李嬋

【摘要】直觀想象能力是促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題、探究總結(jié)數(shù)學(xué)結(jié)論和解決實際數(shù)學(xué)問題的重要核心素養(yǎng)。本文結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)，系統(tǒng)分析和反思“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)過程，探究了高中數(shù)學(xué)教學(xué)中提升學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的策略。

【關(guān)鍵詞】信息技術(shù);直觀想象;核心素養(yǎng)

可視化教學(xué)的發(fā)展有效加深了學(xué)生對相關(guān)知識的理解，但在具體的教學(xué)實踐中，可視化教學(xué)受教學(xué)設(shè)備、課件、課時等因素的制約，發(fā)展現(xiàn)狀不容樂觀。同時，有相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生借助“直觀想象”探索問題的意識比較薄弱，難以應(yīng)用直觀的方式有效將抽象、晦澀的概念、公式、定理轉(zhuǎn)化為直觀、生動的圖式，缺乏直觀想象核心素養(yǎng)。因此，結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)，系統(tǒng)分析和反思“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)過程，探究高中數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng)培養(yǎng)策略具有重要的意義。

一、教學(xué)設(shè)計

作為高中階段圓錐曲線之一的雙曲線，對學(xué)生體會坐標(biāo)法的重要應(yīng)用，利用方程討論曲線性質(zhì)，借助直觀圖形培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力具有重要的意義。同時，傳統(tǒng)黑板所展示的軌跡數(shù)量有限，導(dǎo)致學(xué)生難以理解“差的絕對值”“0<2a<2c”等關(guān)鍵因素，無法形成理想的學(xué)習(xí)效果。而借助現(xiàn)代信息技術(shù)，教師可通過多次演示、試驗，有效化解教學(xué)難點，體現(xiàn)教學(xué)重點，其教學(xué)過程設(shè)計如下。

1.創(chuàng)設(shè)情境，感知問題

為了促使學(xué)生在直觀情境中親身經(jīng)歷雙曲線的形成過程，筆者在課前讓學(xué)生提前準(zhǔn)備好拉鏈、紙板和圖釘，并按照如圖1、圖2所示的方法畫出軌跡，即在拉鏈的兩條邊上各取一個點，然后用圖釘將其固定在紙板上，將筆尖放置在點M 處;最后，通過不斷閉合和拉開拉鏈形成一條曲線，要求學(xué)生結(jié)合所畫圖形，得出動點M滿足|MF1|-|MF2|=|F1F2|或者|MF2|-|MF1|=|F1F2|。

在此基礎(chǔ)上，筆者引入本節(jié)課程所學(xué)內(nèi)容，即將上述兩條曲線合起來所形成的曲線就是雙曲線，并借助多媒體呈現(xiàn)出雙曲線型自然通風(fēng)冷卻塔、法拉利主題公園等雙曲線實物模型。接著，為了體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想與方法，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓與雙曲線之間的內(nèi)在聯(lián)系，筆者要求學(xué)生探究以下問題。

如圖3所示，已知圓O的半徑為r，點A為圓內(nèi)的一個定點，點P為圓上的任意一點，若線段AP的垂直平分線交于OP上的點Q，則觀察點Q的軌跡是什么？若點A為圓外的一個定點，則觀察點Q軌跡的變化情況是怎樣的？

2.應(yīng)用圖像表象，理解問題

為了促使學(xué)生完成從初步認(rèn)識到抽象思維的跨越，有效將復(fù)雜的軌跡問題轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^、可感的動態(tài)圖形，筆者要求學(xué)生思考以下問題：（1）對比橢圓定義，你認(rèn)為在描述雙曲線定義中，應(yīng)該注意哪些事項？（2）雙曲線定義中明確規(guī)定0<2a<2c，若2a=2c、2a>2c、2a=0時，試猜想點M的軌跡可能是什么，要求學(xué)生以小組為單位，通過賦值充分驗證自己的猜想，如2a=2c=6.72厘米，如圖4所示，并不斷變化2a、2c的具體數(shù)值，總結(jié)歸納出如下探究結(jié)果。

當(dāng)2a=2c時，則點M的軌跡為兩射線;

當(dāng)2a>2c時，則點M的軌跡不存在;

當(dāng)2a<2c時，則點M的軌跡為雙曲線;

當(dāng)2a=0時，則點M的軌跡為線段垂直平分線。

3.利用動態(tài)圖形，分析問題

為了力求雙曲線方程的表達(dá)形式更加簡潔明了，促使學(xué)生認(rèn)真琢磨坐標(biāo)系的位置特點，筆者要求學(xué)生借助計算機(jī)，隨意拖動點P的位置，觀察PF1-PF2的絕對值數(shù)值是否發(fā)生變化;同時，類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程建立過程，按照建系、設(shè)點、列式、化簡的步驟，探究雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。此外，為了強(qiáng)化所學(xué)知識，借助圖形直觀探究問題解決的思路，筆者設(shè)計了如下探究題目，要求學(xué)生自己分析。

