滕 鮮，彭 英，楊奮林

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖南 吉首 416000)

1 問題的提出

2 TV4去噪模型的構(gòu)造

在經(jīng)典的TV模型中,一般采用像素點的向前差分或者向后差分來離散化梯度,于是在(i,j)處的梯度模一般為|+ui,j|或者|-ui,j|.由基本不等式易證，

由以上計算過程可知,J(u)的穩(wěn)定點就是如下方程組的解:

(1)

3 模型的求解

(2)

可以驗證線性方程組(2)的系數(shù)矩陣是對稱正定矩陣,一般采用預(yù)共軛梯度法求解.當(dāng)不動點迭代到預(yù)先給定的最大迭代步數(shù)kmax,或者‖u(k+1)-u(k)‖2小于等于預(yù)先給定的閾值λ時,終止迭代.算法的具體步驟如下：

(ⅰ)給出kmax、閾值λ和α,β,令k=0,u(0)=z.

(ⅱ)將u(k)代入方程組(1),得到線性方程組(2),求解得到u(k+1).

(ⅲ)計算‖u(k+1)-u(k)‖2,如果‖u(k+1)-u(k)‖2≤λ或者k+1=kmax,那么令u=u(k+1),記錄迭代次數(shù)k+1,算法停止,否則令k=k+1,轉(zhuǎn)步驟(ⅱ).

4 實驗部分

實驗選用有明顯的邊緣和光滑過渡部分的300×300 Lena圖像和540×466 Moon圖像,來比較TV4模型和TV模型的去噪效果.2個模型均用不動點方法求解,取kmax=10,α=4.5,β=10-6,λ=10-4.線性方程組用預(yù)共軛梯度法求解.2個模型恢復(fù)圖像的迭代時間(t)、迭代次數(shù)(Iter)和信噪比(SNR)見表1.

表1 2個模型的迭代時間、迭代次數(shù)和信噪比

由表1可知,TV4模型的迭代時間和迭代次數(shù)比TV模型的少,信噪比卻更高.這說明TV4模型的去噪效果優(yōu)于TV模型.

圖1和圖2分別示出了Lena和Moon的原始圖像、噪聲圖像及2個模型的去噪圖像.

圖1 Lena圖像Fig. 1 Lena Image

圖2 Moon圖像Fig. 2 Moon Image

由圖1可以看出,2個模型恢復(fù)的圖像的邊緣都很清晰,但由TV模型恢復(fù)的Lena圖像的臉蛋和肩膀等光滑過渡部分有明顯的階梯效應(yīng),而TV4模型恢復(fù)的圖像則較光滑,視覺效果較好.這說明TV4模型既有TV模型的保邊緣優(yōu)點,又能有效抑制階梯效應(yīng).由圖2可以看出, Moon的原始圖像中有多處圓形邊緣, TV4模型恢復(fù)的圓形邊緣比TV模型恢復(fù)的要好.

5 結(jié)語

圖像去噪是圖像處理中的基礎(chǔ)性研究課題,邊緣是圖像的重要特征.TV模型有較好的保邊緣性,是圖像去噪中常用的方法之一,但是會產(chǎn)生階梯效應(yīng).筆者利用像素點的梯度的向前、向后差分構(gòu)造了一個TV4模型，不動點方法求解時，TV4模型的迭代時間和迭代次數(shù)比TV模型的少,信噪比卻更高.對比2個模型對Lena和Moon圖像的去噪效果可知， TV4模型既有TV模型的保邊緣優(yōu)點,又能抑制階梯效應(yīng),且TV4模型的非線性程度比TV模型的低.