王亞娜，江文輝，王桐遠，李延來

(西南交通大學 交通運輸與物流學院，四川 成都 611756)

0 引言

二十一世紀以來，隨著科技和電子商務的迅速發(fā)展，在產品種類、質量、款式呈爆發(fā)式增長的同時，消費者對產品的需求也愈加多元化，例如手機零售商通常會出售華為、蘋果、vivo、oppo等不同品牌的手機；對于同一個品牌的手機，零售商也會提供不同的內存、CPU、顏色、尺寸等一系列差異化產品來滿足消費者的個性化需求。然而，零售商很難提供所有的細分產品給不同的消費者，因此對零售商而言，在滿足貨架空間、產品組合規(guī)模、資金投入等限制因素的前提下，如何從上游供應商提供的眾多差異化產品中選擇恰當的產品組合(product assortment)，并以恰當的價格銷售給異質消費者以獲得最大利潤，成為亟需解決的問題[1]。

本文研究主要涉及垂直差異產品和品類規(guī)劃。到目前為止，已有大量文獻對垂直差異產品的產品線設計和定價進行了深入研究。Mussa等[2]首次提出垂直差異產品的效用函數和成本函數；Hua等[3]將其拓展到供應鏈情境下，以兩種垂直差異產品為對象分析了集中/分散渠道對制造商產品設計的影響；Wang等[4]研究了需求依賴于價格、質量和顧客忠誠度時兩個制造商的質量和價格競爭；Chen等[5]研究了雙渠道結構對制造商的產品質量和價格的影響；周建亨等[6]在考慮產品體驗的基礎上研究了雙渠道供應鏈下的產品價格和質量決策；Chen等[7]分析了高質量制造商拓展低質量產品線的最優(yōu)性條件；Chen 等[8]研究了柔性制造商的最優(yōu)產品線、價格及生產排程的聯(lián)合決策問題；趙菊等[9]在考慮策略型消費者的基礎上，研究了垂直化差異產品的推出策略。

品類規(guī)劃研究零售商在滿足運營約束的前提下，如何從給定的產品集合中選擇一個子集銷售給異質消費者以獲得最大利潤[10]。Ryzin等[11]應用多項Logit模型(Multi-Nomial Logit model，MNL)刻畫消費者選擇行為，研究了最優(yōu)產品組合及庫存聯(lián)合決策問題，結果表明最優(yōu)產品組合包含前k個最受歡迎的產品；隨后，Gaur等[12]采用區(qū)位選擇模型(locational choice model)刻畫顧客的選擇行為，得到與文獻[11]不同的結論，即最優(yōu)產品組合不一定包含最受歡迎的產品；Li[13]對文獻[11]進行拓展，分析了顧客到達分布對最優(yōu)產品組合的影響；Wang等[14]分析了網絡外部性對最優(yōu)產品組合的影響。上述文獻均假設價格為外生變量，重點研究零售商的產品組合選擇與庫存控制問題。然而，現實中的零售商常常需要決策產品的零售價格，因此一些學者開始關注產品的品類優(yōu)化、定價及庫存控制的聯(lián)合決策問題。Maddah等[15]研究發(fā)現，最優(yōu)產品組合包含前k個保留價格最高的產品，當顧客到達人數趨于無窮大時，最優(yōu)產品組合中產品的邊際收益相等；Maddah等[16]考慮需求的不確定性，用泰勒展開的方法對上述研究進行拓展，結果表明當需求不確定時，最優(yōu)價格為客流量的非單調函數；Ilkyeong等[17]在考慮貨架空間約束的基礎上，構建了解決該問題的混合整數規(guī)劃模型，并設計了混合遺傳算法進行求解；Katsifou等[18]從增加顧客忠誠度的角度出發(fā)研究該問題，結果表明，若產品組合中包含邊際收益較低的特殊產品，則可吸引更多顧客，從而增加標準產品的銷售量和零售商利潤。另外，文獻[19-22]研究了產品組合為外生變量時的庫存控制或定價問題。

通過分析現有文獻可知：①垂直差異產品的研究均從制造商的角度出發(fā)分析制造商的最優(yōu)產品線和價格決策，該視角下的產品質量為連續(xù)型變量，然而對零售商而言，產品質量為一系列離散變量；②品類規(guī)劃的研究均以水平差異產品為研究對象，然而從產品差異化角度來看，產品不僅存在款式、顏色、口味等水平差異，還存在如CPU、內存等產品特性的垂直差異。Pan等[23]以垂直差異產品為對象，研究了需求確定情形下價格分別為內生和外生變量時零售商的最優(yōu)決策；Matta等[24]將其拓展到供應鏈情境下，研究零售商資源約束、渠道結構對上游供應商最優(yōu)產品組合和批發(fā)價格的影響。

