吳慧 朱福勝

（1.集美大學(xué)理學(xué)院福建廈門361021；2.廣東省饒平縣錢東中學(xué)廣東潮州515726）

一、問(wèn)題的提出

高中階段是人生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要階段。高中階段數(shù)學(xué)教育應(yīng)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界。PISA也將閱讀、數(shù)學(xué)與科學(xué)素養(yǎng)作為學(xué)生適應(yīng)未來(lái)生活應(yīng)具備的基本素養(yǎng)。［1］2019年，國(guó)務(wù)院辦公廳《關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見(jiàn)》中明確指出：“按照教學(xué)計(jì)劃循序漸進(jìn)開(kāi)展教學(xué)，提高課堂教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)掌握各學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法，培養(yǎng)適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力?！睂W(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要場(chǎng)所，課堂學(xué)習(xí)行為可以反映學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、思維方式和理解水平，不同模塊的課堂學(xué)習(xí)行為的對(duì)比研究可以為教學(xué)改進(jìn)指明方向、取長(zhǎng)補(bǔ)短，追求課堂質(zhì)量的最優(yōu)化。

高一數(shù)學(xué)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高一數(shù)學(xué)知識(shí)占了高考總分的60%以上，函數(shù)與立體幾何在高一數(shù)學(xué)中有著極其重要的地位，既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。就內(nèi)容而言，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)核心知識(shí)，貫穿高中整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始末，起著決定性的作用；立體幾何也是高中數(shù)學(xué)經(jīng)典且重要的內(nèi)容，是學(xué)習(xí)空間向量的基礎(chǔ)?！皵?shù)學(xué)之所以在靈活性和重要性上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)那些依賴于它的科學(xué)，是因?yàn)樗耆诉@些科學(xué)的研究對(duì)象和許許多多的別的東西?！保?］基于較長(zhǎng)時(shí)間的個(gè)人觀察和感悟，通過(guò)與一線教師、教研員的交流，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在從初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變過(guò)程中，對(duì)于不同的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，其課堂學(xué)習(xí)行為的表現(xiàn)是不同的。由此，筆者基于觀察、記錄、數(shù)據(jù)分析，探討在高一函數(shù)和立體幾何課堂上學(xué)生學(xué)習(xí)行為所表現(xiàn)出的規(guī)律、特點(diǎn)以及影響因素等。

二、數(shù)據(jù)的收集

（一）“高中數(shù)學(xué)課堂學(xué)生學(xué)習(xí)行為觀察量表”的設(shè)計(jì)

根據(jù)學(xué)生在課堂表現(xiàn)的外顯行為以及高中數(shù)學(xué)課堂固有的特點(diǎn)，我們把高中數(shù)學(xué)課堂學(xué)生學(xué)習(xí)行為分為四個(gè)一級(jí)維度，分別是傾聽(tīng)行為、言說(shuō)行為、操作行為以及無(wú)效行為：傾聽(tīng)行為分為聽(tīng)教師、聽(tīng)學(xué)生；言說(shuō)行為包括提問(wèn)、回答、交流、評(píng)價(jià)；操作行為包括思維操作、記筆記、做習(xí)題；無(wú)效行為包括靜默等待、發(fā)呆、做小動(dòng)作、打瞌睡、閑聊等。課堂觀察量表由兩個(gè)層次構(gòu)成，其中一級(jí)維度4個(gè)，分別定為A、B、C、D；二級(jí)維度有14個(gè)，分別定為A1、A2、B1、B2、B3、B4、C1、C2、C3、D1、D2、D3、D4、D5，如表1所示。

