梁齊天

當(dāng)前初級(jí)中學(xué)一年級(jí)的正、負(fù)數(shù)加減法法則是：

兩數(shù)相加，若同號(hào)，兩數(shù)的絕對(duì)值相加，取同號(hào)。若不同號(hào)，兩絕對(duì)值相減，取絕對(duì)值大的符號(hào)。

兩數(shù)相減，即是加上減數(shù)的相反數(shù)。

這個(gè)法則很是復(fù)雜，其法則長(zhǎng)達(dá)50字之多，不便記憶和操作，而今我把其改成只用八個(gè)字的法則，就是去括號(hào)的符號(hào)法則：

同號(hào)得“加”，異號(hào)得“減”的法則。這樣大大提高了教學(xué)和學(xué)習(xí)效率。（如下以課文的形式出現(xiàn)）

第一節(jié)、正確認(rèn)識(shí)正數(shù)負(fù)數(shù)

一、什么是負(fù)數(shù)？（負(fù)數(shù)怎么產(chǎn)生的？）

負(fù)數(shù)的產(chǎn)生：

我和同學(xué)李小明到商店去買米，每袋米30元，我?guī)?0元，李小明帶錢10元，我們兩人各買一袋米后，各人剩幾元？

解：（所帶的錢數(shù)）-（每袋米的錢數(shù)）=剩余的錢數(shù)

我：50-30=20 （剩余20元）

李小明：10-30=？

1.首先問，10減30夠減嗎？不夠。

2.其次再問，不夠減那還缺多少才恰恰能夠減呢？

答：很明顯，缺20元，就是10還缺20元才恰恰夠減。

3.上面缺的20是從何處得來的呢？

答：缺20里的20是從式子“30-10”得到的，寫成：10-30=缺欠20?！袄幥贰眱勺钟谩?”號(hào)代替，于是：

10-30=缺欠（30-10）

=-（30-10）

=-20

兩數(shù)相減，由于不夠減，而產(chǎn)生的數(shù)，叫負(fù)數(shù)。

這樣得出口訣便是：

小減大，不夠減，缺多少，大減小。

用式子表示就是：

（?。?（大）=缺[（大）-（小）]

=-[（大）-（?。

人類在實(shí)際的生產(chǎn)生活中，由于引起較小的數(shù)減較大的數(shù)不夠減而產(chǎn)生的負(fù)數(shù)，使原來的數(shù)擴(kuò)大了范圍。

例1、20-30=？

解20-30=-（30-20）=-10（讀作負(fù)10）

例2、3-6=？

解：3-6=-（6-3）=-3（讀作負(fù)3）

例3、

解：

二、正數(shù)、零、負(fù)數(shù)

像上面我們引進(jìn)了負(fù)數(shù)，上面的30-10=20，我們叫正數(shù)，我們小學(xué)數(shù)學(xué)課遇到的皆為正數(shù)和數(shù)零。①30-10=20，這是正20，有時(shí)也可以寫成+20，但通常省略“+”號(hào)，只寫成20， 我們記得“正20”及“20”都是“貳拾”，它們都是一個(gè)同一的數(shù)。于是有“正20”=（+20）=+20=20=“貳拾”。②而負(fù)20即是-20，這個(gè)“負(fù)號(hào)-”是不能省略的。

三、負(fù)數(shù)在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用

以上我們講到由于缺欠而產(chǎn)生了負(fù)數(shù)，相反的，由于剩余而出現(xiàn)了“正數(shù)”，缺欠”和“剩余”這兩個(gè)詞是具有相反意義的。

我們還可以把負(fù)數(shù)與正數(shù)表現(xiàn)在其他方面，例如：把我家院內(nèi)的地平面的高度設(shè)為“0”米，我家的樓房上尖最高處離地12米高，記為“+12米”，我家的地下室離地平面為4米，那么地下室的底平面高度就為“-4”米。

我國(guó)黑龍江省省會(huì)哈爾濱在冬季某天的氣溫是零下16℃，是-16℃;海南省三沙市夏天有時(shí)氣溫上升到39℃，這個(gè)39℃可以記為+39℃。

總之，零上溫度、零下溫度;向上或向下移動(dòng)、缺欠和結(jié)余、前進(jìn)和后退等等這些具有相反意義的量，都能產(chǎn)生和運(yùn)用正數(shù)、零、負(fù)數(shù)?？梢娯?fù)數(shù)在生產(chǎn)和生活中廣泛的應(yīng)用著。