雖然上述研究為零售商解決需求確定情形下垂直差異化產品的品類優(yōu)化和定價問題提供了一定的參考，但是針對需求不確定情形下零售商的最優(yōu)產品組合選擇、定價和庫存控制問題，尚未有學者對此進行深入的探討。鑒于此，本文將同時探討需求確定和不確定環(huán)境下零售商的垂直差異化產品的產品組合、價格及庫存的綜合優(yōu)化問題。首先，采用消費者效用最大化理論構建顧客選擇模型，進而構建產品需求模型；其次，分別研究需求確定和不確定兩種情況下最優(yōu)產品組合和價格需滿足的性質，根據最優(yōu)產品組合的性質分別設計了兩種需求情形下的尋求最優(yōu)產品組合、價格及庫存的啟發(fā)式算法，并通過數值分析驗證本文模型和算法的可行性與有效性；最后，通過靈敏度分析探查顧客到達人數和需求變異系數對最優(yōu)產品組合、最優(yōu)價格和最優(yōu)庫存的影響。

1 基本假設與符號說明

基于上述符號說明，本文對垂直差異產品的產品組合、價格與庫存聯(lián)合決策問題做如下假設：

(1)銷售周期內不考慮補貨情形。

(2)不考慮缺貨替代，當顧客偏好的產品缺貨時造成缺貨損失。

(3)未銷售產品的期末殘值為0。

(4)每位顧客最多購買一個產品，且顧客之間的選擇相互獨立。

(5)顧客可獲知零售商的產品組合信息，但不可獲知當前產品組合的庫存信息。

(7)產品質量、成本和顧客到達人數均為外生變量。

2 模型構建

2.1 顧客選擇模型

(1)

2.2 顧客需求模型

pr(Dlj(p)=d)=

(2)

式中pr(T=D)為客流量T的分布函數。根據式(2)，對于任意給定的客流量分布函數，準確推出Dlj(p)的分布函數存在一定困難。Smith等[20]指出，當T服從幾個特殊分布時，能夠準確推出lj產品的需求分布函數：當T服從泊松分布時，Dlj(p)服從均值為λαlj(p)的泊松分布；當T服從負二項分布式時，Dlj(p)也服從負二項分布。因此，本文假設顧客到達人數服從均值為λ的泊松分布。當客流量服從離散型分布時，會使庫存和價格聯(lián)合決策模型變?yōu)閺碗s的非線性整數規(guī)劃問題，用連續(xù)型分布近似離散型分布可以減小問題的復雜度[25]。Li[13]在其研究中表明，當平均顧客到達人數大于10時，正態(tài)分布可以較好地近似泊松分布。因此，本文假設lj產品的需求服從均值為λαlj(p)、標準差為(λαlj(p))β的正態(tài)分布，可知需求變異系數為(λαlj(p))β-1，即需求標準差、變異系數均為價格的函數?；诖耍x

Dlj(p)=glj(p)+flj(p)εlj。

(3)

式中：glj(p)=λαlj(p)；flj(p)=(λαlj(p))β，0≤β<1；εlj為隨機變量，服從標準正態(tài)分布。

3 零售商決策分析

本章研究需求確定時零售商的最優(yōu)產品組合及價格策略，在證明最優(yōu)價格存在且唯一的基礎上進一步推出最優(yōu)產品組合的屬性；研究需求不確定時的最優(yōu)產品組合、價格及庫存決策，證明兩種不同需求情形下最優(yōu)產品組合間的關系。

3.1 需求確定時零售商的決策分析

假設零售商不但可以獲知消費者感知價值分布函數，而且能夠清楚地洞悉每位消費者的質量敏感度，則lj產品的需求量Dlj(p)=λαlj(p)，庫存為外生變量。此時，零售商需解決產品組合和價格聯(lián)合決策問題(P1)如下：

P1ΠD(S,p,λ)=

(4)

s.t.

(5)

當顧客需求確定時，對于任意給定的產品組合S，零售商的最優(yōu)價格滿足以下定理：

(6)

(7)

(8)

?

