浙江省義烏市實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán) 楊凱明

算法和算理是數(shù)學(xué)教學(xué)中相輔相成的兩個(gè)部分，算理的主要表現(xiàn)方式包括以下四種：運(yùn)算的意義、十進(jìn)制與位置值思想、運(yùn)算的性質(zhì)和定律以及運(yùn)算之間的互逆關(guān)系。下面以北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)第七單元《加與減》中有關(guān)于“20以內(nèi)進(jìn)位加法”這一教學(xué)內(nèi)容為例展開具體的探究。

一、“理解算理”的測(cè)試維度與樣例說明

教師可以通過各種數(shù)學(xué)計(jì)算題型的應(yīng)用，進(jìn)一步了解學(xué)生的解題思路，并根據(jù)學(xué)生對(duì)于算法理解水平的不同，可以從“算理表述的正確性、算理表征的層次性、算理遷移的通用性”這三個(gè)方面對(duì)學(xué)生的算理理解展開測(cè)評(píng)。

1.“算理表述的正確性”檢測(cè)樣例與水平劃分。算法表述正確性更多地體現(xiàn)在圖示的一致性方面，教師要使學(xué)生基于算法算理選擇圖示，達(dá)到檢測(cè)學(xué)生算法算理一致性的目的?！?0以內(nèi)進(jìn)位加法”其中涉及的算法主要是通過框架的方式將算法的整個(gè)過程呈現(xiàn)出來的，但是算理確實(shí)更多地依賴于直觀圖示，或者運(yùn)用文字的方式將背后所蘊(yùn)含的道理展示出來。例如，在8+9這道習(xí)題的運(yùn)算中，主要可以以兩種拆分湊十的方式來實(shí)現(xiàn)，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于湊十法背后的十進(jìn)制原理進(jìn)行更深的理解。

以8+9 這一運(yùn)算習(xí)題為例，通過該道習(xí)題可以將學(xué)生對(duì)算法的理解水平分出一定的層次，具體內(nèi)容如下所示：

對(duì)于這道習(xí)題而言，主要可以將學(xué)生的算理理解水平分為三個(gè)層次：層次一：學(xué)生空著沒有做這道習(xí)題；層次二：學(xué)生選擇B選項(xiàng)，具有一定的根據(jù)框架式湊十的意識(shí)；層次三：學(xué)生選擇A選項(xiàng)，則代表學(xué)生能夠正確理解框架式和點(diǎn)子圖。

2.“算理表征的層次性”檢測(cè)樣例與水平劃分。算理表征的層次化即采用不同種類的物化材料，實(shí)現(xiàn)學(xué)生算理表征的檢測(cè)，包括文字、圖形。一般而言，算理表征的差異性，也直接反映出學(xué)生對(duì)于算理的理解水平。

以9+4這道計(jì)算題為例，學(xué)生展開算理表征檢測(cè)，根據(jù)9+4的計(jì)算過程，通過畫一畫、圈一圈的方式，將自身的解題思路充分展開出來。在這一過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將自己的計(jì)算過程展現(xiàn)出來，還原算式，達(dá)到逆向、順向監(jiān)測(cè)的目的，從而劃分學(xué)生對(duì)于湊十法原理的理解水平。

順向檢測(cè)試題算理表征層次劃分如下所示：

層次一：學(xué)生空著沒有畫，或者是個(gè)數(shù)畫錯(cuò)；層次二：學(xué)生畫出了實(shí)物圖，比如說氣球、花朵等等；層次三：學(xué)生畫出了點(diǎn)子圖、小棒圖。

逆向檢測(cè)試題算理表征層次劃分如下所示：

層次一：學(xué)生沒有作答，或者作答出現(xiàn)錯(cuò)誤；層次二：學(xué)生選擇的答案為①②④⑥；層次三：學(xué)生選擇的答案為①②④⑥⑦。

3.“算理遷移的通用性”檢測(cè)樣例與水平劃分。算理遷移的通用性，即借助未學(xué)先試加以考查檢測(cè)的，所考查的內(nèi)容為學(xué)生是否具備將算理遷移到之后數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)和理解中，幫助教師更加準(zhǔn)確地掌握學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解程度?！?0以內(nèi)進(jìn)位加法”教學(xué)之后的下一章節(jié)內(nèi)容是“兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位算法”，這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的算理都為十進(jìn)制，因此教師在實(shí)際算理遷移通用性的檢測(cè)中，可以模仿9+4這道習(xí)題展開改變，例如：將19+4這道習(xí)題的計(jì)算過程通過畫一畫、圈一圈的方式表達(dá)出來，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生算法遷移通用型水平的考查。

