◇ 安徽 喬 軍 方 林

回旋加速器是利用相互正交的電磁場使帶電粒子在電場中加速,在磁場中回旋,通過多次往復最終使粒子得到加速的裝置.它是帶電粒子在組合場中運動的重要實例,也是現代科技在物理中的重要應用,是高考考查的重點和熱點問題.本文對回旋加速器模型進行深度剖析,對涉及的重要規(guī)律和疑難問題進行全面梳理和總結,以供師生參考.

以下討論均不計粒子注入時的初速度,粒子最終離開加速器的速度遠小于光速.

問題1 粒子注入初始位置在哪兒?

因被加速的粒子在運動過程中會經高頻電場反復多次加速,每加速一次后緊接著在磁場中做半周勻速圓周運動,然后不斷重復這一過程,直至粒子最終離開D形盒,故粒子剛開始注入位置應該在D形盒的中心位置附近,而并非D形盒邊緣(道理很簡單,如在邊緣注入,粒子加速后半徑再次增大,就會撞到D形盒上).

問題2 回旋加速器實現的條件與交變電場的變化周期是什么?

高頻電場加在兩D形盒之間,由于D形金屬盒的靜電屏蔽作用,盒內空間的電場極弱,故帶電粒子在盒內僅受洛倫茲力作用而做勻速圓周運動.因粒子做勻速圓周運動的周期與運動速率和半徑均無關,所以盡管粒子的速率和半徑一次次增大,運動周期T卻始終不變.如圖1所示,如果在直線AB、A′B′間加上一交變電場,使之以相同的周期變化,就可以保證粒子每經過直線AB和A′B′時都正好趕上適合的電場方向(電場力方向與速度方向相同)而被繼續(xù)加速(不考慮加速時間).

圖1

然而,一方面,由于D形盒所占空間有限,另一方面,隨著粒子速度的增加,當其接近光速時,由狹義相對論可知,粒子的質量會明顯增加,回旋周期T＝會變大,與交變電壓的周期不再一致,也就無法保證粒子每次出磁場后就立即被加速,從而導致加速器無法正常工作,因此回旋加速器不能無限地對帶電粒子加速.

問題3 最大動能是多少?

設粒子從D形盒邊緣離開時做圓周運動的軌跡半徑為rm,D形盒半徑為R,速度為vm,則rm＝R,粒子做勻速圓周運動,由洛倫茲力提供向心力,有則粒子獲得的最大動能

即對于某一粒子,其最大動能取決于D形盒的半徑R及磁感應強度B,與加速電壓無關.當然,最大動能是要靠電場的多次加速才獲得的,因為洛倫茲力永不做功.

問題4 可以同時加速不同粒子嗎?

問題5 粒子的運動時間怎么求?

帶電粒子在回旋加速器中經過多次加速和勻速圓周運動.設粒子在磁場中的加速次數為n,加速電壓為U.因每加速一次粒子獲得的能量為qU,且加速一次就會接著回旋半周,即在每個周期內,帶電粒子兩次進入D形盒的縫隙間被加速兩次.結合Ekm＝故帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的時間

雖然粒子的加速運動與圓周運動是間隔開來的,但只要剔除圓周運動,粒子的加速運動就是一個連續(xù)的勻加速運動了(等效看作同一直線上的加速運動),則粒子在狹縫中經n次加速的總時間由牛頓第二定律有,故電場對粒子加速的時間

換一種思路求兩種時間.

因粒子經n次加速的位移大小為nd,在電場中加速的總時間為而粒子在D形盒中做勻速圓周運動的周期不變,且最后半周的時間則圓周運動的總時間即當R?d時,電場加速時間可以忽略不計,故求粒子在回旋加速器中運動的總時間,通常僅考慮在磁場中的勻速圓周運動時間.

問題6 回旋半徑怎樣變化?

粒子被加速一次所增加的動能為qU,粒子被n次和n＋1次加速后的動能分別為

例11930年勞倫斯制成了世界上第一臺回旋加速器,其原理如圖2所示,這臺加速器由兩個銅質D形盒D1、D2構成,其間留有空隙,下列說法正確的是( ).