表1 高中數(shù)學(xué)課程學(xué)生學(xué)習(xí)行為觀察量表

（二）“高中數(shù)學(xué)課堂學(xué)生學(xué)習(xí)行為觀察量表”的信效度

本文的觀察量表是在文獻(xiàn)分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合高中數(shù)學(xué)課堂學(xué)生學(xué)習(xí)行為的外在表現(xiàn)設(shè)計(jì)的，并經(jīng)過(guò)專家們的論證與修訂，所以該觀察量表具有較好的內(nèi)容效度。然后請(qǐng)兩位高中數(shù)學(xué)老師A、B分別用這份觀察量表對(duì)函數(shù)單調(diào)性的課堂環(huán)節(jié)——例題講解（第20分鐘到第29分鐘）的“聽(tīng)教師”“聽(tīng)同學(xué)”“思維操作”“靜默等待”“發(fā)呆”這幾個(gè)學(xué)習(xí)行為進(jìn)行觀察記錄（這五種學(xué)習(xí)行為是最容易混淆的），然后運(yùn)用SPSS 20.0中的Pearson相關(guān)性、Spearman的rho分析其相關(guān)關(guān)系。分析結(jié)果為：A和B教師的Pearson相關(guān)性是0.998、Spearman的rho相關(guān)系數(shù)是0.985，而它們的顯著性值都是0.000，都小于0.01，所以它們有顯著的相關(guān)性，據(jù)此評(píng)判該量表在使用中具有良好的信度。

（三）“高中數(shù)學(xué)課堂學(xué)生學(xué)習(xí)行為觀察量表”的記錄

研究對(duì)象是某完全中學(xué)高一（4）班全體學(xué)生，總?cè)藬?shù)53人。該完全中學(xué)的學(xué)生基礎(chǔ)比較薄弱，入學(xué)的數(shù)學(xué)平均分約71分（滿分120分）。授課老師是同一個(gè)人，具有近20年的一線教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。觀察記錄的兩節(jié)課是函數(shù)的單調(diào)性和線面垂直的判定，主要采用的教學(xué)方法是講授法。這兩節(jié)課都是函數(shù)和立體幾何內(nèi)容的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，要求有一定的知識(shí)儲(chǔ)備，也是后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)。觀察者首先在同一時(shí)間間隔里對(duì)各個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)行為做出判定，然后統(tǒng)計(jì)各種學(xué)習(xí)行為的人數(shù)，接著填入編碼系統(tǒng)的相應(yīng)編碼里，形成一個(gè)連續(xù)的數(shù)據(jù)記錄表。表中每行表示每20秒的各種學(xué)習(xí)行為的數(shù)量，豎列表示一節(jié)課的時(shí)間為45分鐘。課堂觀察時(shí)先記錄第一橫行，再記錄第二橫行，依次類推，一節(jié)課會(huì)有1890個(gè)數(shù)字。

三、結(jié)果與分析

（一）兩節(jié)課學(xué)習(xí)行為一級(jí)維度的對(duì)比分析

從學(xué)習(xí)行為人數(shù)統(tǒng)計(jì)量的平均值看，函數(shù)單調(diào)性和線面垂直判定這兩節(jié)課的“傾聽(tīng)行為”均值分別是37.15和33.85，“言說(shuō)行為”的均值分別是19.30和9.09，而“操作行為”的均值分別是13.78和16.48，“無(wú)效行為”的均值分別是11.64和20.07。接著，把學(xué)生學(xué)習(xí)行為各自對(duì)應(yīng)作為兩獨(dú)立樣本，通過(guò)Explorer過(guò)程檢測(cè)數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布。得到結(jié)果為，“傾聽(tīng)行為”“言說(shuō)行為”“操作行為”和“無(wú)效行為”的Kolmogorov-Smirnovb和Shapiro-Wilk的統(tǒng)計(jì)量都是大于0.05，都符合正態(tài)分布。兩者“傾聽(tīng)行為”的Kolmogorov-Smirnovb的統(tǒng)計(jì)量分別是0.188和0.186，而Shapiro-Wilk的 統(tǒng) 計(jì) 量 分 別 是0.851和0.894，如表2所示。

