唐永

摘? ? 要：追問能夠引領(lǐng)學生積極思維、深度思維，讓數(shù)學課堂走向深度學習.在理解教材、理解學生、理解教學的基礎上，教師要進行課堂教學追問設計，在概念建構(gòu)中追問，讓學生把握本質(zhì)，促進整體理解;在公式、定理推導中追問，搭建思維支架，促進遷移應用;在性質(zhì)探究中追問，讓學生溯本探源，構(gòu)建深度聯(lián)系;在問題解決中追問，啟發(fā)學生探究，促進思維進階.

關(guān)鍵詞：深度學習;思維;追問

“深度學習”是一個與“淺層學習”相對的概念，反對孤立記憶、機械訓練和非批判性接受知識，重視知識的關(guān)聯(lián)、整合與批判性建構(gòu)，重視學習遷移與問題解決，是一種以發(fā)展高階思維、關(guān)鍵能力為價值取向的學習方式[1].

思維始于問題，而追問能引領(lǐng)思維，助推實現(xiàn)深度學習.“追問”是追根究底地查問，多次地問.這就需要教師運用智慧，對學生初始問題的回答做出準確的判斷，及時捕捉契機，設計一系列問題提問.教學中通過“環(huán)環(huán)相扣”“步步推進”的追問，促使學生改變被動應付的淺層學習方式，引領(lǐng)學生積極思維、持續(xù)思維、深度思維，促進學生探究知識本質(zhì)，從而走向基于理解、遷移應用的深度學習狀態(tài)，最終達到發(fā)展學生思維的目的.

一、在概念建構(gòu)中追問：把握本質(zhì)，促進整體理解

深度學習是有意義的學習，不是簡單被動的接受，而是積極主動的同化;深度學習更是理解性學習，通過切身的體驗和深入的思考，實現(xiàn)對知識意義的深度理解.數(shù)學概念是思維的重要形式之一，概念的理解是數(shù)學理解的基礎，數(shù)學概念學習呼喚深度學習.當我們完成概念的引入，學生對概念還處于一個感性認識階段，沒有在同化的基礎上實現(xiàn)概念的順應，沒有上升到理性認識，還談不上理解.此時就需要“趁熱打鐵”，對學生進行一系列的追問，倒逼、點燃他們的思維，促使他們把握概念的本質(zhì)，實現(xiàn)對概念的深度建構(gòu)和整體理解.

案例1? ?“函數(shù)的單調(diào)性”教學片段

追問1：在區(qū)間[I]內(nèi)取兩個值[x1]，[x2]，如[x1=1]，[x2=2]，有[f（1）

意圖：讓學生通過舉反例來說明.假如[f（1）

追問2：對于區(qū)間[I]上的任意的[x1，x2]，當[x1

意圖：單調(diào)性概念形成過程中，缺少逆向問題，概念的形成不完備.從反面角度說明這個概念即可以作為判定定理，也可以作為性質(zhì)定理，是充要條件，具有完備性，它有利于知識的拓展遷移和應用.

追問3： “函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[I]上單調(diào)遞增”和“[f（x1）-f（x2）x1-x2>0]”及“[（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0]”等價嗎？

意圖：挖掘概念的內(nèi)涵，尋找概念的其他變形、等價形式.

追問4：若定義在區(qū)間[[a，b]]上的函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[[a，c]]上是增函數(shù)，在區(qū)間[[c，b]]上也是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間[[a，b]]上是增函數(shù).這個說法正確嗎？若把區(qū)間[[c，b]]改成區(qū)間[（c，b]]，上述說法又會怎樣呢？

意圖：讓學生畫圖觀察，從“形”的角度，建立或健全與增函數(shù)或減函數(shù)相對應的圖象特征.尤其是對一類特殊函數(shù)——分段函數(shù)的單調(diào)性判斷做鋪墊，而這恰是學生后期最容易犯錯的地方.

[評析]單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，其形式化定義是教學的難點.借助追問，把抽象定義具體化、直觀化，促進學生從“正”和“反”、“數(shù)”和“形”，多角度地把握單調(diào)性概念的數(shù)學本質(zhì)，實現(xiàn)整體理解.

二、在公式（定理）推導中追問：搭建思維支架，促進遷移應用

深度學習提倡學生把學過的知識、方法遷移應用到新的問題情境之中 ，形成解決問題的策略和方案，在問題解決中批判性地學習新知識、掌握新方法，并整合到原有的認知結(jié)構(gòu)中.這就是思維過程中的“感知—決策—行動”，如此循環(huán)往復，從而推動認知思維以迭代的方式不斷向前發(fā)展或是升級.

