安徽省濉溪縣第二中學(xué)(235100) 王耀娜 祝 峰

球、球面是立體幾何中的重要幾何圖形,球與棱錐等多面體內(nèi)接、外切構(gòu)成的幾何體常被稱為球的結(jié)合體.球的結(jié)合體問題,能較好地考查立體幾何的核心概念、原理以及它們所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和思維方法.對學(xué)生的空間想象、轉(zhuǎn)化與化歸、邏輯推理、運(yùn)算求解能力要求較高.構(gòu)圖困難、空間想象力無法充分發(fā)揮、位置和數(shù)量關(guān)系模糊導(dǎo)致結(jié)合體問題在立體幾何教和學(xué)中成為難點(diǎn).如何突破? 值得我們不懈地嘗試、反思和總結(jié).

核心概念和原理以及它們所反映的思維方法是難點(diǎn)突破的“根”和“本”,根深才能長成參天大樹,本固才能立于不敗之地.回到球的概念和性質(zhì),注重它們的聯(lián)系性,從中尋找問題解決的思路是結(jié)合體問題求解的根和本.與此同時,包含整體觀、套路觀、模型觀、解析觀、降維觀在內(nèi)的立體幾何學(xué)科一般觀念則是結(jié)合體問題解決的思維導(dǎo)向.

1 整體觀

球面關(guān)于球心、直徑、過球心的截面對稱,幾何體的對稱性在直觀上能給人以協(xié)調(diào)、穩(wěn)定、愜意的心理感受,是數(shù)學(xué)美的重要體現(xiàn)之一.值得注意的是,球面的對稱性中蘊(yùn)含著從部分聯(lián)想到整體的思維方法,這種思維方法在球的學(xué)習(xí)和相關(guān)問題解決中有著穩(wěn)定、持續(xù)的作用.在球結(jié)合體問題解決中,若拘泥于幾何體的一隅,只見樹木不見森林,思路往往難以打開.結(jié)合對稱性,由“殘缺”及“完整”、由“部分”到“全體”的整體觀,是球結(jié)合體問題求解的有效思維導(dǎo)向.

例1(2019年高考全國Ⅰ卷理科第12 題)已知三棱錐P ?ABC的四個頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,ΔABC是邊長為2 的正三角形,E、F分別是PA、AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為( )

解析如圖1,注意到PA=PB=PC,ΔABC為正三角形,所以三棱錐P ?ABC是正三棱錐,所以

(正三棱錐對棱垂直).E、F為中點(diǎn),∠CEF=90°,所以

結(jié)合①②有PB⊥面PAC.

圖1

圖2

故三棱錐P ?ABC三側(cè)面均為等腰直角三角形,整體視角下,如圖2,三棱錐P ?ABC為正方體PM的一部分.則三棱錐P ?ABC的外接球即正方體PM的外接球O,半徑為所以三棱錐外接球的體積

注評注意到球與三棱錐的對稱性,拓寬認(rèn)識視角,整體觀下,由部分及整體,發(fā)現(xiàn)條件中的幾何體是正方體的一部分,將具體問題置于熟知的正方體特定空間中,相關(guān)位置、數(shù)量關(guān)系一目了然,不證自明.

球的結(jié)合體問題的求解中,局限于較小的空間中思考,會阻礙空間想象和對問題本質(zhì)的認(rèn)識.結(jié)合球面的對稱性,由幾何體部分想象到整體,在更廣的空間中視角會變寬、思路會流暢.

2 套路觀

數(shù)學(xué)問題的解決有其基本“套路”,這兒并非所謂“技巧”.“技巧”微不足道,通性通法才是基本“套路”.不斷回到球的概念,用概念思維,是球結(jié)合體求解的基本“套路”.球的概念所反映的基本性質(zhì)是“通性”,所蘊(yùn)含的基本思想方法是“通法”.

一是強(qiáng)化了項(xiàng)目單位科學(xué)編制項(xiàng)目預(yù)算的責(zé)任?！锻ㄖ吩俅沃厣炅恕绊?xiàng)目單位應(yīng)該根據(jù)項(xiàng)目研究開發(fā)任務(wù)的特點(diǎn)和實(shí)際需要，按照政策相符性、目標(biāo)相關(guān)性和經(jīng)濟(jì)合理性的原則，科學(xué)、合理、真實(shí)地編制項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)預(yù)算”的要求，并規(guī)定項(xiàng)目單位不得簡單按比例編制直接費(fèi)用的各項(xiàng)支出預(yù)算。

例2(安徽100 所名校高三“攻疫”聯(lián)考理科第15 題)在棱長為4 的正方體ABCD ?A1B1C1D1中,E是AA1的中點(diǎn),F是BE的中點(diǎn).P是面AA1D1D內(nèi)一點(diǎn),且PF⊥面DA1C1,則四棱錐P ?A1B1C1D1外接球的表面積為.

