一種成本更低、操作更簡便和風(fēng)險(xiǎn)更易控的金融工具.銅期權(quán)于2018年9月21日上市，成為市場上第4個期權(quán)品種，同時也是國內(nèi)誕生的首個工業(yè)品期權(quán).銅期權(quán)的推出不但為銅相關(guān)企業(yè)提供更多元化、精細(xì)化的避險(xiǎn)工具，而且有利于提升我國在世界金融市場中銅的定價權(quán).因?yàn)殂~期權(quán)上市時間短，學(xué)者們對其研究相對較少，所以筆者擬利用Black-Scholes模型[1]和Merton跳-擴(kuò)散模型[2]計(jì)算得到銅期權(quán)理論價格，并將理論價格與實(shí)際期權(quán)價格進(jìn)行對比，以選擇適合銅期權(quán)的定價模型.

1 2個數(shù)學(xué)模型

1.1 Black-Scholes模型

Black-Scholes模型中的期權(quán)價格由標(biāo)的資產(chǎn)價格、行權(quán)價、到期日、利率和波動率等變量共同決定.該模型的5個基本假設(shè)如下[3]:(1)資產(chǎn)價格是連續(xù)的，股票價格隨機(jī)波動且服從對數(shù)正態(tài)分布，價格變化遵循幾何布朗運(yùn)動；(2)在期權(quán)合約有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率、股票資產(chǎn)期望收益變量和價格波動率是常數(shù)；(3)股票資產(chǎn)在期權(quán)合約有效期內(nèi)不支付紅利；(4)市場無摩擦，即不需要支付稅收和交易成本；(5)金融市場不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會.

這里σ為標(biāo)的資產(chǎn)波動率.

1.2 Merton跳-擴(kuò)散模型

Black-Scholes模型推出后，很多學(xué)者將其應(yīng)用在實(shí)際情況中.Merton發(fā)現(xiàn)，市場上股票價格的變化并非連續(xù)波動的過程，而是呈現(xiàn)出間斷的“跳空”現(xiàn)象，于是他提出了股票價格服從跳躍過程的Merton跳-擴(kuò)散模型.該模型在幾何布朗運(yùn)動的基礎(chǔ)上加入了跳躍項(xiàng)，將股票價格的波動過程分為2個部分：第1個部分是連續(xù)的波動，用布朗運(yùn)動描述；第2個部分是由一些重大信息引起的股票價格產(chǎn)生的較大波動，用泊松過程描述.Merton跳-擴(kuò)散模型的定價公式為

這里：

1.3 變量選取和參數(shù)估計(jì)

樣本區(qū)間為2018年9月21日至2019年6月6日，以區(qū)間內(nèi)所有認(rèn)購期權(quán)為研究對象，收集每日收盤價、利率和銅期權(quán)合約相關(guān)數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)來源于大智慧網(wǎng)站.對收益率序列的參數(shù)采用異常值檢驗(yàn)的估計(jì)方法，依時間點(diǎn)滾動，每日估計(jì)1組跳躍參數(shù)，這樣能更加準(zhǔn)確地描述收益率的變化情況.Merton跳-擴(kuò)散模型的參數(shù)估計(jì)量為[45]

利用樣本區(qū)間內(nèi)的前168個時間點(diǎn)的收益率數(shù)據(jù)，依時間點(diǎn)滾動，對每個交易日進(jìn)行參數(shù)估計(jì).2019年5月10日至2019年6月6日每個交易日的具體參數(shù)估計(jì)結(jié)果見表1.

表1 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

2 銅期權(quán)實(shí)證分析

2.1 銅期權(quán)理論價格的計(jì)算

以2019年6月到期的銅認(rèn)購期權(quán)為對象，選取2019年5月10日至2019年6月6日的交易數(shù)據(jù)，將每個交易日的跳躍參數(shù)與收盤價、利率、到期日、執(zhí)行價格等期權(quán)相關(guān)數(shù)據(jù)代入Merton跳-擴(kuò)散模型，即可計(jì)算出不同行權(quán)價下每日的銅期權(quán)理論價格(表2).對于Black-Scholes模型，運(yùn)用歷史波動率公式[5]

得到2019年5月10日至2019年6月6日銅期權(quán)的波動率σ=0.005 9.同樣，將各變量數(shù)值代入Black-Scholes模型，可計(jì)算出不同行權(quán)價下每日的銅期權(quán)理論價格(表2).

表2 不同行權(quán)價下2個模型的銅期權(quán)理論價格與實(shí)際期權(quán)價格

2.2 銅期權(quán)理論價格與實(shí)際期權(quán)價格的比較

從表3可以看出：當(dāng)K=4.4和K=4.5時，Black-Scholes模型的相對誤差均值比Merton跳-擴(kuò)散模型的分別小0.001 6和0.001 7，2個模型的相對誤差均值增加的速度基本一致；當(dāng)K=4.6時，Meron跳-擴(kuò)散模型的相對誤差均值比Black-Scholes模型的小0.128 4， Merton跳-擴(kuò)散模型的相對誤差均值增加的速度(0.046 4)小于Black-Scholes模型的相對誤差均值增加的速度(0.176 5)；當(dāng)K=4.7時，Meron跳-擴(kuò)散模型的相對誤差均值比Black-Scholes模型的小0.451 9，Merton跳-擴(kuò)散模型的相對誤差均值增加的速度(0.091 3)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于Black-Scholes模型的相對誤差均值增加的速度(0.414 8).

表3 不同行權(quán)價下2個模型的銅期權(quán)理論價格與實(shí)際期權(quán)價格的相對誤差

3 結(jié)論

比較Black-Scholes模型和Merton跳-擴(kuò)散模型的銅期權(quán)定價可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)行權(quán)價K逐漸增大時，Meron跳-擴(kuò)散模型的相對誤差均值最初比Black-Scholes模型的略大，到后來明顯小于Black-Scholes模型，說明Merton跳-擴(kuò)散模型的定價效果越來越優(yōu)于Black-Scholes模型；而隨著K的增大，Meron跳-擴(kuò)散模型的相對誤差均值增加的速度最初與Black-Scholes模型的基本一致，到后來遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于Black-Scholes模型，這說明在定價過程中，Merton跳-擴(kuò)散模型比Black-Scholes模型更穩(wěn)定.