四、負(fù)數(shù)是個(gè)普通的數(shù)，負(fù)數(shù)并非劣于正數(shù)

某山區(qū)經(jīng)過地質(zhì)勘探隊(duì)勘查得知地平線以上皆為泥土和石塊，地平線以下1000米（高度是-1000米）及其以下含著大量的黃金礦，這里的-1000米比+20米，+500米，+2000米都比較優(yōu)越。

五、數(shù)零（數(shù)0）的特殊功能

我們?cè)谛W(xué)階段，在遇到數(shù)0與其他數(shù)運(yùn)算時(shí)知道

（1）、3+0=3，0+3=3

（2）、一個(gè)算式加上0，它的算式的值不變化。例如：

3+5-1=7，3+5-1+0=7，0+3+5-1=7，3+0+5-1=7

（3）、0-3=？

0-3（小減大，不夠減）= -（3-0）=-3或者-3=0-3

有了“-3=0-3”這個(gè)簡(jiǎn)明而又不被人們重視的算式有時(shí)起了不小的作用。

我們計(jì)算-3-5=？

可以把-3 改寫代換成為-3=0-3

于是有-3-5=0-3-5（這里使用小學(xué)連減法運(yùn)算便有）

=0-（3+5）=0-8=-8

就這樣，我們利用數(shù)0的特殊功能，得到了如上的“（負(fù)數(shù)）”-（正數(shù)）的方法。

六、作業(yè)

1.（1）2-7=? （2）3-81=? （3）5-12=? （4）4-32=? （5）6-31=? （6）3-

（7）3-5-17=? （8）15-18-2-17=? （9）8-10-57=? （10）-3-5-6-12=

（11）? ?（12）? ?（13）? ?（14）

（15）? ?（16）

2.閱讀課文“三、負(fù)數(shù)并非劣于正數(shù)”

3.冬季某城某天的氣溫是

早晨：零下5℃? ? ?中午：零下1℃? ? 晚上：3℃

用正負(fù)數(shù)記下如下溫度

早晨：? ? ? ? ? ? ?中午：? ? ? ? ? ?晚上：

4.某糧食倉庫某天上午運(yùn)出糧食60噸，中午運(yùn)進(jìn)糧食40噸，下午運(yùn)出糧食50噸

用正負(fù)數(shù)寫出運(yùn)入糧食噸數(shù)

上午運(yùn)入：? ? ? ? ?中午運(yùn)入：? ? ? ?下午運(yùn)入：

5.冬季某天早晨氣溫是-4℃，中午氣溫是0℃。問中午氣溫比早晨氣溫高多少度？

（1）列出計(jì)算式子：（中午氣溫?cái)?shù)）? ? ? （早晨氣溫?cái)?shù)）=？即是? ? ? ? ? ? ?。

（2）這應(yīng)該等于多少呢？

第二節(jié)、正數(shù)負(fù)數(shù)的加減法

一、訂正上次作業(yè)的第五題

（中午氣溫?cái)?shù)）-（早晨氣溫?cái)?shù)）=0-（-4）=（實(shí)際高4度）

=4=+4

所以0-（-4）=+4=4

二、正負(fù)數(shù)的加減法

├ （（正數(shù)）+（正數(shù)）@（正數(shù)）+（負(fù)數(shù)）@（負(fù)數(shù)）+（正數(shù)）@（負(fù)數(shù)）+（負(fù)數(shù)））}共4類? ? ? ? ?├ （（正數(shù)）-（正數(shù)）@（正數(shù)）-（負(fù)數(shù)）@（負(fù)數(shù)）-（正數(shù)）@（負(fù)數(shù)）-（負(fù)數(shù)））}共4類

三、講解

1類：（正數(shù)）+（正數(shù)）

例如（+10）+（+20）=？

讀做：正10加正20等于什么？

（+10）+（+20）=10+（20）

式子的左邊的括號(hào)及括號(hào)里的正號(hào)都可省略而成為

（+10）+（+）20? ? ? ?=10+20

↑ ↑? ? ? ? ? ? ? ↑

符號(hào)相同? ?脫去括號(hào)及里外的符號(hào)取加號(hào)“+”號(hào)