案例2? ?“等差數(shù)列前[n]項和公式”的教學片段

問題：如何計算S=1+2+…+100=？

生1：利用高斯加法，S=1+2+…+100=（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050.

追問1：高斯加法是一種什么算法？它的本質(zhì)又是什么？

師生互動：高斯加法就是首尾配對法，將不同數(shù)的求和問題轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和問題，這時加法運算就上升到乘法的運算，是一種飛躍.

追問2：如何計算[Sn=1+2+3+…+n=]？

生2：當[n]是偶數(shù)，[Sn=1+2+3+…+n=（1+n）×n2=n（n+1）2].當[n]是奇數(shù)，[Sn=1+2+3+ …+n=[ 1+ 2+ 3+…+ n+（n+ 1）] -（n+1）][=（n+1）（n+2）2-（n+1）][=n（n+1）2].

追問3：不討論能計算嗎？

師生活動：當[n]是偶數(shù)，[Sn=1+2+3+…+n]可以通過配對分組計算，但是，[n]是奇數(shù)時就無法直接配對分組，所以，必須對[Sn=1+2+3+…+n]進行加工改造，確保是偶數(shù)個數(shù)的和.學生經(jīng)過思考、討論，發(fā)現(xiàn)兩邊再加一個（[1+2+3+…+n]），即[2Sn=（1+2+3+…+n）+（1+2+3+…+n）=（1+n）+（2+n-1）+]…+（n+1），實現(xiàn)了配對分組，轉(zhuǎn)化為[n]個[（n+1）]的和.

追問4： 你能利用上述方法求一般等差數(shù)列[an]的前[n]項和嗎？能給它起個名字嗎？

追問5： 從通項公式[an=a1+（n-1）d]出發(fā)，你能利用倒序相加法再次求等差數(shù)列的前[n]項和嗎？

[評析] “遷移與應用”是判斷深度學習是否真正發(fā)生的主要依據(jù)之一.等差數(shù)列前[n]項和公式的推導教學中，針對學生對高斯加法的認知窄化，設計了5個恰時恰點的追問，搭建思維的支架，讓學生“知其一也要知其二”， 使學生在深刻理解高斯加法本質(zhì)（配對分組）的基礎上，自主遷移應用到等差數(shù)列的求和問題中，形成新的方法——倒序相加法.

三、在性質(zhì)探究中追問：溯本探源，構(gòu)建深度聯(lián)系

奧蘇貝爾的認知同化學習理論認為，深度學習是對認知結(jié)構(gòu)中現(xiàn)有的信息要素進行重新組合的過程，是構(gòu)建內(nèi)在聯(lián)系的過程 [2].這一理論告訴我們，在數(shù)學教學過程中，要注重尋找核心知識與思想方法之間的內(nèi)在邏輯線索，并構(gòu)建深度聯(lián)系.

案例3? ?“橢圓的幾何性質(zhì)——離心率”的引入片段

師：觀察兩個橢圓[x225+y216=1]和[x225+y24=1]的簡圖，你覺得最大區(qū)別是什么？

生1：一個圓一點，一個扁一點.

追問1：可以用什么量刻畫橢圓的圓與扁的程度？

生2：用比值[ba]刻畫. [ba]越大，意味著橢圓的短軸長接近長軸長，橢圓越圓;反之，橢圓越扁.

追問2：很有道理！但是橢圓定義中只涉及[a]、[c]兩個原始量，是本源的參數(shù)，而[b]是后來推導橢圓標準方程時引入的參數(shù)，能否用含[a]和[c]的一個量刻畫橢圓的“扁”的程度？

教師用幾何畫板演示，設置兩種按鈕：（1）固定[2a]，變化[2c];（2）固定[2c]，變化[2a].

生3：觀察發(fā)現(xiàn)可以用[ca]表示.

追問3：用[ba]和[ca]刻畫橢圓“扁”的程度一致嗎？

生4：由式子[ca=1-（ba）2]可以看出，[ba]和[ca]是相互聯(lián)系的. [ca]變大[?][ba]變小[?]橢圓變扁;[ca]變小[?][ba]變大[?]橢圓變圓.

[評析] 在這種“追問”式的教學過程中，引導學生溯本探源，分析探尋到刻畫橢圓 “扁圓”程度的本源量[ca]，同時揭示[ba]和[ca]之間的邏輯關(guān)系，形成完整的知識鏈，建構(gòu)深度的聯(lián)系.