表2 正態(tài)性檢驗(yàn)a

然后，進(jìn)行兩獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)，得到結(jié)果為，“傾聽(tīng)行為”的方差方程的Levene檢驗(yàn)F統(tǒng)計(jì)量的值是2.300，對(duì)應(yīng)的置信水平是0.131，說(shuō)明兩樣本方差之間不存在顯著差別，所以采用的方法是兩樣本等方差T檢驗(yàn)。它對(duì)應(yīng)t的統(tǒng)計(jì)量的值是2.020，自由度是161，95%的置信區(qū)間是（0.074，6.540），臨界置信水平為0.045，小于5%。說(shuō)明兩節(jié)課的“傾聽(tīng)行為”有著明顯的差異，如表3所示。

表3 獨(dú)立樣本檢驗(yàn)

同理，可以得到，“言說(shuō)行為”和“無(wú)效行為”的臨界置信水平都是0.000，遠(yuǎn)小于5%，說(shuō)明兩節(jié)課的這些學(xué)習(xí)行為有顯著的差異。而“操作行為”的臨界置信水平是0.121，說(shuō)明兩節(jié)課的這一學(xué)習(xí)行為沒(méi)有明顯的差異。

（二）兩節(jié)課學(xué)習(xí)行為二級(jí)維度的對(duì)比分析

總體來(lái)說(shuō)，函數(shù)單調(diào)性課堂上有關(guān)學(xué)習(xí)行為的人數(shù)均值大多數(shù)都高于線面垂直判定的課堂有關(guān)學(xué)習(xí)行為，如“聽(tīng)教師”的均值分別是40.87和35.06，標(biāo)準(zhǔn)差是6.693和8.232，“回答”（群答）的均值分別是29.83和19.75。函數(shù)單調(diào)性課堂上無(wú)效行為低于線面垂直判定的課堂無(wú)效行為，如“靜默等待”分別是368和886人次，“做小動(dòng)作”的分別是476和637人 次。

二級(jí)維度的分析方法跟一級(jí)維度相同，得到結(jié)果為“聽(tīng)教師”“聽(tīng)同學(xué)”“提問(wèn)”“回答”“交流”“評(píng)價(jià)”“思維操作”“記筆記”“做習(xí)題”“靜默等待”“發(fā)呆”“做小動(dòng)作”“打瞌睡”和“閑聊”等學(xué)習(xí)行為的Kolmogorov-Smirnovb和Shapiro-Wilk的統(tǒng)計(jì)量都是大于0.05，都符合正態(tài)分布。

兩獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)得到結(jié)果為，“聽(tīng)教師”的方差方程的Levene檢驗(yàn)F統(tǒng)計(jì)量的值是0.775，對(duì)應(yīng)的置信水平是0.380，它對(duì)應(yīng)t的統(tǒng)計(jì)量的值是4.360，自由度是125，95%的置信區(qū)間是（3.173，8.448），臨界置信水平為0.000，遠(yuǎn)小于5%，這說(shuō)明兩節(jié)課的“聽(tīng)教師”這一學(xué)習(xí)行為有著明顯的差異，如表4所示。

表4 獨(dú)立樣本檢驗(yàn)

“聽(tīng)同學(xué)”的方差方程的Levene檢驗(yàn)F統(tǒng)計(jì)量的值是5.939，對(duì)應(yīng)的置信水平是0.020，小于0.050，說(shuō)明兩樣本方差之間存在顯著差別，所以采用的方法是兩樣本不相等方差T檢驗(yàn)。它對(duì)應(yīng)t的統(tǒng)計(jì)量的值是-0.395，自由度是32.252，95%的置信區(qū)間是（-10.991，7.420），臨界置信水平為0.695.遠(yuǎn)大于5%。說(shuō)明兩節(jié)課的“聽(tīng)同學(xué)”這一學(xué)習(xí)行為沒(méi)有明顯的差異，如表5所示。

表5 獨(dú)立樣本檢驗(yàn)

同理，可以得到，“提問(wèn)”“評(píng)價(jià)”“思維操作”“做習(xí)題”“靜默等待”和“閑聊”的臨界置信水平大于5%，說(shuō)明兩節(jié)課的這些學(xué)習(xí)行為沒(méi)有明顯的差異。而“回答”“交流”“記筆記”“發(fā)呆”“做小動(dòng)作”和“打瞌睡”的臨界置信水平小于5%，說(shuō)明兩節(jié)課的這些學(xué)習(xí)行為具有明顯差異。