這里好像有個(gè)規(guī)律如下：

括號(hào)里外符號(hào)相同時(shí)，脫去括號(hào)及括號(hào)里外的符號(hào)得到“+”號(hào)。

2類：（正數(shù)）+（負(fù)數(shù)）

例如：5+（-2）=？

讀做：正5加負(fù)2等于什么？

我們舉個(gè)例子，例如某商店今年?duì)I利5萬元，因修建房屋等花去2萬元，問這店今年收入多少元？

解：花去2萬元，可以當(dāng)做收入-2萬元，共收入即是兩項(xiàng)加起來

5+（-2）=？

這應(yīng)該從營(yíng)利額里去掉2萬元，便是今年的收入了。

5+（-2）=5-2=3

這里的5+（-2）? ? ? =? ? 5-2

↑? ↑? ? ? ? ? ? ?↑

∣? ? ? ? ? ? ? ? ? ?∣

符號(hào)不同? ?脫去括號(hào)及其里外的符號(hào)得 “-”號(hào)

括號(hào)里外的符號(hào)不同時(shí)，脫去括號(hào)及括號(hào)里外的符號(hào)以后得減號(hào)“-”號(hào)

練習(xí)（學(xué)生填充做完）

（1）30+（-5） =? ? ? ? ? ? ? （2）6 +（-11）=

3類：（負(fù)數(shù)）+（正數(shù)）

例如（-10）+（+30）=? ？

讀作：“負(fù)10加正30等于什么？”

某小微工廠上半年虧損10萬元，經(jīng)過改善經(jīng)營(yíng)方法，下半年?duì)I利30萬元，問該工廠全年?duì)I利多少元？

解：上半年虧損10萬元，可以記為營(yíng)利（-10）萬元，下半年?duì)I利30萬元，即為（+30）萬元。

全年?duì)I利額=（上半年?duì)I利額）+（ 下半年?duì)I利額）

=（-10）+（+30）=？? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?……? ①

這等于什么數(shù)呢？

我們可以這樣想一想：

全年?duì)I利額=（上半年?duì)I利額）+（ 下半年?duì)I利額）

這也可以改變?yōu)槿缦拢?/p>

全年?duì)I利額= （下半年?duì)I利額）+（上半年?duì)I利額）

=（+30）+（-10）=？

于是有（-10）+（+30）=（+30）+（-10）……②

②式里的（+30）+（-10）應(yīng)該等于什么呢？這里（+30）省略括號(hào)里的“+”號(hào)及括號(hào)，而成為30，就是（+30）+（-10）=30+（-10），然后按照前面2類里（正數(shù)）+（負(fù)數(shù)）的類型來運(yùn)算。

30+（-10）=30-10

=20

因此，該工廠全年?duì)I利20萬元。

從全年?duì)I利額

=（上半年?duì)I利額）+（下半年?duì)I利額）

=（下半年?duì)I利額）+（上半年?duì)I利額），

我們可以得到正負(fù)數(shù)的加法交換律，但是各數(shù)必須要帶著各自的符號(hào)進(jìn)行交換。

4類：（負(fù)數(shù)）+（負(fù)數(shù)）

例如：（-3000）+（-2000）=？

讀做：負(fù)3千加負(fù)2千等于什么？

例1：某小型企業(yè)商店上半月虧損3000元，下半月虧損2000元，問該商店這月共營(yíng)利多少元？

解：上半月虧損3000元，就是營(yíng)利-3000元;

下半月虧損2000元，就是營(yíng)利-2000元。

該月總營(yíng)利額=（上半月營(yíng)利額）+（下半月營(yíng)利額）

=（-3000）+（-2000）=？

這應(yīng)該等于什么數(shù)呢？這很簡(jiǎn)單，從實(shí)際情況來看，就是虧損3000元，接著又虧損2000元，共計(jì)虧損5000元，就是營(yíng)利-5000元，從而得到：

（-3000）+（-2000）=-5000……①

本題里的連續(xù)虧損就是連續(xù)的減少，就是在-3000元的基礎(chǔ)上又減少了2000元，也就是結(jié)果兩次減少而成為減少5000元，于是

-3000-200=-5000……②

由①與②得到：

-3000+（-2000）=-3000-2000=0-（3000+2000+=-5000

↑? ↑? ? ? ? ↑? ? ↑

不同符號(hào)? ? 脫括號(hào)及其里外的符號(hào)得減號(hào)“-”號(hào)

