王國柱，池曉航，周 強(qiáng)

（1.鄭州大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河南 鄭州 450001；2.河南工學(xué)院 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453003；3.衛(wèi)華集團(tuán)有限公司，河南 長垣 453400）

2019年12月，湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)不明原因的肺炎病例，后確定該肺炎由一種新型冠狀病毒（COVID-19）導(dǎo)致，簡稱新冠肺炎。新冠病毒與SARS病毒相仿，表現(xiàn)出類似的呼吸道癥狀，但新冠病毒的傳播速度更快，造成的損害更大[1,2]。

在積極的防疫過程中，能夠前瞻性地預(yù)測(cè)新冠肺炎的相關(guān)數(shù)據(jù)，對(duì)于疫情防控的精準(zhǔn)施策有著重要的意義。SEIR（Susceptible-Exposed-Infectious-Recovered）模型是研究傳染病傳播機(jī)理的最常見模型之一[3]，能夠清晰地描述病毒傳播的動(dòng)態(tài)邏輯關(guān)系，在合適的參數(shù)下，能給出相對(duì)準(zhǔn)確的病毒傳播預(yù)測(cè)趨勢(shì)，因此被廣泛應(yīng)用。

2020年3月底，國內(nèi)疫情逐漸好轉(zhuǎn)，但出現(xiàn)了無相關(guān)臨床癥狀（如發(fā)熱、咳嗽、咽痛等）的“無癥狀感染者（Asymptomatic Infection）”，其呼吸道等標(biāo)本核酸檢測(cè)或抗體檢測(cè)呈陽性。無癥狀感染者仍具有傳染性，且具有難以識(shí)別的三大特性：（1）傳播的隱蔽性：由于無癥狀感染者沒有任何明顯的感染癥狀與患病體征，在人群中難以被發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致其傳播也難以被預(yù)防。（2）癥狀的主觀性：癥狀輕微或不明顯的患者可能認(rèn)為自己沒有感染新冠病毒，不積極主動(dòng)去醫(yī)療機(jī)構(gòu)就診，這給新冠肺炎的檢測(cè)造成困難。（3）發(fā)現(xiàn)的局限性：由于存在檢測(cè)窗口期，采用核酸檢測(cè)和抗體檢測(cè)的方法難以發(fā)現(xiàn)全部無癥狀感染者。

無癥狀感染者的出現(xiàn)，使傳統(tǒng)的SEIR數(shù)學(xué)模型不能完整地表述新冠病毒的傳播特點(diǎn)，對(duì)疫情數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)和擬合結(jié)果也不夠理想。為了提高數(shù)學(xué)模型對(duì)新冠肺炎疫情趨勢(shì)預(yù)測(cè)的有效性和準(zhǔn)確性，本文通過引入無癥狀感染者的概念及其傳播機(jī)制，在SEIR數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，提出了SEIADR（Susceptible-Exposed-Infectious-Asymptomatic-Dead-Recovered）模型，并利用湖北省以及全國的新冠肺炎疫情數(shù)據(jù)驗(yàn)證了SEIADR模型的有效性。

1 研究方法

1.1 SEIR模型

傳統(tǒng)SEIR模型將人群劃分為四類：

（1）易感者：即未得病，但缺乏免疫能力，與感染者或潛伏者接觸后容易受到感染。

（2）潛伏者：接觸過感染者，在一定潛伏期內(nèi)未表現(xiàn)出感染癥狀，具有傳染能力。

（3）感染者：已經(jīng)表現(xiàn)出感染癥狀，且具有傳染能力。

（4）恢復(fù)者：經(jīng)治療恢復(fù)健康或者自愈，且在一段時(shí)間內(nèi)具有免疫能力。

SEIR模型的病毒傳播過程如圖1所示。

圖1 SEIR模型的病毒傳播過程示意圖

其中：N為人口總數(shù)，S為易感人群數(shù)量，E為潛伏人群數(shù)量，I為感染人群數(shù)量，R為康復(fù)人群數(shù)量，c為感染者平均接觸人數(shù)，β為接觸傳染概率[4]，γ為潛伏期概率，α為治愈率。N隨時(shí)間變化關(guān)系如公式(1)所示：

式(1)中，t為病毒傳播時(shí)間，由此可以得到SEIR模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(2)所示[5]：

式(3)表示死亡人數(shù)隨時(shí)間的變化關(guān)系。

1.2 引入無癥狀感染者的SEIR模型

傳統(tǒng)的SEIR模型主要是利用差分方程描述宏觀狀態(tài)下病毒傳播的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和人群的結(jié)構(gòu)特征?！癝EIR”每個(gè)字母對(duì)應(yīng)一類人群，每一類人群在相應(yīng)的時(shí)間內(nèi)會(huì)動(dòng)態(tài)變化。在實(shí)際應(yīng)用中，參數(shù)和特征人群分類越細(xì)化，模型的預(yù)測(cè)結(jié)果也會(huì)越準(zhǔn)確。