四、研究結(jié)果的討論

選取的兩節(jié)課有一定的代表性，函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)模塊的重要組成部分，線面垂直判定是立體幾何不可缺少的部分，在立體幾何的學(xué)習(xí)起著承上啟下的作用。從上面的數(shù)據(jù)分析，可以得到函數(shù)與立體幾何的課堂學(xué)習(xí)行為有著顯著的差異。函數(shù)課堂的有關(guān)學(xué)習(xí)行為明顯多于立體幾何的課堂，表現(xiàn)出學(xué)習(xí)興趣更加濃烈、課堂氣氛更加活躍、與教師的互動(dòng)更多，歸結(jié)的原因有以下幾點(diǎn)：

（一）知識(shí)結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗(yàn)水平不同

函數(shù)從初中開(kāi)始接觸學(xué)習(xí)，學(xué)生相對(duì)比較熟悉，有一定的學(xué)習(xí)興趣，上課能集中精神聽(tīng)講，主動(dòng)回答問(wèn)題，積極參加各種教學(xué)活動(dòng)；而立體幾何的知識(shí)點(diǎn)是從空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖到表面積體積，再到點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，學(xué)生在高一才開(kāi)始學(xué)習(xí)，剛接觸有一定興趣，但是隨著后面知識(shí)難度的增大，學(xué)生失去了興趣，有的學(xué)生為了分?jǐn)?shù)而學(xué)，而有的學(xué)生甚至放棄學(xué)習(xí)。已有研究表明，“學(xué)生解答幾何基本題上表現(xiàn)較差，而對(duì)代數(shù)基本知識(shí)和基本技能的掌握較好。對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)，幾何比代數(shù)難學(xué)，許多學(xué)生連基本題也做不好；其次是兩極分化比較嚴(yán)重”。［3］這種差異體現(xiàn)在兩節(jié)課的“回答”“交流”“記筆記”學(xué)習(xí)行為有著明顯的差異，其臨界置信水平小于5%?？傊瘮?shù)的學(xué)習(xí)是螺旋式上升，更多地體現(xiàn)學(xué)習(xí)過(guò)程的同化；而立體幾何是直線式的學(xué)習(xí)，更多地體現(xiàn)學(xué)習(xí)過(guò)程的順應(yīng)。

（二）數(shù)學(xué)能力要求不同

函數(shù)離不開(kāi)“數(shù)”，“數(shù)”是學(xué)生從小學(xué)開(kāi)始就接觸學(xué)習(xí)的，而高中函數(shù)深化了由常量到變量的認(rèn)識(shí)。立體幾何是直觀與抽象，直覺(jué)與邏輯，猜想與論證相結(jié)合的模塊，在核心素養(yǎng)培養(yǎng)中，更需要邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)建模的能力，恰恰學(xué)生在這方面是薄弱的?！皩?duì)幾何學(xué)所需要的數(shù)學(xué)概念的抽象比代數(shù)學(xué)更為困難。許多人可能會(huì)認(rèn)為，幾何學(xué)概念的基礎(chǔ)是圖形，而圖形比數(shù)量更為直觀，因此是容易抽象的。事實(shí)上，越是直觀的事物、越是與我們的日常生活聯(lián)系密切的事物就越難抽象。”［4］所以在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，學(xué)習(xí)興趣不高，課堂表現(xiàn)平平，學(xué)生更容易走神或者有做小動(dòng)作等學(xué)習(xí)無(wú)關(guān)的行為。比如在線面垂直判定這節(jié)課中，“傾聽(tīng)行為”和“言說(shuō)行為”的人數(shù)統(tǒng)計(jì)量平均值都低于函數(shù)單調(diào)性這節(jié)課的均值，而“無(wú)效行為”的平均值是20.07，遠(yuǎn)高于函數(shù)單調(diào)性這節(jié)課的均值11.64。