↑? ? ? ? ? ? ? ?↑

結(jié)論：括號(hào)里外的符號(hào)不同時(shí)，脫去括號(hào)及其里外的符號(hào)得減號(hào)“-”號(hào)。

四、作業(yè)

1.閱讀課文4類、5類

2.計(jì)算

（1）（+15）+（+2）=? ? ? ? ? ? ? （2）20+（-5）=

（3）20+（-3）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）18+（-16）=

（5）2+（-7）=? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）8+（-10）=

（7）（-9）+（+12）=? ? ? ? ? ? ? （8）（-10）+2=

（9）（-15）+（+2）+（+20）? ? ? ?（10）-102+（+4）+（+10）

第三節(jié)、正數(shù)負(fù)數(shù)的加減法（續(xù)）

一、講解

6類、（正數(shù)）-（負(fù)數(shù)）

例如 12-（-4）=？

讀做：正12減負(fù)4等于什么？

我們可以利用前面的用“一個(gè)算式的值在加上0不會(huì)引起該式的值的變化”，于是

12-（-4）=12+0-（-4）

此處的0-（-4）=？我們可以引入如下實(shí)例：（在第一節(jié)課里已作為習(xí)題出現(xiàn)）

某地冬天早晨的氣溫是零下4度，即-40C，中午的氣溫是零度即00C，問中午氣溫比早晨高多少度？

解：（中午氣溫?cái)?shù)）-（早晨氣溫?cái)?shù)）

=0-（-4）

這里實(shí)際上中午氣溫比早晨高出4度，

即是0-（-4）=4=+4

于是12-（-4）=12+0-（-4）= 12+4

↑ ↑? ? ? ? ? ? ? ? ? ↑

符號(hào)相同? ? ? ? 脫去括號(hào)及括號(hào)里外符號(hào)得加號(hào)“+”號(hào)

↑? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ↑

以上這式從左式到右式，左式中12-（-4）里的“-（-4）”，括號(hào)里外皆是負(fù)號(hào)，即是相同號(hào)，從12-（-4）到右式里的12+4，這可以得到一個(gè)結(jié)論：就是括號(hào)里外的符號(hào)相同，脫去括號(hào)及去掉括號(hào)里外的符號(hào)，結(jié)果取“+”號(hào)。

二、7類：（負(fù)數(shù)）-（正數(shù)）

例如：-5-8=？讀作負(fù)5減8等于什么？

這里可以把-5寫成-5=0-5，于是有

-5-8=0-5-8（使用連減法得到如下）

=0-（5+8）

=0-13

=-（13-0）

=-13

這在前面有詳細(xì)敘述。

三、8類：（負(fù)數(shù)）-（負(fù)數(shù)）

例如：-4-（-5）=？讀作負(fù)4減負(fù)5等于什么？（這個(gè)8類型作為課后作業(yè)題）

總結(jié)以上八個(gè)類型的問題，在一個(gè)加減的式子里，括號(hào)里面外面的：符號(hào)相同時(shí)，脫去括號(hào)及去掉其里外的符號(hào)，結(jié)果得“+”號(hào);符號(hào)不同時(shí)，脫去括號(hào)及去掉括號(hào)里外的符號(hào)，結(jié)果得“-”號(hào)。簡(jiǎn)言之，脫去括號(hào)：同號(hào)得“+”號(hào)，異號(hào)得“-”號(hào)。

四、9類：括號(hào)有兩個(gè)或多個(gè)正負(fù)數(shù)，脫去括號(hào)怎樣呢？

例如：45-（10-7）如何計(jì)算？

45-（10-7）=45-（+10-7）

括號(hào)“（10-7）”前面的“-”號(hào)對(duì)于括號(hào)里的“+10-7”來說是公有的運(yùn)算符號(hào)。 “-”號(hào)對(duì)于“+10”來說是相異符號(hào)，脫去括號(hào)及括號(hào)里外的符號(hào)得減號(hào)“-”號(hào)， “-”號(hào)對(duì)于“-7”來說，是相同符號(hào)，脫去括號(hào)及括號(hào)里外符號(hào)得加號(hào)“+”號(hào)，于是

45-（10-7）=45-10+7

這里的“10”變成“-10”，而“-7”變成“7”。這就是如下：

脫去負(fù)括號(hào)“-（）”，括號(hào)里的各數(shù)皆變號(hào)。

類似的對(duì)于45+（10-7），脫去正括號(hào)“+（）”，括號(hào)里的各數(shù)皆不變號(hào)。

現(xiàn)在用幾個(gè)例題來鞏固正數(shù)與負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算。