(9)

定理1表明，當需求確定時，零售商的期望利潤是產品銷售價格的凹函數。對于任意給定的產品組合，存在唯一最優(yōu)解使零售商的利潤最大化；同時，零售商的最優(yōu)銷售價格是關于自身質量和成本的增函數，且與產品組合內其他產品的銷售價格無關。因此，零售商在需求確定情形下進行價格決策時，只需考慮產品自身的質量和成本。下面研究最優(yōu)產品組合需要滿足的條件。

證明

③采用反證法，令h為滿足plh-clh

與原命題矛盾，因此pl1-cl1≥pl2-cl2≥…≥plk-clk。

由推論1中條件①和②可知，最優(yōu)產品組合中的產品價格和價格質量比是關于質量的增函數；根據推論1中條件③可知，最優(yōu)產品組合中產品的邊際收益是質量的非減函數，即高質量產品擁有更高的邊際收益，因此一部分零售商只向消費者提供高端產品；上述推論中條件④表明最優(yōu)產品組合中產品的成本為質量的凸增函數，這是因為高質量產品需要更多的研發(fā)和制造成本。因此，零售商進行價格決策時，應滿足下述條件：高質量產品的單位質量價格高于低質量產品的單位質量價格，且高質量產品的邊際收益大于低質量產品的邊際收益。

3.2 需求不確定時零售商的決策分析

當市場處于不完全信息狀態(tài)下時，零售商無法獲知每位顧客的質量敏感度信息，lj產品的需求量Dlj(p)=λαlj(p)+(λαlj(p))βεlj，零售商需決策其庫存水平y(tǒng)以適應需求的變動，令lj產品的庫存量為ylj，則零售商的最優(yōu)產品組合、價格及庫存聯(lián)合決策問題(P2)如下：

P2

Π(S,p,y,λ)=

(10)

(11)

根據需求服從正態(tài)分布的經典報童模型[11]，lj產品的庫存量為

ylj(p)=λαlj(p)+zlj(λαlj(p))β。

(12)

令S*為最優(yōu)產品組合，S*?Ω，對應的最優(yōu)價格為p*，最優(yōu)庫存量為y*。根據式(12)，給定價格p，可以求出對應的庫存y，即產品的最優(yōu)銷售價格確定時，最優(yōu)庫存量隨之確定。因此，最優(yōu)產品組合、價格和庫存聯(lián)合決策問題可以重述為最優(yōu)產品組合與價格的聯(lián)合決策問題(P3)：

P3Π(S,p,λ)=

(13)

(14)

顧客需求不確定時，零售商的最優(yōu)價格滿足以下條件：

定理2令需求不確定時的最優(yōu)產品組合為S*，S*={l1,l2,…,li,li+1,…,lm}，則最優(yōu)產品組合中產品的價格滿足以下條件：

(15)

證明方法同定理1，不再贅述。

當需求確定時，產品的最優(yōu)銷售價格是關于自身質量和成本的函數；當需求不確定時，產品的最優(yōu)銷售價格還受產品組合內其他產品價格和質量的影響，這與消費者在購買產品時對比同類型其他產品的質量和價格的選擇行為相符。另外，最優(yōu)價格還受顧客到達人數的影響，解釋了同一質量產品在客流量較大的沃爾瑪和客流量較小的街區(qū)便利店具有不同銷售價格這一現象的合理性。因此，當需求不確定時，零售商在制定其價格策略時不僅需要考慮產品自身的質量和成本，還必須兼顧其他同類型不同質量產品的價格和店鋪客流量。

定理3需求不確定時零售商的最優(yōu)利潤Π*(S,p,λ)在p*處是cli和cli/qli的減函數。

綜上所述，Π*(S,p,λ)在p*處是cli/qli的減函數。

根據定理3，零售商通過降低產品組合內產品的成本或者成本質量比可以增加其收益。

因此，

對Π(S,p,λ)求關于plj的偏導數，得

(16)

對式(16)求關于λ的偏導數，得

因此，

定理2說明產品組合內產品的最優(yōu)價格受顧客到達人數的影響，推論3進一步探討了兩者之間的關系。根據推論3，產品的最優(yōu)價格為顧客到達人數的非單調函數，原因是需求為價格和顧客達到人數的函數，且服從均值為λαlj(p)、標準差為(λαlj(p))β的正態(tài)分布。當顧客人數增加時，需求函數的標準差和變異系數將隨之發(fā)生變化，價格也隨之相應地變化，再次說明零售商根據其店鋪客流量及時調整價格策略的重要性。在現實生活中存在眾多價格隨客流量波動的案例，例如，滴滴剛進入市場時，采取低價、價格補貼等策略，迅速吸引了大量用戶。隨著用戶數量的增加，滴滴逐漸提高了單位里程價格，同時不定期發(fā)送優(yōu)惠券至顧客賬戶刺激消費。Luckin咖啡、青桔單車等也采取了類似的策略來提升銷售量。