（三）教學(xué)期望不同

由于函數(shù)和立體幾何在高考中的比重不同，可能導(dǎo)致教師對(duì)立體幾何的重視不夠。課堂教學(xué)是學(xué)生獲取信息、提高能力和養(yǎng)成思想觀念的主渠道［5］，但是在立體幾何教學(xué)中，存在教學(xué)方式單一的現(xiàn)象，有的教師忽略學(xué)生的認(rèn)知水平，直接把知識(shí)硬塞給學(xué)生，缺乏對(duì)學(xué)生的思維引導(dǎo)。同時(shí)，部分教師為了節(jié)約時(shí)間就放棄觀察或者直接把結(jié)論告訴學(xué)生，缺少學(xué)生自主探究，也缺少立體幾何知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系、缺少知識(shí)的拓展和延伸。例如在講解三棱錐側(cè)面積公式推導(dǎo)的時(shí)候，只有少數(shù)老師會(huì)讓學(xué)生在課堂上做個(gè)三棱錐，然后沿著母線剪開(kāi)，觀察各個(gè)部分的聯(lián)系，從而推導(dǎo)出三棱錐側(cè)面積公式。立體幾何的教學(xué)為了凸顯直觀性，教具是必不可少的，而有的農(nóng)村學(xué)校教具比較少甚至沒(méi)有，有的學(xué)校沒(méi)有多媒體教學(xué)，單單靠著黑板和粉筆，教學(xué)效果就更加大打折扣，這會(huì)造成學(xué)生在課堂上的不專心和走神。從統(tǒng)計(jì)結(jié)果看，兩節(jié)課的“發(fā)呆”“做小動(dòng)作”和“打瞌睡”等行為的臨界置信水平小于5%，說(shuō)明兩節(jié)課的這些行為有著明顯的差異。

（四）課程結(jié)構(gòu)不同

立體幾何分布在必修課程的主題三和選擇性必修課程的主題二，內(nèi)容分布在不同的模塊。在整個(gè)教學(xué)中，立體幾何安排的課時(shí)是40多個(gè)課時(shí)，大多數(shù)課時(shí)都是用來(lái)講授新課，練習(xí)、討論時(shí)間少?？梢?jiàn)，立體幾何的內(nèi)容多且課時(shí)少，所以教師的課堂教學(xué)方式大多是講授式。盡管兩節(jié)課采用的都是講授法，在“聽(tīng)同學(xué)”“提問(wèn)”“評(píng)價(jià)”“思維操作”“做習(xí)題”等二級(jí)維度學(xué)習(xí)行為的差別不大，但“聽(tīng)教師”學(xué)習(xí)行為臨界置信水平為0.000，遠(yuǎn)小于5%，說(shuō)明兩節(jié)課的結(jié)構(gòu)有著明顯的差異。

五、啟示與建議

從上面的分析可知，學(xué)生在函數(shù)課堂上的表現(xiàn)明顯優(yōu)于在立體幾何課堂上的表現(xiàn)，造成這種差異的原因也是多方面的。當(dāng)然，學(xué)生的“學(xué)”離不開(kāi)教師的“教”。由此，從“教”的角度反思立體幾何教學(xué)中的不足，提出加強(qiáng)立體幾何教學(xué)的建議是必要的且是有益的。基于函數(shù)課堂上的學(xué)生學(xué)習(xí)行為表現(xiàn)，借鑒函數(shù)教學(xué)的思路，立體幾何教學(xué)可以加強(qiáng)函數(shù)與立體幾何的知識(shí)融入，滲透函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合方法，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，強(qiáng)化幾何直觀等，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)立體幾何知識(shí)的理解和牢固。