例1、計(jì)算8-（-20）+（-3）-（+2）

解：8-（-20） +（-3）-（+2）=8+20-3-2=23

例2、計(jì)算-3+2-10+7+（-5）-（-15）

解：原式=-3+2-10+7-5+15

=+2+7+15-3-10-5（加法交換律）

=（2+7+15）-（3+10+5）（小學(xué)里的連加法與連減法）

=24-18

=6

以上數(shù)學(xué)里的加減法運(yùn)算就是這么簡(jiǎn)單。

1.運(yùn)用好產(chǎn)生負(fù)數(shù)的方法：

（?。?（大）=-[（大）-（小）]

2.在一個(gè)加減法運(yùn)算式子里，用好脫去括號(hào)法則，即是去括號(hào)后，同號(hào)得“+”號(hào)，異號(hào)得“-”號(hào)。這和后面的乘法法則相呼應(yīng)，這很好記憶和操作，昏昏欲睡狀態(tài)也可操作。

3.運(yùn)用好“加法交換律”

4.運(yùn)用好小學(xué)數(shù)學(xué)里的連加連減法運(yùn)算。

5.運(yùn)用好括號(hào)含有多個(gè)正負(fù)數(shù)的加減的脫括號(hào)法則。

6.盡力把式子轉(zhuǎn)化成減法的式子。

五、作業(yè)

（一）閱讀課文“7類：（負(fù)數(shù)）-（正數(shù)）”

（二）“8類、（負(fù)數(shù)）-（負(fù)數(shù)）

-4-（-5）=？

1.讀作什么？

2.詳細(xì)計(jì)算出來

①在“-4-（-5）”里“-4”后面加個(gè)“0”成為如下：

②0-（-5）=? ? ? ? ? ? ? ? ? ，即問數(shù)0比-5高多少？答：高

③把0-（-5）等于的數(shù)代換到①中的式子里即-4-（-5）=-4+

④觀察脫括號(hào)規(guī)律：簡(jiǎn)單地說，同號(hào)得? ? ? ，異號(hào)得? ? ?。

（三）45+（10-7）

1.式子里“+（10-7）”前面的“+”號(hào)對(duì)于“10”和“-7”是共有的;

2.“+（? ）”前面的“+”對(duì)于“10”來說是相同號(hào)，去掉括號(hào)后取“+”號(hào)，即為“+10”;“+（? ）” 前面的“+”對(duì)于“-7”來說是? ?號(hào)，去掉括號(hào)后取? ?號(hào)，即為? ? ;

3.結(jié)果是45+（10-7）=? ? ? ? ;

4.結(jié)論：一個(gè)數(shù)加上一個(gè)括號(hào)，括號(hào)里含有兩個(gè)以上的數(shù)時(shí)，去掉“+（? ）”，括號(hào)里的各數(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

（四）計(jì)算

（1）3-（-5）+（-2）? ? ? （2）27+（-5）-（-13）

（3）0-3-5-7? ? ? ? ? ? ? ?（4）-9-17-（-28）

（5）-4-5-7? ? ? ? ? ? ? ? （6）89+（-25）-（-35）

（7）2+（-5）-（-1）? ? ? ?（8）

（9）-35-（-21）+（+2）? ? ?（10）-93-（-35）-（-4）

（11）120+（-1-7+9-27）? ? ? ?（12）-45-（2-3-19-108）

（五）閱讀課文中“1--8類”結(jié)論

（六）某水泥倉庫庫存200噸，上午運(yùn)出20噸，中午運(yùn)出20噸，下午運(yùn)入30噸。用正負(fù)數(shù)的加法列式計(jì)算出今天的庫存數(shù)

（七）某地早上的氣溫是零下6度，上午上升2度，中午又上升了3度，到了傍晚下降4度，用正負(fù)數(shù)的加法列式并算出傍晚的氣溫度數(shù)來

作者簡(jiǎn)介

作者現(xiàn)任中國(guó)教育科學(xué)研究會(huì)榮譽(yù)理事，曾在安徽省阜陽教育學(xué)院、阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)系三年級(jí)任教復(fù)變函數(shù)論等課程。后調(diào)至淮北市第十中學(xué)任教，現(xiàn)退休。