4 算法設計

假設上游供應商向零售商提供N種垂直化差異產品，則零售商需從(2N-1)種產品組合中決策其最優(yōu)產品組合。Pan等[23]、Hübner等[31-32]、Rusmevichientong等[33]指出，產品組合問題為NP難題，如果采用窮舉法進行決策，則當N很大時，將會消耗大量的計算時間，因此基于推論1，本文設計了凸增包絡算法，以篩選出滿足最優(yōu)產品組合性質的產品。

根據定理1，當需求確定時，產品的最優(yōu)價格為自身質量和成本的函數；當最優(yōu)產品組合確定時，產品的最優(yōu)價格隨之確定，具體求解步驟如下：

步驟3循環(huán)步驟2直至i=n。

當需求不確定時，零售商的最優(yōu)決策問題為帶約束條件的非線性優(yōu)化問題。為此，本文引入罰函數，將其轉化為不帶約束的非線性優(yōu)化問題。根據定理2，產品的價格不僅與自身的質量和成本有關，還受顧客到達人數、其他產品質量和價格的影響，傳統(tǒng)的數學方法將很難求出最優(yōu)價格。根據模型特點，本文設計了基于凸增包絡算法和模擬退火算法的啟發(fā)式算法，以尋找最優(yōu)產品組合、價格和庫存量。具體求解步驟如下：

步驟6判斷擾動后的增量ΔF(p)，若ΔF(p)>0，則接受新解，否則按照Metropolis準則接受劣解。

步驟7更新溫度，令T=Tω。

步驟12輸出最優(yōu)產品組合S*，p*，y*。

5 算例分析

本章以某零售商為例，分析確定型需求和不確定型需求兩種情況下零售商的最優(yōu)產品組合、價格和庫存策略，驗證上述相關結論的正確性和算法的有效性；并進行靈敏度分析，研究顧客到達人數、需求變異系數對最優(yōu)產品組合、價格和庫存量的影響。

5.1 算例求解

5.2 靈敏度分析

5.2.1λ對最優(yōu)產品組合利潤及其價格的影響

本節(jié)探討兩種不同需求情況下顧客到達人數對零售商最優(yōu)價格及其利潤的影響，結果如表1所示。

表1 顧客到達人數與零售商最優(yōu)價格和期望利潤的關系

由表1可知，當需求確定時，隨著λ的增加，零售商的最優(yōu)銷售價格保持不變，利潤不斷增加，說明需求確定時最優(yōu)價格與顧客到達人數無關，與定理1的結論一致；當需求不確定時，零售商的期望利潤為λ的增函數，而最優(yōu)價格為顧客到達人數的非單調函數。原因是：本文中的需求是關于價格和顧客到達人數的函數，且服從均值為λαlj(p)、標準差為(λαlj(p))β的正態(tài)分布，當λ增加時，需求的標準差、變異系數將隨之發(fā)生變化，零售商的價格也隨之相應地變化。因此，零售商在需求不確定情形下決策最優(yōu)銷售價格時，不僅要考慮產品質量、成本等與產品本身相關的屬性，還要考慮店鋪客流量，與定理2和推論3的結論一致。

圖4所示為λ對零售商利潤的影響。由圖4可知，需求不確定時零售商利潤始終小于需求確定時零售商的利潤，這是因為需求的不確定性增加了庫存成本，削弱了零售商的獲利能力。當顧客到達人數從10增加到400時，兩種需求模型間的利潤差從100.91%減小到7.45%，說明增加客流量能夠從一定程度上減小需求不確定性帶來的風險。

5.2.2 需求變異系數對最優(yōu)產品組合和利潤的影響

根據式(3)可知需求變異系數為β的增函數，因此通過研究β對最優(yōu)產品組合和利潤的影響，即可獲知需求變異系數對最優(yōu)產品組合和利潤的影響。β與最優(yōu)產品組合和零售商期望利潤的關系如表2所示。

