彭先龍，韓飛燕，喬心州，王 星，寇發(fā)榮

(西安科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，陜西 西安 710054)

0 引言

面齒輪傳動(dòng)是一種角度傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，在某些應(yīng)用場合具有明顯優(yōu)勢。由于斜齒面齒輪傳動(dòng)承載能力高于直齒面齒輪傳動(dòng)，國外計(jì)劃在直升機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)中應(yīng)用斜齒面齒輪傳動(dòng)[1]。為了將接觸印痕限制在局部，展成斜齒面齒輪的假想插齒刀一般比小輪多1～3個(gè)齒，為進(jìn)一步提高嚙合性能，特別是減輕導(dǎo)致齒輪產(chǎn)生早期失效重要因素之一的邊緣接觸，需要對(duì)齒面進(jìn)行齒廓、齒向雙鼓形修形[2]。該方法須反復(fù)采用齒面接觸分析(Tooth Contact Analysis, TCA)驗(yàn)證不同修形參數(shù)對(duì)嚙合性能改善的效果，是典型的被動(dòng)修形方法[3]。然而，采用這種方法設(shè)計(jì)復(fù)雜修形齒面存在一定困難，例如無法進(jìn)行高階傳動(dòng)誤差設(shè)計(jì)。

針對(duì)準(zhǔn)雙曲面和弧線錐齒輪傳動(dòng)，Litvin[4]提出利用預(yù)選參考接觸點(diǎn)鄰域內(nèi)的嚙合性能反求加工參數(shù)的局部綜合法，由于該方法建立了嚙合性能與加工參數(shù)的顯式關(guān)系，并直接確定齒面，在一定時(shí)期內(nèi)得到了廣泛應(yīng)用和深入發(fā)展，如改進(jìn)型局部綜合法、主動(dòng)設(shè)計(jì)法[5-8]。因?yàn)橹鲃?dòng)修形思想源于主動(dòng)設(shè)計(jì)法，其用定量的幾何嚙合性能構(gòu)造全齒面的修形差曲面[3]，幾乎可以設(shè)計(jì)任意形狀的接觸印痕和任意階次的傳動(dòng)誤差，所以用于減輕、消除邊緣接觸具有很好的適用性。隨著齒輪數(shù)控加工技術(shù)的出現(xiàn)，人們建立了搖臺(tái)機(jī)床和數(shù)控機(jī)床加工錐齒輪的通用模型和數(shù)控模型，常用敏感矩陣法解決齒面的修正和修形兩類問題[9-10]，即構(gòu)建數(shù)控規(guī)律多項(xiàng)式系數(shù)的單位增量影響齒面位置矢量變化的敏感矩陣，視所需修正或修形量為已知量、數(shù)控規(guī)律多項(xiàng)式系數(shù)增量為未知量，求解敏感矩陣方程對(duì)數(shù)控規(guī)律進(jìn)行調(diào)整。因?yàn)閿?shù)控機(jī)床有較多的運(yùn)動(dòng)自由度，而且數(shù)控規(guī)律多項(xiàng)式系數(shù)調(diào)整方便，允許加工復(fù)雜程度很高的齒面，所以基于數(shù)控加工的齒面修形方法除了在錐齒輪領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用之外，也逐漸被用到其他類型的齒輪傳動(dòng)中[11-13]。

在面齒輪傳動(dòng)領(lǐng)域，雖然有文獻(xiàn)試圖利用齒面修形避免邊緣接觸[14-15]，但是多數(shù)文獻(xiàn)只對(duì)齒面接觸效果進(jìn)行了驗(yàn)證，對(duì)邊緣接觸的說明不夠充分。本文旨在利用齒面主動(dòng)修形和數(shù)控加工方法，預(yù)控斜齒面齒輪傳動(dòng)的嚙合性能并減輕其邊緣接觸，闡述主動(dòng)修形預(yù)控嚙合性能的原理，建立小輪數(shù)控加工齒面逼近其主動(dòng)修形齒面的敏感矩陣方程，說明奇異值分解法迭代求解該方程的過程，應(yīng)用TCA驗(yàn)證齒面主動(dòng)修形對(duì)嚙合性能的預(yù)控效果和對(duì)邊緣接觸的減輕效果。