圖3

解析如圖3,注意到,正方體中BD1⊥面DA1C1,取D1E的中點(diǎn)即為P.易證PF//BD1,所以PF⊥面DA1C1.由球的概念知,球心在正方體上下底面中心連線MN上,設(shè)其為O,則O到面PA1D1的距離為d=2,又RtΔEA1D1中,斜邊中線由正弦定理知,ΔPA1D1外接圓的半徑為結(jié)合球的性質(zhì),外接球半徑R滿足R2=d2+r2=4+所以S=4πR2=41π.

注評球面上點(diǎn)到球心距離相等是球面概念所反映的最基本數(shù)量關(guān)系,基于此確定球心在直線MN上某個位置(具體位置并不重要,抓住性質(zhì)是關(guān)鍵).小圓圓心與球心連線垂直于小圓面,其長度為球心到小圓面距離d,小圓半徑為r.d、r與球面半徑R之間的關(guān)系,是球面概念所蘊(yùn)含的基本性質(zhì),建立d、r、R之間關(guān)系是球結(jié)合體問題解決的基本“套路”.

球的概念鮮明、直觀、簡單、易懂且威力無窮.概念及其蘊(yùn)含的方法和思想是問題求解的“通性、通法”,是數(shù)學(xué)思維的基本“套路”.這種套路在結(jié)合體問題求解中具有廣泛、持久、穩(wěn)定的影響作用.

3 模型觀

發(fā)展空間想象能力是立體幾何學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)之一,指借助幾何直觀和空間想象感知空間元素的形態(tài)和變化,利用空間形式特別是圖形,分析、解決空間元素位置和數(shù)量關(guān)系問題.誠然,想象力水平有高低之分,讓空間想象力在自身水平基礎(chǔ)上獲得最大化發(fā)揮,對解題有積極作用,這種“極化”發(fā)揮同時也是提升空間想象能力的有效手段.如何做到“極化”發(fā)揮? 把問題置于熟悉的空間幾何體模型中,利于空間想象力極化發(fā)揮.如長方體、正方體、直棱柱、正棱錐等規(guī)則幾何體,借助這類幾何體模型更容易觀察、分析和想象.

例3(2020年“安徽省示范高中皖北協(xié)作區(qū)”理科第12題)在三棱錐A ?BCD中,AB=CD=2,AD=BC=1,且二面角B?AC?D為120°,則三棱錐A?BCD外接球的表面積為( )

A.4πB.5πC.6πD.7π

解析如圖4 所示的直三棱柱中,二面角B ?AC ?D為120°,三棱錐A ?BCD符合題設(shè)條件.

圖4

圖5

設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為E、F,外接球球心為O.球的性質(zhì)知,OE⊥面ABC,OF⊥面ACD.設(shè)面OEF交AC于G點(diǎn),易證G為AC中點(diǎn).

如圖5,四邊形EGFO中,∠EGF=120°,EG=GF=所以O(shè)E=即球心O到截面ABC的距離d=ΔABC外接圓半徑r=1,所以R==故外接球表面積S=4πR2=7π.

注評問題出現(xiàn)在不規(guī)則的三棱錐中,且其外接球球心在三棱錐的外部.直接在原三棱錐中思考問題,難以發(fā)現(xiàn)要素之間的關(guān)系.將問題置于特殊的直三棱柱后,球心、截面、三棱錐表面在三維空間中相對位置關(guān)系清晰可見,將d化歸到平面圖形中,在平面四邊形EGFO中求出d后,“套路觀”引領(lǐng)下,構(gòu)建基本量d、r、R之間關(guān)系.

若從“整體觀”視角看問題,三棱錐A ?BCD的外接球?qū)嶋H上也就是所構(gòu)造直三棱柱的外接球,所以,拋開原三棱錐,問題可轉(zhuǎn)化為求所直三棱錐的外接球解決.

4 降維觀

從知識體系之間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)與聯(lián)系看,立體幾何是平面幾何的延續(xù)和拓展.這種延續(xù)體現(xiàn)在立體幾何中很多概念用平面幾何知識來定義.

例4(淮北?宿州2019 屆高三第二次模擬考試?yán)砜频?2 題)已知正四面體的中心與球O的球心重合,正四面體的棱長為球的半徑為則正四面表面與球面的交線的總長度為( )

A.4πB.C.D.12π

解析如圖6 所示,棱長為a的正四面體ABCD中,頂點(diǎn)A在底面的射影為底面的中心E,則正四面體的中心O在直線AE上.連DE并延長交BC于F.

圖6

圖7

在平面ADF中,由平面幾何及解三角形知識求得為正四面體外接球的半徑;OE=為內(nèi)切球半徑.當(dāng)a=時,求得AO==3,已知球的半徑為所以已知球介于正四面體外接球和內(nèi)切球之間.注意到平面BCD截球O所得小圓圓心為E,其半徑為如圖7 所示,即球O與表面BCD的交線為弧對稱性知三段弧長相等.正三角形BCD中,EF=EM1=2,故∠M1EM6=,即交線三段弧的和為圓周等于×2π ×2=π.故球O與正四面體表面交線的總長度為4π.

