（河南工學院 理學部，河南 新鄉(xiāng) 453003）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學科[1]，是高等院校計算機專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程之一。該課程在培養(yǎng)學生解決實際問題能力、實踐動手能力等方面可發(fā)揮非常重要的作用[2]。隨著大數(shù)據(jù)時代的到來和人工智能的發(fā)展，概率論與數(shù)理統(tǒng)計的相關(guān)理論、基本方法已經(jīng)成為計算機專業(yè)人才不可缺少的數(shù)學基礎(chǔ)知識之一。

為了激發(fā)學生的學習興趣，針對該課程理論性強、概念抽象難理解的特點，把軟件引入實驗課就顯得尤為重要。關(guān)于實驗課的教學，許多專家學者都進行了相關(guān)研究[3]。2003年，李昌興、史克崗[4]總結(jié)了西安郵電學院多年的數(shù)學實驗和數(shù)學建模課程教學的經(jīng)驗，探索了數(shù)學實驗課程的教學改革。2004年，朱旭[5]探討了如何通過開展數(shù)學實驗教學來加強學生科學素質(zhì)培養(yǎng)。2011年，趙禮峰[6]研究了數(shù)學實驗課程對大學生素質(zhì)培養(yǎng)的重要作用，張序萍等人[7]對煤炭院校大學數(shù)學實驗教學體系進行了研究。2017年，崔玉杰等人[8]探討了R和Python軟件在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學中的應(yīng)用。2019年，侯臣平[9]研究了Matlab在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學中的應(yīng)用。而當下，如何根據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的課程特點，在課堂教學中合理利用R軟件進行實驗設(shè)計，讓學生學好概率論與數(shù)理統(tǒng)計，并靈活運用其解決實際問題，是擺在高校數(shù)學教師面前的一個重要研究課題。

1 R軟件簡介

R是一個開放的統(tǒng)計編程語言，它源于S語言，是由新西蘭頂尖學府奧克蘭大學的Robert Gentleman和 Ross Ihaka及其他志愿人員一起開發(fā)的，因其具有開源性和兼容性而迅速流行起來。通過R軟件的官方網(wǎng)站可以獲取最新版本的R軟件及應(yīng)用軟件包，且大多數(shù)都是免費的。

R軟件提供若干統(tǒng)計程序包、一些集成的統(tǒng)計工具和各種內(nèi)嵌的統(tǒng)計函數(shù)，也可以根據(jù)需要編制函數(shù)，用戶只需要根據(jù)統(tǒng)計模型指定相應(yīng)的數(shù)據(jù)庫及相關(guān)的參數(shù)，便可靈活地進行數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)存儲、計算結(jié)果分享等工作，甚至還可以創(chuàng)造出新的滿足實際需要的統(tǒng)計計算方法。

R是一套完整的數(shù)據(jù)處理、計算和制圖軟件系統(tǒng)，其功能包括數(shù)據(jù)存儲和處理、數(shù)組運算、統(tǒng)計分析、統(tǒng)計制圖，可操縱數(shù)據(jù)的輸入和輸出，可實現(xiàn)分支、循環(huán)、用戶自定義等。R軟件的界面與其他編程軟件的界面相類似，由菜單和快捷按鈕組成。快捷按鈕下方的窗口便是命令輸入窗口，有時也是輸出窗口。

2 R軟件在教學中的應(yīng)用案例

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的課堂教學中，教師既要教一些理論，還要設(shè)計合理的實驗，以激發(fā)學生的求知欲，調(diào)動學生學習的熱情，創(chuàng)造輕松愉悅的課堂氛圍，引導學生自主學習，提高學生的動手實踐能力和分析問題、解決問題的能力。

2.1 蒲豐投針實驗的分析

在講授伯努利大數(shù)定理時，為了更直觀地揭揭示其描述的隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性，在教學過程中可以R軟件為工具，用計算機隨機模擬方法——蒙特卡洛方法，引入蒲豐投針實驗，將定理的結(jié)果應(yīng)用到實際問題中，讓學生體會到學習數(shù)學的實際意義和價值。

1777年，法國數(shù)學家蒲豐提出了著名的蒲豐投針實驗，即設(shè)平面上一簇平行線的間距為a，向平面上投擲一長度為l(l

利用已學過的幾何概率求得針與平行線相交的概率，具體步驟如下：

設(shè)針的中心到該簇平行線的最小距離為x，針與此平行線的夾角(如圖1所示)記為θ，則針所落的位置完全取決于(θ，x)，針落下的所有可能的位置在平面的圖形可用一個矩形OABC來表示，如圖2所示。

圖1 θ 和x表示的含義

圖2 針的所有可能位置的平面圖形

設(shè)隨機投針n次，針與線有k次相交，則針與線相交的頻率為。最后由伯努利大數(shù)定理知：當n足夠大時，有從而可得圓周率π的近似值，即

2.2 基于R軟件的蒲豐投針實驗的設(shè)計

用R語言來實現(xiàn)蒲豐投投針實驗：

(1)產(chǎn)生隨機數(shù)：產(chǎn)生n個相互獨立的隨機變量序列(θi,xi)(i=1，2，…，n)。其中θi服從區(qū)間(0，π)上的均勻分布，xi服從區(qū)間上的均勻分布。

(2)實驗?zāi)M：驗證各((θi，xi)是否滿足不等式。若不等式成立，則表示針與線相交。設(shè)隨機投針n次，針與線有k次相交，則圓周率的近似值為

R語言程序設(shè)計如下：

將該R程序保存為1.R，再調(diào)用該程序進行模擬，這里取n=10,000，l=0.7，a=1。

運行程序zzc1.R:

source("1.RR")

zzc(10000，l=0.7，a=1)。

程序運行結(jié)果如圖3所示。

圖3 程序zzc11.R運行結(jié)果

若取n=100,000，l=0.7，a=1。

運行程序zzc2.R:

source("1.R")

zzc(100000，l=0.7，a=1)。

程序運行結(jié)果如圖4所示。

圖4 程序zzc2.R運行結(jié)果

從實驗結(jié)果可以看出：兩次的結(jié)果都很接近π的真實值，并且一般情況下，隨著投針次數(shù)n的增加，π的近似值與真實值的誤差會越來越小。

2.3 R軟件在教學中的實踐意義

通過前面的教學案例可知，將R軟件引入課堂，一方面可以將抽象的教學內(nèi)容變得更加直觀，更易于學生理解和掌握；另一方面可以讓學生體會到看似枯燥的數(shù)學知識，既來源于實踐，又可應(yīng)用于實踐。要引導學生努力搭建好理論和實踐的橋梁，這樣才能夠?qū)W以致用，用以促學，學用相長。同時，學生還可以將涉及的一些基本概念和理論如幾何概型、概率與頻率的關(guān)系和大數(shù)定律聯(lián)系在一起，從而促進對基礎(chǔ)知識更深層次的理解，為將來解決實際問題打下扎實的數(shù)學理論基礎(chǔ)。

3 結(jié)語

針對概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程具有理論性強、概念抽象難學難理解的特點，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學中嘗試利用R軟件進行實驗教學，取得了較好的教學效果。教學中，學生先自己動手解決實際問題，教師再在課堂上進行講解，這樣即發(fā)揮了教師的主導作用，又能讓學生自主學習，對學生掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，提高實踐動手能力，培養(yǎng)創(chuàng)新精神不無裨益。