1 齒面方程

1.1 小輪及假想插齒刀

圖1所示為斜齒圓柱小輪(i=1)和假想插齒刀(i=s)及其坐標(biāo)系Si，其中小輪1將與面齒輪2嚙合傳動(dòng)，假想插齒刀s用于展成面齒輪2的齒面。如圖1所示，齒槽兩側(cè)的齒面Σi可視為由端面漸開線做螺旋運(yùn)動(dòng)形成，則小輪1和假想插齒刀s的齒面方程表示為

(1)

式中：xi=±rbi[sin(θ0i+θi±ψi)-θicos(θ0i+θi±ψi)]，yi=-rbi·[cos(θ0i+θi±ψi)-θisin(θ0i+θi±ψi)]，zi=Piψi；rbi=rpi·cosαt為基圓半徑，rpi=mt·Ni/2為分度圓半徑，θ0i=π/Ni-tanαt+αt為基圓上的齒槽寬參數(shù)，θi為端面漸開線參數(shù)，K=ψi為端面漸開線繞軸線zi的轉(zhuǎn)角，Pi=rpitan(π/2-β)為導(dǎo)程，αt和mt分別為端面壓力角和模數(shù)，β為螺旋角，Ni為齒數(shù)。齒面Σi的單位法矢

[-Pi·cos(θ0i+θi±ψi) ?Pisin

(θ0i+θi±ψi)rbi0]T。

(2)

1.2 成形刀具

成形刀具g將用于加工下文所述的小輪主動(dòng)修形齒面。圖1表示成形刀具g與小輪1的相互嚙合關(guān)系，當(dāng)小輪轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)角K=ψg時(shí)，成形刀具沿小輪軸向運(yùn)動(dòng)的位移為P1ψg，成形刀具軸線zg到小輪軸線z1的距離為Eg=rp1+rg，rg為成形刀具的平均半徑，兩軸線的夾角為π/2+β。根據(jù)曲面Σ1，Σg接觸線的法矢須相交于刀具軸線zg，并設(shè)K=ψg=0，曲面Σ1，Σg的接觸線在坐標(biāo)系Sc中表示為：

(3)

式中：Mc1為從S1到Sc的坐標(biāo)變換矩陣；R1j，n1j分別為矢量R1和n1在S1中坐標(biāo)軸j(j=x,y,z)上的分量。

圖1中，Σ1，Σg的接觸線隨Sc在Sg中旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)角為σg，得成形刀具工作曲面Σg的位、法矢分別為：

Rg(θ1,σg)=Mgc(σg)Rc[θ1,ψ1(θ1)]；

(4)

ng(θ1,σg)=Mgc(σg)Mc1nc[θ1,ψ1(θ1)]。

(5)

式中Mgc為Sc到Sg的坐標(biāo)變換矩陣。

1.3 斜齒面齒輪

圖2所示為假想插齒刀s(i=s)展成斜齒面齒輪2的坐標(biāo)系，其中：φ2=φsNs/N2和φs分別為斜齒面齒輪和假想插齒刀的轉(zhuǎn)角；坐標(biāo)系Ss和S2分別與斜齒面齒輪和假想插齒刀固連，Sm和Sp為輔助坐標(biāo)系；L0=(L1+L2)/2，L1和L2分別為由根切和變尖條件確定的斜齒面齒輪的內(nèi)徑和外徑；γm為假想插齒刀和斜齒面齒輪軸線的夾角；N2為斜齒面齒輪的齒數(shù)。

因?yàn)樾饼X面齒輪的齒數(shù)較多，加工過程比較復(fù)雜以及刀具修整費(fèi)時(shí)，所以本文斜齒面齒輪的齒面不予以修形。關(guān)于斜齒面齒輪的加工，可采用蝸桿刀具、具有漸開線的盤形刀具進(jìn)行加工。此處對(duì)利用假想插齒刀展成斜齒面齒輪進(jìn)行簡要說明的目的，在于為下文小輪的主動(dòng)修形和齒面接觸分析建立依據(jù)。在S2中，斜齒面齒輪齒面Σ2的位、法矢和嚙合方程分別為：