已知方程x2+ky2=4+k（k∈R），試求該方程所表示的曲線。

4.建立數(shù)學(xué)模型，解決問題

為了有效將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，提高學(xué)生應(yīng)用圖形和空間想象思考問題的水平，筆者要求學(xué)生在解決如下問題的過程中利用數(shù)學(xué)模型從多個角度對問題進(jìn)行探究。

例如，如圖5所示，已知梯形ABCD，|MF2|=2|CD|，，某一雙曲線以A、B為焦點，并且雙曲線經(jīng)過點C、D、E三點，試求當(dāng)時，則該雙曲線離心率e的取值范圍。

二、教學(xué)反思

基于以上分析，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)能夠促進(jìn)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解和記憶。

1.在情境創(chuàng)設(shè)中感知數(shù)學(xué)問題

數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生于數(shù)學(xué)情境。在信息技術(shù)下的高中數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng)情境創(chuàng)設(shè)中，教師可創(chuàng)設(shè)圖形直觀情境，通過一些簡潔明了的圖形表征，刺激學(xué)生對問題的突出要素進(jìn)行感知，并且圖形直觀情境還舍去了與問題本質(zhì)無關(guān)的屬性，有效減少了學(xué)生認(rèn)知時的記憶負(fù)荷。同時，數(shù)學(xué)理解的發(fā)生都始于具體的數(shù)學(xué)探究活動。在學(xué)生遇到一些抽象的問題時，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)操作活動情境，促使學(xué)生通過實驗、動手操作、探究分析、合作交流等方式，操作和修正自己制作的模型來探究問題。

2.在應(yīng)用圖形表象中理解數(shù)學(xué)問題

教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生尋找表象之間的共性和區(qū)別，對零散表象進(jìn)行分析歸類和精加工，及時引導(dǎo)學(xué)生借助淺層表象理解抽象的問題和概念。僅僅通過淺層表象理解問題的內(nèi)涵是不夠的，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行延伸和拓展，尋求該問題與其他問題之間的關(guān)系。由于傳統(tǒng)教學(xué)中無法呈現(xiàn)復(fù)雜的圖形與圖形轉(zhuǎn)換的過程，為了促使學(xué)生了解深層表象，教師應(yīng)及時引入信息技術(shù)，幫助學(xué)生完成構(gòu)建淺層表象之間的聯(lián)系，促使學(xué)生借助直觀化的深層表象圖形理解問題之間的關(guān)系。此外，學(xué)生還可以通過操作圖形表象理解問題內(nèi)部結(jié)構(gòu)。在具體教學(xué)過程中，教師還應(yīng)應(yīng)用信息技術(shù)，通過軟件所攜帶的度量距離、標(biāo)記向量、移動、旋轉(zhuǎn)、改變參數(shù)等功能，觀察隨之改變的其他量，幫助學(xué)生進(jìn)一步激活、聯(lián)想與轉(zhuǎn)換表象內(nèi)部元素，多角度理解所呈現(xiàn)的問題。

3.利用動態(tài)圖形分析數(shù)學(xué)問題

教師應(yīng)借助動態(tài)圖形，讓學(xué)生能夠看到關(guān)鍵元素變化時，其他因素如何變化，從而使學(xué)生在“變”中知“不變”，對相關(guān)問題描述得更加精確，更清晰地認(rèn)識到問題的歸類。同時，為了尋找本質(zhì)概括規(guī)律，啟發(fā)學(xué)生對問題的本質(zhì)進(jìn)行描述，教師應(yīng)借助動態(tài)圖形，將若干問題同時呈現(xiàn)在一個圖形中，在“動”中覓“定”，從而促使學(xué)生理解所呈現(xiàn)問題之間內(nèi)在的聯(lián)系法則。

4.應(yīng)用模型解決數(shù)學(xué)問題

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)問題的載體。在數(shù)學(xué)教學(xué)中借助數(shù)學(xué)模型解決問題，能夠?qū)?fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，將所要研究的問題直接以數(shù)學(xué)圖形的方式呈現(xiàn)出來，從而有效提高學(xué)生運用圖形和空間想象思索問題的水平。因此，教師應(yīng)通過建立幾何模型、實物模型，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，或?qū)┈嵉倪\算過程轉(zhuǎn)化為實際的操作活動，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生從幾何的角度或者是對模型直接實驗，有效解決數(shù)學(xué)問題。

總之，隨著可視化教學(xué)的發(fā)展，教師應(yīng)充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)，將傳統(tǒng)解題方式和圖形相結(jié)合，促使學(xué)生對繁雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行感知、理解、分析和總結(jié)。只有這樣，才能將復(fù)雜的問題簡單化、抽象的問題具體化，有效提高學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

邵冰.借力信息技術(shù)發(fā)展直觀想象素養(yǎng)的實踐與思考[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（09）：10-13.

施慧麗.培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的教學(xué)研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（09）：82-83.

孫丹.基于高中生直觀想象素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)策略[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（18）：70-71.