（一）開(kāi)拓教學(xué)資源，提升思想方法

教學(xué)資源的拓展，往往可從知識(shí)的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化入手，通過(guò)函數(shù)和立體幾何內(nèi)容的相互滲透，促進(jìn)學(xué)生融會(huì)貫通。兩節(jié)課的“聽(tīng)教師”有著顯著的差異，而它又是新授課的關(guān)鍵，所以在立體幾何內(nèi)容的講解中可以滲透函數(shù)的方法。例如：在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B2C3D4中，E、F分別是棱A1D1，A1B1的中點(diǎn)。（1）求異面直線DE與FC1所成的角；（2）求BC1和面EFBD所成的角。本題通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量方法來(lái)求角，用函數(shù)的方法解決立體幾何問(wèn)題。

（二）改進(jìn)互動(dòng)方式，促進(jìn)合理的同化或順應(yīng)

在函數(shù)教學(xué)中，往往可以尋找知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系和不同，促進(jìn)合理的同化和順應(yīng)，如二次函數(shù)的學(xué)習(xí)一般是從一次函數(shù)引入，對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)是指數(shù)函數(shù)的順應(yīng)。由于兩節(jié)課的“思維操作”沒(méi)有顯著的差異，立體幾何的教學(xué)往往也可這樣處理。例如，直線與平面的平行關(guān)系可由直線間的平行關(guān)系引入；又如線面垂直的判定和性質(zhì)其實(shí)是互逆的，即線面垂直的判定是：線線垂直?線面垂直，線面垂直的性質(zhì)是：線面垂直?線線垂直，兩者的同化或順應(yīng)水到渠成?！叭绻麑W(xué)生是被指導(dǎo)著去創(chuàng)造這一切，會(huì)容易學(xué)會(huì)、記住和遷移這些有價(jià)值的知識(shí)和能力，而如果是被強(qiáng)迫做的，那就不同了。”［6］此外，立體幾何還可運(yùn)用多種教學(xué)手段，如游戲、比賽、設(shè)置教學(xué)障礙等形式，幫助學(xué)生集中注意力。

（三）應(yīng)用現(xiàn)代化信息技術(shù)，豐富認(rèn)知表象

由于個(gè)體數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的不同，導(dǎo)致有的學(xué)生無(wú)法合理建構(gòu)立體幾何的空間關(guān)系。在“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對(duì)數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生深刻影響?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》指出：“要把信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題強(qiáng)有力的工具，致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂(lè)意并有更多的精力投入到現(xiàn)實(shí)、探究性的學(xué)習(xí)活動(dòng)?！币虼耍處煈?yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，優(yōu)化課堂教學(xué)，轉(zhuǎn)變教學(xué)與學(xué)習(xí)方式，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果［7］。例如：某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球面對(duì)接而成，該封閉幾何體內(nèi)部放入一個(gè)小圓柱體，且圓柱體的上下底面均與外層圓柱底面平行，求小圓柱體積的最大值。此題可以借助幾何畫板或者3Dmax構(gòu)造出幾何體，設(shè)小圓柱底面半徑為r，根據(jù)小圓柱高h(yuǎn)的變化觀察體積的變化，在變化中發(fā)現(xiàn)有一個(gè)直角三角形，滿足r2+（h-5）2=52，然后列出體積函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出最值。

（四）通過(guò)多元表征，深入理解數(shù)學(xué)

要充分利用教材，培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖、辨圖、畫圖能力?？臻g想象能力是學(xué)好立體幾何必不可少的能力，要注重實(shí)物教學(xué)，直觀感知，豐富學(xué)生的表象儲(chǔ)備，循序漸進(jìn)，打好基礎(chǔ)。例如，在高一剛接觸立體幾何時(shí)，可以給學(xué)生呈現(xiàn)長(zhǎng)方體、正方體、柱、錐、球等的實(shí)際模型，并指導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)角度觀察，在大腦中形成豐富的表象，以此來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。又如兩節(jié)課的“傾聽(tīng)行為”和“言說(shuō)行為”有著顯著的差異，所以可以通過(guò)函數(shù)表征來(lái)深入理解立體幾何概念。例如已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，求異面直線AA1和BD1的距離。此題可以利用向量構(gòu)建從“形”到“數(shù)”的橋梁，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值問(wèn)題。