四、在問題解決中追問：啟發(fā)探究，促進思維進階

布魯姆的教育目標分類學把教學目標分為六大層次，即識記、理解、應用、分析、綜合、評價.其中后面四層對應著深度學習的認知水平，體現(xiàn)問題解決、批判性思維和創(chuàng)造性思維等高階思維.在問題解決中通過連續(xù)的追問，開發(fā)出一些本源性數(shù)學問題，圍繞這些問題將探究引向深入，增強學生思維的深刻性，發(fā)展學生的高階思維能力.

案例4? ?在[△ABC]中，[BC]為定長，

+2? ? ?=3[BC] ，若[△ABC]面積的最大值為2，則邊[BC]的長為________.

師：大部分同學通過建系，計算得到點[A]的軌跡是一個圓，這是解題的關(guān)鍵.能否不建系，發(fā)掘等式[? ? ?+2? ? ? ]=3[BC] 直接獲得點[A]的軌跡呢？

追問1：從運算角度， [AB] +2[AC] 是向量的加法運算，如何才能計算下去？

生1：如圖1，延長[AC]至[D]使[C]為[AD]中點，取[BD]中點[E]，連接[AE].設[AE?BC=G]，則[G]為[△ABD]的重心.根據(jù)平行四邊形法則，[AB] +2[AC] =[AB] +[AD] =2[AE] .由[? ? ?+2? ? ? ]=3[BC] 得2[AE] =3[BC] ，則[? ? ?]=[23] [? ? ?]=[? ? ?]，因為[? ? ?]為定長，所以點[A]的軌跡是以[G]為圓心，[? ? ?]長為半徑的圓.

追問2：從向量的系數(shù)來看1+2=3，還可作怎樣變形？

學生恍然大悟，兩邊同時除以3，發(fā)現(xiàn)

[AB] +? ? [AC] 中的系數(shù)和為1，可以利用三點共線的結(jié)論.令[AG] =[13]? ? ? +? ? [AC] ，則[B]、[G]、[C]三點共線，且[BG] =2[GC] ，由[? ? ?]=[? ? ?]知，點[A]的軌跡是以[G]為圓心，[? ? ?]長為半徑的圓.

追問3：從結(jié)構(gòu)看，等式[? ? ?+2? ? ? ]=3[BC] 兩邊都是向量的模，常常又怎樣處理呢？

生2：模的平方處理.

（[AB] +2[AC] ）2=（3[BC] ）2[?]（[AB] +2[AC] +3[BC] ）（[AB] +2[AC] -3[BC] ）=0，下面我不知道怎么辦？

師：等式中含有三個量[AB] 、[AC] 和[BC] ，而[BC] 的模為定值，當作已知量，所以可以考慮減元[AB] 或[AC] .

生3：將[AB] =[AC] +[CB] =[AC] -[BC] 代入上式得，（[AC] +? ?[BC] ）（[AC] -? ?[BC] ）=0，

作[CD] =? ?[BC] ，[CE] =-? ?[BC] =? ?[CB] ，如圖2所示，所以[AC] +? ?[BC] =[AC] +[CD] =[AD] ，[AC] -? ? ? ? ?[BC] =[AC] +? ? [CB] =[AC] +[CE] =[AE] ，則[AD] ·[AE] =0，且[DE=2BC]，所以點[A]的軌跡是以[DE]為直徑的圓.

[評析]問題是深度學習的載體，深度學習的過程往往是圍繞著具有挑戰(zhàn)性的問題開展的探究性活動過程. 從不同的角度對條件“[? ? ?+2? ? ? ]=3[? ? ?]”展開追問，生成三個本源性問題，啟發(fā)學生探究，獲取更多的方法，在提升學生綜合運用知識能力的同時發(fā)展創(chuàng)造性思維.

總之，追問是教師和學生之間的深度對話.要在充分理解教材、理解學生、理解教學的基礎上設計追問，要在學生思維的瓶頸堵塞點、轉(zhuǎn)化鏈接點、拓展放射點上適時、適度地追問，不斷將課堂學習推向更深層次的有意義、理解性學習，這樣才能讓課堂更加充滿活力，才能讓深度學習更有燃點和沸點.[□][◢]

參考文獻：

[1]袁國超.基于核心素養(yǎng)的深度學習實現(xiàn)路徑[J]. 江蘇教育研究，2019（11）：4-8.

[2]王有茂. 基于問題解決的數(shù)學深度學習[J].中學數(shù)學，2020（4）：45-47.