A.離子由加速器的中心附近進入加速器

圖2

B.離子由加速器的邊緣進入加速器

C.離子從磁場中獲得能量

D.離子從電場中獲得能量

解析

根據回旋加速器的原理可知,離子由加速器的中心附近進入加速器,A正確,B錯誤;離子從電場中獲得能量,C錯誤,D正確.

點評

題中離子每次加速進入磁場中,軌道半徑會較上半圈變大,如果注入位置在邊緣,則加速一次或幾次就會撞到回旋加速器上.另一方面,只要抓住洛倫茲力永不做功的特點,即可明白離子的動能必然是通過電場加速而來的.值得一提的是,教材中的插圖和“問題與練習”“做一做”“思考與討論”等易忽視之處均可能成為高考命題的素材,應引起大家注意.如教材中給出了回旋加速器工作原理示意圖,細心的同學會注意到圖中粒子注入的位置在加速器中心位置附近.

例2圖3-甲為EarnestO.Lawrence設計的回旋加速器的示意圖.它由兩個鋁制D形金屬扁盒組成,兩個D形盒正中間開有一條狹縫;兩個D形盒處在勻強磁場中并接有高頻交變電壓.圖3-乙為俯視圖,在D形盒上半面中心S處有一正離子源,它發(fā)出的正離子,經狹縫電壓加速后,進入D形盒中.在磁場力的作用下運動半周,再經狹縫電壓加速;為保證粒子每次經過狹縫都被加速,應設法使交變電壓的周期與粒子在狹縫及磁場中運動的周期一致.如此周而復始,最后到達D形盒的邊緣,獲得最大速度后被束流提取裝置提取出.已知正離子的電荷量為q,質量為m,加速時電極間電壓大小恒為U,磁場的磁感應強度為B,D形盒的半徑為R,狹縫之間的距離為d.設正離子從離子源出發(fā)時的初速度為零.

(1)試計算上述正離子從離子源出發(fā)被第一次加速后進入下半盒中運動的軌道半徑.

(2)盡管粒子在狹縫中每次加速的時間很短但也不可忽略.試計算上述正離子在某次加速過程中從離開離子源到第n次被加速結束時所經歷的時間.

(3)不考慮相對論效應,試分析要提高某一離子被半徑為R的回旋加速器加速后的最大動能可采用的措施.

圖3

解析

(1)設正離子經過窄縫被第一次加速后的速度為v1,由動能定理得,正離子在磁場中做勻速圓周運動,半徑為r1,由牛頓第二定律得由以上兩式解得.

(2)設正離子經過窄縫第n次被加速后的速度為vn,由動能定理得粒子在狹縫中經n次加速的總時間由牛頓第二定律得ma,解得電場對粒子加速的時間.

點評

本題中第(1)問很常規(guī),只需采取離子在組合場中運動的處理思路——分段研究,抓住銜接點的速度即可求解,即先根據前文分析,對離子分別列出牛頓運動定律或動能定理,再根據前文分析列出在磁場中運動的半徑方程,然后消去速度便可得出半徑的大小.第(3)問突破難點的關鍵在于抓住最大動能的離子對應半徑應等于D形盒半徑,再由動能表達式求出即可,這也是回旋加速器問題?？嫉囊粋€知識點.而第(2)問可以直接運用問題5的分析方法,即將離子每次在磁場中的時間求出來(為便于找出通項,一般要求出前3次的時間),然后再累加求和.要注意的是,本題要求解的是從離開離子源到第n次被加速結束時所經歷的時間而非最終引出D形盒的時間(第n次加速后,并不一定獲得最大速度).此外,本題強調不可忽略電場中的加速時間,計算總時間時必須考慮.

例3回旋加速器的原理如圖4所示,D1和D2是兩個中空的半徑為R的半圓金屬盒,它們接在電壓一定的交流電源上,位于D1圓心處的粒子源A能不斷產生粒子(初速度可以忽略,重力不計),它們在兩盒之間被電場加速,粒子的比荷為置于與盒面垂直的磁感應強度為B的勻強磁場中.