鑒于SEIR模型不能準(zhǔn)確地描述無癥狀感染者的傳播特點(diǎn)，因此，在原有模型的基礎(chǔ)上，建立SEIADR模型，建模流程如圖2所示。

圖2 建模流程圖

該模型將人群劃分為六類：

（1）易感者：即未得病，但缺乏免疫能力，與感染者或潛伏者接觸后容易受到感染。

（2）潛伏者：接觸過感染者，在一定潛伏期內(nèi)未表現(xiàn)出感染癥狀，具有傳染能力。

（3）感染者：已經(jīng)有感染癥狀，且具有傳染能力。

（4）無癥狀感染者：潛伏期內(nèi)或潛伏期后沒有表現(xiàn)出感染癥狀，但具有傳染能力。

（5）病亡者：因感染病毒去世的人群。

（6）恢復(fù)者：經(jīng)治療恢復(fù)健康或者自愈，且在一段時(shí)間內(nèi)具有免疫能力。

SEIADR模型的病毒傳播過程如圖3所示。

圖3 SEIADR模型的病毒傳播過程示意圖

其中：A為無癥狀感染人數(shù)，D為死亡人數(shù)，c1為無癥狀感染者平均接觸人數(shù)，1-γ為無癥狀人群轉(zhuǎn)化率，ρ為無癥狀感染者的治愈率，1-α為死亡率。N隨時(shí)間變化的結(jié)果如公式(4)所示：

引入無癥狀感染者后的病毒傳播過程可表示為：

2 模型擬合效果分析

根據(jù)國家衛(wèi)健委公布的湖北省新冠肺炎疫情數(shù)據(jù)，以2020年1月20日至2020年3月30日的數(shù)據(jù)作為模型基準(zhǔn)數(shù)據(jù)，分別以確診病例和死亡病例作為參照，同時(shí)對(duì)比SEIR模型的擬合結(jié)果，分析引入無癥狀感染者之后模型的預(yù)測(cè)性能。

由圖4可以看出，SEIR模型的預(yù)測(cè)結(jié)果具有一定的作用，但與實(shí)際確診人數(shù)存在較大誤差，效果并不理想；而利用SEIADR模型預(yù)測(cè)到湖北省新冠肺炎累計(jì)確診人數(shù)會(huì)在2月底3月初左右逐漸到達(dá)峰值，且在3月上旬逐漸趨于平緩，疫情進(jìn)入平臺(tái)期，該結(jié)果與湖北省公布的數(shù)據(jù)基本一致。在采取適當(dāng)?shù)姆揽胤酪叽胧┖螅瑥?fù)工復(fù)產(chǎn)可以進(jìn)入新的階段，人們的生活將逐漸恢復(fù)正常。

圖5預(yù)測(cè)了湖北省新冠肺炎的死亡數(shù)據(jù)。截止到2020年3月23日，湖北省累計(jì)死亡病例3153例，而SEIADR模型擬合結(jié)果為3108例，在合理誤差范圍內(nèi)。由圖5可以看出，傳統(tǒng)SEIR模型的預(yù)測(cè)能力相對(duì)較差，與實(shí)際數(shù)據(jù)有較大出入，而SEIADR模型能夠有效地預(yù)測(cè)湖北省的真實(shí)情況，且模型顯示3月中下旬累計(jì)死亡人數(shù)達(dá)到峰值，之后逐漸趨于平緩，，接近湖北省公布的真實(shí)數(shù)據(jù)。

圖4和和圖5為兩種模型分別在同一組確診數(shù)據(jù)下的擬合情況。通過過比較可以看出，由于SEIR模型沒有考慮無癥狀感染者，所以以只能預(yù)測(cè)疫情的大致走向，對(duì)疫情關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的預(yù)測(cè)存在不足[6]；而引入無癥狀感染者之后的SEIADR模型能夠很好地?cái)M合原數(shù)據(jù)。

圖6為SEIADR模型對(duì)疫情的總體仿真結(jié)果。從該圖可以看出，疫情真正的拐點(diǎn)出現(xiàn)在疫情爆發(fā)后60天左右，也就是在2020年2月中旬左右，這與實(shí)際情況相吻合（實(shí)際拐點(diǎn)在2月18日左右）。當(dāng)無癥狀感染者得到有效控制之后，疫情整體也就進(jìn)入平緩下降期，同時(shí)這也是3月份有序復(fù)工復(fù)產(chǎn)的重要依據(jù)。

圖4 兩種模型確診數(shù)據(jù)擬合對(duì)比圖

圖5 兩種模型死亡數(shù)據(jù)擬合對(duì)比圖

圖6 SEI ADR模型整體仿真結(jié)果

3 結(jié)束語

本文在傳統(tǒng)SEIR模型的基礎(chǔ)上，建立了SEIADR模型，并利用兩種模型對(duì)湖北省的疫情狀況進(jìn)行擬合分析，結(jié)論如下：

（1）引入無癥狀感染者后的SEIADR模型比傳統(tǒng)的SEIR模型在擬合精度與預(yù)測(cè)能力方面均有顯著提升。

（2）從擬合結(jié)果可以看出，1月中旬到2月上旬，累計(jì)確診人數(shù)呈指數(shù)增長，原因一方面是核酸檢測(cè)的質(zhì)和量都有很大提升，另一方面是潛伏期人群開始爆發(fā)，也間接說明無癥狀感染者的傳染范圍更廣。

（3）仿真結(jié)果顯示，疫情在2020年3月中旬得到有效控制。

綜上所述，SEIADR模型可有效地預(yù)測(cè)新冠病毒的傳播趨勢(shì)，本研究具有一定的理論意義。