注評由題設(shè)可感受到,球面O應(yīng)與正四面體四表面三角形均有交線,但需經(jīng)過嚴(yán)密的推理后確定其具體情況,所以首先在正四面體中構(gòu)造平面ADF,在此面內(nèi)探討了正四面體外接球、內(nèi)切球的半徑,確定已知球與兩特殊球之間關(guān)系,它們?yōu)橥那蚯医橛趦汕蛑g.球心O到截面BCD的距離(即內(nèi)切球半徑),為后續(xù)結(jié)合“套路觀”求截面圓的半徑作準(zhǔn)備.問題集中于平面ADF內(nèi),獲得解答.

“整體觀”下,結(jié)合球、正四面體的對稱性,兩幾何體表面交線總長度的求解問題,集中于面BCD中解決,再一次把空間問題平面化.

5 解析觀

平面解析幾何學(xué)科一般觀念是用代數(shù)的方法研究幾何問題.中學(xué)教材中引入空間向量后,一方面可用空間向量的運(yùn)算性質(zhì),研究立體幾何問題;另一方面,在空間向量基本定理所蘊(yùn)含的原理和思想下,構(gòu)建單位正交基,類比平面解析幾何,建立空間坐標(biāo)系,可把空間元素位置和數(shù)量關(guān)系坐標(biāo)化、方程化,用代數(shù)方法研究球的結(jié)合體相關(guān)問題.

例5(合肥市2020年高三第二次教學(xué)(理數(shù))質(zhì)量檢測第12 題)在三棱錐P ?ABC中,二面角P ?AB ?C、P ?AC ?B和P ?BC ?A大小均等于,AB:AC:BC=3 : 4 : 5,設(shè)三棱錐P ?ABC外接球的球心為O,直線PO與平面ABC交于點(diǎn)Q,則=( )

解析題設(shè)條件知,ΔABC為直角三角形,其中∠A=90°,不妨設(shè)三邊長分別為3、4、5.注意到三個二面角相等,所以點(diǎn)P在底面上的射影是ΔABC的內(nèi)心H.如圖8 所示建立空間直角坐標(biāo)系,其中坐標(biāo)原點(diǎn)為H,x軸平行于AB,y軸平行于AC.

圖8

解得z=結(jié)合點(diǎn)P坐標(biāo),=3,所以=4.

注評結(jié)合問題所涉及的幾何體自身特征,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,可通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何問題.空間直角坐標(biāo)系的建立,一般要兼顧幾何體自身的對稱性,讓盡量多的點(diǎn)、線、面落在空間直角坐標(biāo)系的軸和面上,便于確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).利用坐標(biāo)通過解析運(yùn)算解決球的結(jié)合體問題,對空間想象能力要求似乎沒有那么高,但值得注意的是,不是不需要空間想象能力,相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)的確定,以及代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的解釋均需建立在空間想象能力之上.

視立體幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個相對獨(dú)立的子學(xué)科,整體觀、套路觀、模型觀、降維觀、解析觀是立體幾何的學(xué)科一般觀念.這些觀念蘊(yùn)含在相關(guān)概念、原理等學(xué)科內(nèi)容中,體現(xiàn)了立體幾何的學(xué)科特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,對立體幾何的學(xué)習(xí)有著廣泛、持久、穩(wěn)定的積極影響.

整體觀能引領(lǐng)學(xué)生從局部到整體認(rèn)識問題,拓寬問題認(rèn)識視角,發(fā)展全局意識,訓(xùn)練思維的整體性.套路觀引領(lǐng)學(xué)生不斷回到概念、原理中去,養(yǎng)成用概念和原理分析和解決問題的習(xí)慣,注重通性、通法,摒棄“題型+技巧”的狹隘解題意識,訓(xùn)練思維的自覺性.模型觀能引領(lǐng)學(xué)生把陌生問題化歸到熟悉的幾何體中,養(yǎng)成善于借助恰當(dāng)?shù)膸缀慰臻g,極化發(fā)揮空間想象力的習(xí)慣,不斷提升空間想象力水平,訓(xùn)練思維的有序性.降維觀能讓學(xué)生體會到幾何學(xué)科的結(jié)構(gòu)性、連續(xù)性,養(yǎng)成空間問題平面化,善于借助截面、多面體表面、投影面等,解決立體幾何問題的習(xí)慣,訓(xùn)練思維的結(jié)構(gòu)性.解析觀則能使學(xué)生體會幾何與代數(shù)之間的關(guān)系,感受形與數(shù)的互為表里,養(yǎng)成從數(shù)和形兩個角度思考問題的習(xí)慣,訓(xùn)練思維的嚴(yán)密性.以球的結(jié)合體問題為載體,概念、原理為本,學(xué)科一般觀念導(dǎo)向下的解題訓(xùn)練,是鞏固“四基”,提升“四能”,發(fā)展相關(guān)核心素養(yǎng)的有效之舉.