圖4

試推理說明:粒子在回旋加速器中運動時隨著軌道半徑r的增大,同一盒中相鄰軌道的半徑之差Δr是增大、減小還是不變?

解析

設k(k∈N?)為同一盒子中粒子運動軌道半徑的序數,相鄰的軌道半徑分別為rk,rk＋1(rk＜rk＋1),Δrk＝rk＋1－rk,在相應軌道上粒子對應的速度大小分別為vk,vk＋1,D1、D2之間的電壓為U.

因U、q、m、B均為定值,令由上式得,相鄰軌道半徑rk＋1,rk＋2之差

點評

求解本題的關鍵之處在于找到相鄰軌道的半徑之差Δr的變化規(guī)律,而相鄰軌道的半徑大小又跟粒子的運動速度有關,可以通過研究粒子的加速次數,再根據動能定理求出.因此,我們可以在問題6的基礎上,因洛倫茲力不做功,且每加速一次電場力做功相同,均為qU,由此求出每次進磁場時的初速度,進一步將Δr的通項表示出來,然后利用數學知識判斷Δr的大小變化情況.根據問題6的分析,還可推知相鄰軌道的間距按規(guī)律變化,由此可知,隨著加速次數的增加,相鄰軌道的間距會不斷縮小,而并非等距變化.

圖5

變式同步加速器在粒子物理研究中有重要的應用,其基本原理可簡化為如圖5所示的模型.M、N為兩塊中心開有小孔的平行金屬板,質量為m、電荷量為＋q的粒子A(不計重力)從M板小孔飄入板間,初速度可視為零.每當A進入板間,兩板的電勢差變?yōu)閁,粒子得到加速,當A離開N板時,兩板的電荷量均立即變?yōu)榱?兩板外部存在垂直紙面向里的勻強磁場,A在磁場作用下做半徑為R的圓周運動,R遠大于板間距離.A經電場多次加速,動能不斷增大,為使R保持不變,磁場必須相應地變化.不計粒子加速時間及其做圓周運動產生的電磁輻射,不考慮磁場變化對粒子速度的影響及相對論效應.求:

(1)A運動第1周時磁場的磁感應強度B1的大小;

(2)粒子繞行n周所需總時間tn;

(3)在A運動第n周的時間內電場力做功的平均功率

解析

(1)設A經電場第1次加速后速度為v1,由動能定理得

A在磁場中做勻速圓周運動,所受洛倫茲力充當向心力,有

由式①②得

(2)粒子做半徑為R的勻速圓周運動,每一周所用時間為.

由于每一周速度不同,所以每一周所需時間也不同.

由此可以推知,第n周的速度.

故繞行n周所需總時間

(3)設A經n次加速后的速度為vn,由動能定理得

設粒子做第n次圓周運動的周期為Tn,有

設在A運動第n周的時間內電場力做功為Wn,則

在該段時間內電場力做功的平均功率為

點評

變式題中的加速器模型與常見的回旋加速器的最大區(qū)別在于保障了粒子的回旋半徑不變,這也是解決本題的關鍵之處.兩題情境相似之處是:磁場(洛倫茲力)改變粒子的速度方向,電場(電場力)改變粒子速度.因為不計粒子的加速時間,所以將每周的圓周運動時間加起來即為總時間,這一點與問題5的分析思路相同.從知識結構來看,變式題與原題均考查帶電粒子在復合場中的運動,解決問題需要分段分析電場與磁場中的兩類典型運動,分析電場中的加速運動時仍可以將其等效為連續(xù)的勻加速運動.而變式題中由于R不變,則粒子每周回旋的時間會隨加速次數的增大而減小,因此不能用第一周的時間乘加速次數來求總時間,這也是易錯之處.之所以作如此變化,是給學生一定警示:看到熟悉情境,不進行具體問題具體分析,而只知道硬套照搬規(guī)律結論,就會因思維定式而出錯.將變式題與原題進行對比分析,可以起到拓寬學生視野、破除定式思維的作用.

綜上,分析回旋加速器問題,需要我們掌握其工作原理,理解一些重要特點,靈活運用一些重要推論,抓住分析該類問題的幾個關鍵點:分段處理(方法)、銜接速度(聯系)、周期性.