R2(θs,ψs,φs)=M2s(φs,L0,γm)Rs(θs,ψs)；

(6)

n2(θs,ψs,φs)=M2s(φs,L0,γm)ns(θs,ψs)；

(7)

f2(θs,ψs,φs)=n2·?R2/?φs=0。

(8)

式中M2s為從Ss到S2的坐標(biāo)變換矩陣。

2 小輪齒面的主動(dòng)修形

因?yàn)楸疚睦谬X面主動(dòng)修形方法預(yù)控斜齒面齒輪傳動(dòng)的嚙合性能，顯然包括將接觸印痕限制在局部這一基本要求，所以沒有必要將小輪和假想插齒刀的齒數(shù)設(shè)置為不同，換言之，小輪未加修形的齒面與假想插齒刀的齒面相同，即兩者所有參數(shù)均相等。

2.1 預(yù)置傳動(dòng)誤差

(9)

(10)

(11)

(12)

2.2 預(yù)置接觸路徑

通常在斜齒面齒輪的齒面上觀察接觸印痕，因此在面齒輪的旋轉(zhuǎn)投影面上預(yù)置接觸路徑。如圖3所示，預(yù)置接觸路徑Cp的位置由預(yù)選參考點(diǎn)p到坐標(biāo)軸的距離Lp和Rp表示，接觸路徑的方向用角度參數(shù)γm和η確定。在面齒輪坐標(biāo)系中，預(yù)置接觸路徑表示為

(13)

式中R2j為矢量R2在S2中坐標(biāo)軸j上的分量。

2.3 預(yù)置接觸橢圓長度

(14)

(15)

3 小輪主動(dòng)修形齒面的數(shù)控加工

3.1 通用模型

如圖1所示，現(xiàn)設(shè)坐標(biāo)系Sg與Sc重合，當(dāng)成形刀具g繞自身軸線旋轉(zhuǎn)切削小輪1的同時(shí)做齒向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)P1u1，小輪1繞自身軸線做轉(zhuǎn)角為K=u1的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，即可加工出小輪1的齒槽。由圖1可知，刀具相對(duì)小輪的位置和方向可用從Sg到S1(i=1)的坐標(biāo)變換矩陣M1g(β,Eg,P1u1,u1)表示。

3.2 數(shù)控加工模型

圖5所示為用于加工小輪主動(dòng)修形齒面的數(shù)控機(jī)床配置，包括3個(gè)平移運(yùn)動(dòng)軸X，Y，Z和3個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)軸A，B，C。刀具安裝于旋轉(zhuǎn)軸C上，用于切削工件且不需與其他運(yùn)動(dòng)軸聯(lián)動(dòng)，小輪工件安裝于旋轉(zhuǎn)軸A上。該配置與型號(hào)為QMK50A的數(shù)控機(jī)床相同。

CA=u1,CB=β,CX=Eg,CY=P1u1,CZ=0。

(16)

為便于編程或優(yōu)化齒面，式(16)通常用u1=0處的泰勒多項(xiàng)式表示，即式(17)表示了最終的數(shù)控規(guī)律。

(17)

(18)

3.3 數(shù)控加工齒面對(duì)主動(dòng)修形齒面的逼近

(19)

由于式(19)所表示的敏感矩陣方程通常是病態(tài)的，一般采用奇異值分解法迭代求解，則第λ次迭代后，用式(20)確定數(shù)控運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式系數(shù)及其增量。

(20)

第λ次迭代的敏感矩陣為

R1i(θ1,ψ1)]/Δcj。

(21)

ΓλΩλΛλ=svd(Jλ)。

(22)

(23)