19+4這道習(xí)題算理遷移通用性水平劃分如下所示：

層次一：學(xué)生空著沒畫，或者是畫錯(cuò)；層次二：學(xué)生正確畫出了實(shí)物圖；層次三：學(xué)生繪制了點(diǎn)子圖、小棒圖，展現(xiàn)出了十進(jìn)制位值制算法原理。

二、“20以內(nèi)進(jìn)位加法”理解算理水平區(qū)域調(diào)查分析

通過對(duì)近1200名小學(xué)生的“20以內(nèi)進(jìn)位加法”理解算理水平區(qū)域調(diào)查，筆者總結(jié)出來學(xué)生的算理能力水平特點(diǎn)如下：其一，算理表征表述的正確性總體相對(duì)較差，且城鄉(xiāng)學(xué)生差距較低；其二，算理表征層次性的總體水平相對(duì)較低，其中順向表征能力高于逆向能力；最后，算理遷移通用性與算理表征層次性緊密相關(guān)。

1.算理表征的層次性不明顯，材料缺乏結(jié)構(gòu)性。根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計(jì)調(diào)查顯示，針對(duì)算理表征物化手段而言，選擇蘋果、花朵等實(shí)物圖的學(xué)生占60%左右，而選擇點(diǎn)子圖的學(xué)生則占了30%，選擇小棒圖的學(xué)生只有5%左右。此外，還有5%左右的學(xué)生采用的是文字、算式的方式完成。其中一所農(nóng)村小學(xué)的所有學(xué)生都采用了蘋果來完成算法表征的物化。

算理表征物化材料包括點(diǎn)子圖、小棒圖以及實(shí)物圖，而其中點(diǎn)子圖和小棒圖、實(shí)物圖歸類于齊性材料，計(jì)數(shù)器、數(shù)位筒則歸類于結(jié)構(gòu)性材料。實(shí)際的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，在“20以內(nèi)進(jìn)位加法”這一內(nèi)容的教學(xué)過程中，教師更多采用整齊性材料，表征方式呈現(xiàn)單一化的特點(diǎn)。此時(shí)，教師應(yīng)該加以適當(dāng)?shù)恼{(diào)整和改善，即選擇結(jié)構(gòu)性的材料，使學(xué)生對(duì)于十進(jìn)制位值制能夠有更早一點(diǎn)的認(rèn)識(shí)。

最后，教師也需要注意算理的表征，除了要注重層次性，也應(yīng)該重視逆向、順向表征的融會(huì)貫通，促進(jìn)學(xué)生對(duì)于算理更深層次的理解。

2.算理點(diǎn)狀教學(xué)，導(dǎo)致算理遷移的通用性水平較低?！?0以內(nèi)進(jìn)位加法”所涵蓋的關(guān)鍵算理為十進(jìn)制位值制，也正是基于這一算理之上，才誕生了湊十法。對(duì)于9+4這道計(jì)算題的表征算理的過程，更多的學(xué)生僅僅只是通過點(diǎn)數(shù)計(jì)算出結(jié)構(gòu)，或者是直接基于運(yùn)算意義的角度之上繪制出9+4的含義，卻沒有體現(xiàn)十進(jìn)制思想，直接造成該部分內(nèi)容的教學(xué)中十進(jìn)制思想教學(xué)的缺失，進(jìn)而導(dǎo)致在計(jì)算19+4這道計(jì)算題中，學(xué)生也沒有意識(shí)到圈十的含義和重要性。分析學(xué)生的畫畫作品可以看出，很多教師在教學(xué)中沒有意識(shí)到整體性思想的重要性，算理的點(diǎn)狀教學(xué)是導(dǎo)致算理遷移的通用性水平低的主要原因。

“20以內(nèi)進(jìn)位加法”這一部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)過程中，盡管教學(xué)重點(diǎn)不是位值制思想，但是位值制思想在教學(xué)過程中的滲透對(duì)于學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要的作用和意義。在實(shí)際教學(xué)中，教師主要可以通過直觀圖、計(jì)數(shù)器這種簡(jiǎn)單的方式直接滲透位值制思想即可。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)以及對(duì)學(xué)生測(cè)評(píng)中，教師需要將算理作為主要的教學(xué)內(nèi)容，加深學(xué)生對(duì)算理的理解，并通過算理表述的正確性、層次性以及遷移性三個(gè)方面的策略，使學(xué)生對(duì)算理的理解更為顯性，這對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的提高而言有較大的幫助。