表2 β與最優(yōu)產品組合和零售商期望利潤的關系

由表2可知，當β從0.1增加到0.7時，最優(yōu)產品組合均為{1,3}，對應的零售商利潤從2 505.68減少到1 648.56；當β為0.8和0.9時，最優(yōu)產品組合均為{3}，零售商的利潤分別為1 389.08和1 117.40。因此，隨著產品需求不確定的增加，零售商利潤不斷降低，最優(yōu)產品組合規(guī)模減小。由上述分析可知，雖然產品1的邊際收益大于產品3，但是當市場需求高度不確定時，零售商并未選擇銷售邊際收益較高的產品1，而是提供邊際收益較低的產品3。這是因為產品1的成本高于產品3，而且產品1的單位滯銷成本高于邊際收益，而產品3的單位滯銷成本低于邊際收益，所以當市場需求高度不確定時，零售商會選擇成本較低的產品，以減小需求不確定性帶來的損失。以銷售旅游紀念品的零售商為例，受季節(jié)、假期等因素影響，其產品需求具有較高的變異系數，因此多數零售商向游客提供質量較低的產品。另外，表2說明對于任意產品組合，零售商的利潤是β的減函數。圖5所示為產品組合為{1.5}時β與利潤之間的關系。

由圖5可知，當迭代次數超過500時，零售商的利潤基本保持不變，說明算法的收斂速度基本不受需求變異系數的影響，因此本文設計的算法具有較好的穩(wěn)定性。另外，圖5說明隨著β的增加，零售商利潤降低了66.08%，根據式(3)可知，需求變異系數是關于β的增函數。因此，零售商的期望利潤是需求變異系數的減函數，說明需求不確定性增加將削弱零售商的獲利能力。

5.2.3 需求變異系數對最優(yōu)庫存量的影響

本節(jié)研究需求變異系數對零售商最優(yōu)庫存量的影響，研究結果如圖6所示。

由圖6可知，當β≤0.7時，零售商向消費者出售產品1和產品3。隨著β的增加，產品1的最優(yōu)訂貨量呈下降趨勢，產品3的最優(yōu)訂貨量雖出現一定程度的波動，但整體上仍然呈上升趨勢。其原因為：當訂貨量小于需求量時，產品1和產品3的最大邊際缺貨成本分別為106和57.62；當訂貨量大于需求量時，產品1和產品3帶來的最大損失分別為204和40.8。與產品3相比，產品1雖然具有較強的獲利性，但是風險成本較高(風險成本高于邊際收益)。當需求的不確定性增加時，零售商減少產品1的供應量以避免庫存過多造成損失，同時增加產品3的供應量以減少缺貨導致的損失。當β>0.7時，零售商僅提供產品3，產品3的最優(yōu)訂貨量為β的減函數。綜上所述，當產品組合中的產品數量大于1時，隨著需求變異系數的增加，零售商在降低高質量產品庫存量的同時增加低質量產品的供應量；當最優(yōu)產品組合中僅存在一種產品時，隨著需求變異系數的增加，產品的最優(yōu)訂貨量不斷降低。

6 結束語

本文基于消費者效用最大化理論和報童模型，分別構建了確定型需求和不確定型需求的最優(yōu)產品組合、價格及庫存聯(lián)合決策模型，研究了顧客到達人數、需求變異系數對最優(yōu)產品組合、最優(yōu)價格及庫存量的影響。研究結果表明：

(1)需求不確定時的最優(yōu)產品組合是需求確定時最優(yōu)產品組合的子集，當需求不確定時，最優(yōu)產品組合的規(guī)模與需求變異系數成反比。

(2)兩種不同需求模型下，零售商的利潤均為顧客到達人數的增函數，而且確定型需求的期望利潤始終高于不確定型需求的利潤，但兩者之間的差距隨顧客到達人數的增加而減小。然而，當需求確定時，最優(yōu)價格與產品自身成本和質量成正比，與顧客到達人數相互獨立；當需求不確定時，零售商的最優(yōu)價格是關于產品自身成本、質量、產品組合內其他產品價格以及顧客到達人數的函數。

(3)當需求不確定時，零售商的利潤是需求變異系數的減函數，而最優(yōu)庫存量為需求變異系數的非單調函數：當|S*|≥2時，隨著需求變異系數的增加，高質量產品的庫存量整體上呈下降趨勢，低質量產品的庫存量整體上呈上升趨勢；當|S*|=1時，最優(yōu)庫存量與需求變異系數成反比。

因此，本文結論對零售商的最優(yōu)產品組合選擇、定價及庫存管理具有一定指導意義。

本文研究了兩種不同需求情形下垂直差異產品的最優(yōu)產品組合、價格及庫存聯(lián)合決策問題，沒有考慮產品的橫向差異對零售商最優(yōu)決策的影響。因此，研究垂直差異和水平差異共存時消費者選擇行為及零售商最優(yōu)決策是未來的研究方向。