關(guān)于斜齒面齒輪傳動(dòng)的嚙合坐標(biāo)系及齒面接觸分析和邊緣接觸分析可參考文獻(xiàn)[2，4]，限于篇幅，此處不再贅述。

4 算例分析

4.1 斜齒面齒輪傳動(dòng)的邊緣接觸

在以下算例中，齒輪的參數(shù)為：法面壓力角αn=25°，螺旋角β=15°，軸夾角γm=90°，法面模數(shù)mn=6.35 mm，齒數(shù)N1=30，Ns=30，N2=160，斜齒面齒輪內(nèi)徑L1=500 mm，外徑L2=590 mm。

圖7和圖8所示分別為面齒輪傳動(dòng)的接觸印痕和傳動(dòng)誤差，該例中小輪齒數(shù)為N1=28，通過小輪和假想插齒刀取不同的齒數(shù)將接觸印痕限制在局部，由圖7可以看出在齒頂和齒根處均發(fā)生了較嚴(yán)重的邊緣接觸，圖8進(jìn)一步表明齒面接觸點(diǎn)的傳動(dòng)誤差幅值趨于0，而邊緣接觸點(diǎn)的傳動(dòng)誤差幅值較大，是振動(dòng)和噪音的根源，結(jié)合圖7和圖8可知，齒頂和齒根處由于接觸橢圓被截?cái)?，使接觸面積急劇減小，從而在齒頂和齒根處極易出現(xiàn)早期失效。

4.2 主動(dòng)修形齒面和敏感方程求解穩(wěn)定性

表1所示為小輪齒面3種主動(dòng)修形算例的參數(shù)，下面對(duì)這3種算例進(jìn)行說明和分析。

表1 小輪齒面主動(dòng)修形算例參數(shù)

由圖10～圖12可知，雖然主動(dòng)修形齒面目標(biāo)修形量在較寬的范圍內(nèi)變化，但是數(shù)控加工齒面均能較好地逼近并加工該主動(dòng)修形齒面，任意網(wǎng)格點(diǎn)處的殘余偏差相對(duì)目標(biāo)修形量至少小一個(gè)數(shù)量級(jí)。說明奇異值分解法求解敏感矩陣方程以獲得數(shù)控運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式系數(shù)的增量是穩(wěn)定的，然而這種穩(wěn)定性是以選取合理的閾值Va為代價(jià)。

由于例1中的齒面修形量大，例3中的齒面修形較復(fù)雜，圖13所示為不同閾值Va對(duì)求解穩(wěn)定性、速度和精度的影響。由該圖可知，閾值選得過大或過小均會(huì)降低求解精度和速度，而且在閾值合理的情況下迭代5次即可獲得滿意的結(jié)果。對(duì)于不同的修形曲面，合理的閾值也不同。對(duì)于以上主動(dòng)修形齒面算例，最終求得的數(shù)控運(yùn)動(dòng)規(guī)律相對(duì)無修形齒面的變化情況如圖14和圖15所示。

4.3 主動(dòng)修形齒面幾何嚙合性能分析

不設(shè)置傳動(dòng)誤差，接觸路徑和橢圓長軸長度取如下參數(shù)：η=60.69°，Rp=rps，Lp=L0，a=18 mm。得到與圖7和圖8相同的結(jié)果。

例1主動(dòng)修形斜齒面齒輪傳動(dòng)的幾何嚙合性能如圖16所示，可知理想安裝時(shí)，接觸路徑過齒面中央點(diǎn)，雖然修形量較大，在齒頂和齒根處仍然存在邊緣接觸，但是在齒面與邊緣接觸的過渡處，傳動(dòng)誤差曲線保持了二階連續(xù)。安裝誤差(以軸夾角Δγ為代表)導(dǎo)致接觸印痕向輪齒的大端偏移，但未導(dǎo)致傳動(dòng)誤差發(fā)生大幅變化。

例2主動(dòng)修形斜齒面齒輪傳動(dòng)的幾何嚙合性能如圖17所示，可知理想安裝時(shí)，接觸路徑是自小端齒根到大端齒頂?shù)膶?duì)角線，在小端和齒頂各有一個(gè)邊緣接觸點(diǎn)，大幅降低了邊緣接觸區(qū)，增加了重合度，傳動(dòng)誤差為對(duì)稱的二階連續(xù)曲線。然而在安裝誤差作用下，接觸印痕在齒面上發(fā)生偏移，引起齒根和大端處出現(xiàn)邊緣接觸，傳動(dòng)誤差發(fā)生較大幅度變化且不再對(duì)稱，在齒面與邊緣接觸的過渡處，傳動(dòng)誤差依然是二階連續(xù)曲線。

