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        初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中滲透模型思想的研究
        ——以“一次函數(shù)”為例

        2020-12-18 21:41:39陜西省延安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)薛曉霞
        數(shù)學(xué)大世界 2020年4期
        關(guān)鍵詞:一次函數(shù)李老師雞蛋

        陜西省延安市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 薛曉霞

        在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中,模型思想與數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念等一同被列入十大核心素養(yǎng)中,在函數(shù)教學(xué)中滲透模型思想受到重視。以下擬結(jié)合筆者自身的教學(xué)實(shí)踐體會(huì)對(duì)此作簡要探討,希望對(duì)一線教師有所啟示。

        一、函數(shù)教學(xué)中滲透模型思想的策略

        根據(jù)課標(biāo)中的敘述,模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程主要是從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題,用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義??梢?,在初中數(shù)學(xué)中,函數(shù)所表示的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律本身就屬于重要模型之一,它是利用函數(shù)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中具體問題的基本載體和必由途徑,所謂數(shù)學(xué)建模的意義主要就在于此,這也是函數(shù)教學(xué)中滲透模型思想的主要目的所在,即讓學(xué)生具備基本的建模意識(shí)和建模能力,能夠應(yīng)用函數(shù)知識(shí)去解決相關(guān)的實(shí)際問題。由此而見,在函數(shù)教學(xué)中滲透模型思想的基本策略就是多引入一些實(shí)際問題,多列舉一些真實(shí)案例,讓學(xué)生在具體情境中運(yùn)用函數(shù)知識(shí)。進(jìn)一步而言,教師要注重在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用其解決實(shí)際問題的過程,使學(xué)生形成深刻體驗(yàn),實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的躍遷和升華,這也代表著學(xué)生真正掌握了數(shù)學(xué)模型的本質(zhì),長此以往,必能在潛移默化中促進(jìn)學(xué)生模型思想的形成。下面以一次函數(shù)為例對(duì)此進(jìn)行具體探討。

        二、一次函數(shù)教學(xué)中模型思想的滲透

        一次函數(shù)是初中函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)和重要組成部分,很多實(shí)際問題可以利用一次函數(shù)來解決。在學(xué)生掌握其定義和特征后,就可出示一些實(shí)際問題,引導(dǎo)學(xué)生通過一次函數(shù)的模型來解決。

        1.直接給出模型

        所謂直接給出模型,就是問題中說明了數(shù)學(xué)關(guān)系和變化規(guī)律是一次函數(shù),或者沒有明確說明但很容易看出來,這是最簡單的一種情況。例如:“已知某彈簧在一定限度內(nèi),其長度y(cm)是所掛物體重量x(kg)的一次函數(shù)。當(dāng)所掛物體重量為4kg 時(shí),彈簧的長度是7.2cm;當(dāng)所掛物體重量為5kg 時(shí),彈簧的長度是7.5cm。那么當(dāng)所掛物體重量為6kg 時(shí)彈簧的總長度是多少?”

        顯然,此題很簡單,一次函數(shù)的關(guān)系明確給出,這意味著解題者就不再需要分析題意建模了,直接利用模型y=kx+b即可,只要將題目中的兩個(gè)已知條件分別代入這一關(guān)系式中,得到二元一次方程組,求解得到k和b的值,進(jìn)而得到模型關(guān)系式為y=0.3x+6,然后將x=6代入,求得此時(shí)彈簧的長度為7.8cm。這種直接給出模型的題目屬于層次較低的應(yīng)用,省略了通過分析從具體實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過程,但不妨作為一種鋪墊和踏板,在初期供學(xué)生練習(xí)進(jìn)步。

        2.猜測建立模型

        這類問題就不再有一次函數(shù)模型的明確顯示或強(qiáng)烈暗示了,需要解題者自己判斷,進(jìn)而建立模型。例如:“張老師的鞋子是42 碼的,長26cm;王老師的鞋子是39 碼的,長24.5cm;黃老師的鞋子是36碼的,長23cm;李老師的鞋子是41 碼的,長多少呢?”

        這個(gè)問題中鞋碼和長度的關(guān)系顯然是不確定的,可能是一次函數(shù)關(guān)系,但也可能不是,需要解題者猜測并驗(yàn)證,解題的思路是先假設(shè)問題中的關(guān)系是一次函數(shù)模型,設(shè)y=kx+b,然后利用題目中給出的兩組數(shù)據(jù)得到一個(gè)方程組,求得k和b的具體值,得到模型關(guān)系式的表達(dá)式,再用另一組已知數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證,最終得到結(jié)論:鞋碼和鞋的長度之間是一次函數(shù)關(guān)系,最后利用得到的模型關(guān)系式求解即可。這類題目顯然比直接給出模型的問題增加了難度,同時(shí)也可真正地鍛煉學(xué)生的建模素養(yǎng),促進(jìn)其模型思想的形成。

        3.實(shí)際推導(dǎo)模型

        實(shí)際推導(dǎo),顧名思義,就是需要根據(jù)已知條件進(jìn)行推導(dǎo)分析,以明確模型關(guān)系。例如:“李老師提著重量為0.5 斤的籃子去超市買10斤雞蛋。當(dāng)售貨員稱好了雞蛋往籃子里放時(shí),李老師發(fā)現(xiàn)個(gè)數(shù)比以前買的10 斤雞蛋少了很多,于是將雞蛋連著籃子又讓售貨員稱量,結(jié)果是10.55 斤。李老師看到這一結(jié)果,立刻要求售貨員退1 斤雞蛋的錢,售貨員認(rèn)錯(cuò)并退錢。那么,李老師是如何很快知道少了一斤雞蛋的呢?(精確到1 斤)請(qǐng)寫出分析過程并說說啟發(fā)。”

        這個(gè)問題顯然有著一定難度。如果設(shè)雞蛋實(shí)際重量為x斤,顯示重量為y斤,在正常情況下是y=x。但售貨員顯然是作弊了,即要令y大于x。如果是秤盤底下加了吸鐵石,相當(dāng)于在x后加了一個(gè)常數(shù),使得y=x+a,但售貨員由于不知道顧客買多少東西,如果顧客買得多會(huì)很容易發(fā)現(xiàn)弊端,因此,售貨員不會(huì)采取這種方式作弊。那么,要讓y大于x,其實(shí)可以調(diào)整秤,使得y=kx成立,k為大于1 的常數(shù),這樣就可以達(dá)到作弊且不易被發(fā)現(xiàn)的效果了。根據(jù)問題已知條件有:10=kx,10.55=k(x+0.5),由此式得到10.55=kx+0.5k,將10=kx代入該式求得k=1.1,再把k=1.1 代入10=kx可求得x=9.09,由此可知售貨員少給了大于1 斤雞蛋。這樣,就通過推導(dǎo)確定了模型關(guān)系,從而解決了問題。

        本文簡要探討了初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中如何滲透模型思想。事實(shí)上,初中函數(shù)教學(xué)中模型思想的滲透是一個(gè)兼具深度和廣度的教學(xué)話題,需要一線教師在教學(xué)實(shí)踐中積極探索和總結(jié),本文拋磚引玉,尚盼同仁指教。

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