例3主動(dòng)修形斜齒面齒輪傳動(dòng)的幾何嚙合性能如圖18所示，可知理想安裝時(shí)，接觸路徑是自小端齒根到大端齒頂?shù)膶?duì)角線，邊緣接觸得到有效避免，重合度依然為最大，傳動(dòng)誤差為四階連續(xù)曲線。本例中安裝誤差引起的齒面接觸印痕的變化與圖17b基本相同，傳動(dòng)誤差發(fā)生較大幅度變化，但仍為四階連續(xù)曲線，當(dāng)小輪轉(zhuǎn)角為正時(shí)，傳動(dòng)誤差近似為線性函數(shù)，齒面與邊緣接觸過渡處雖然連續(xù)，但是在嚙合輪齒更迭處傳動(dòng)誤差函數(shù)極易間斷，引起角度跳動(dòng)。增大預(yù)置傳動(dòng)誤差函數(shù)的幅值會(huì)延遲該現(xiàn)象的出現(xiàn)，但要避免預(yù)置的高階傳動(dòng)誤差中間段下凹，不至于出現(xiàn)微觀尺度上出現(xiàn)凸—凹—凸的齒面，否則會(huì)造成敏感矩陣方程求解困難。

鑒于上述算例分析，考慮到支撐變形和安裝誤差不可避免，以及斜齒面齒輪的嚙合特性，斜齒面齒輪傳動(dòng)主動(dòng)修形齒面的預(yù)置接觸路徑應(yīng)按如下原則確定：接觸路徑過齒面中央點(diǎn)以充分利用齒寬；接觸路徑方向位于傳統(tǒng)接觸路徑(即圖7)和對(duì)角線之間，以增加重合度；邊緣接觸還需借用其他措施進(jìn)行限制，如兩輪選用標(biāo)準(zhǔn)齒高，但在齒頂預(yù)留一定齒高對(duì)齒頂進(jìn)行修緣，以避免安裝誤差引起的邊緣接觸所導(dǎo)致的應(yīng)力集中。

5 結(jié)束語

為主動(dòng)預(yù)控斜齒面齒輪傳動(dòng)的幾何接觸性能，提出齒面的主動(dòng)修形，建立了小輪主動(dòng)修形齒面數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步提出修形齒面的加工方法并求解了數(shù)控規(guī)律的修正系數(shù)，完成了齒面接觸分析，基于上述研究得出如下結(jié)論：

(1)闡述了斜齒面齒輪傳動(dòng)的齒面主動(dòng)修形方法及其數(shù)控加工方法，算例表明奇異值分解法求解數(shù)控運(yùn)動(dòng)規(guī)律多項(xiàng)式系數(shù)的增量是可行且穩(wěn)定的。

(2)應(yīng)用齒面主動(dòng)修形可以將斜齒面齒輪傳動(dòng)的接觸限制在局部并可以獲得與傳統(tǒng)齒數(shù)差確定的相同的嚙合性能，換言之應(yīng)用齒面主動(dòng)修形時(shí)可解除假想插齒刀比小輪多1～3個(gè)齒這一限制條件。

(3)主動(dòng)修形齒面能夠再現(xiàn)預(yù)置的嚙合性能，合理選取的預(yù)置接觸路徑在無安裝條時(shí)能有效減輕邊緣接觸，預(yù)置的傳動(dòng)誤差可確保齒面與邊緣接觸過渡處轉(zhuǎn)角的連續(xù)性。

(4)由于理想安裝條件不存在，齒面修形主要用于預(yù)置傾斜的接觸路徑和連續(xù)的傳動(dòng)誤差函數(shù)，以維持大重合度和降低角度跳動(dòng)，還需借用其他措施以減輕有安裝誤差時(shí)的邊緣接觸。