（甘肅省和政縣第五中學(xué)，甘肅 和政 731200）

數(shù)學(xué)教學(xué)從本質(zhì)上來說不同于其他學(xué)科，它以培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和計(jì)算能力為主，同時(shí)它也是生活中的一個(gè)非常重要的工具.因此，作為數(shù)學(xué)教學(xué)工作者，務(wù)必以“培養(yǎng)學(xué)生能力”和“教會學(xué)生用數(shù)學(xué)”為主要目標(biāo)去實(shí)施教學(xué).那么如何才能做到這兩點(diǎn)呢？我想，應(yīng)該在有限的教學(xué)時(shí)間內(nèi)，加強(qiáng)學(xué)生辨析思維能力，通過教學(xué)中的不斷變化，讓學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，從而達(dá)到提高課堂效率且又做到對人的培養(yǎng)的雙重任務(wù)！下面將通過幾個(gè)案例，來談?wù)勛兪接?xùn)練給課堂高效帶來的益處.

案例一八年級上冊第二章第五節(jié)“等腰三角形的軸對稱性”第二課時(shí).

例題如圖1，在△ABC 中，AB=AC，角平分線BD、CE 相交于點(diǎn)O.那么OB與OC 相等嗎？請說明理由.

解OB=OC.

在△ABC 中，因?yàn)锳B=AC，

所以∠ABC=∠ACB（等邊對等角）.

又因?yàn)锽D、CE 分別是∠ABC、∠ACB 的平分線，

所以∠1=12 ∠ABC，∠2=12 ∠ACB，

所以∠1=∠2.

在△OBC 中，因?yàn)椤?=∠2，

所以O(shè)B=OC（等角對等邊）.

變式有3 種方式：（1）條件改變，結(jié)論不變；（2）條件不變，結(jié)論改變；（3）條件和結(jié)論都改變.

下面通過第一種方式（條件改變，結(jié)論不變）對上題進(jìn)行變化.

變式1 如圖1，在△ABC 中，AB=AC，兩腰上的中線BD、CE 相交于點(diǎn)O.那么OB 與OC 相等嗎？請說明理由.

解OB=OC.

在△ABC 中，因?yàn)锳B=AC，

所以∠ABC=∠ACB（等邊對等角）.

又因?yàn)锽D、CE 分別是腰AC、AB 上的中線，

所以AD=DC，AE=EB.

由AB=AC，得BE=CD（等式的性質(zhì)）.

在△EBC 和△DCB 中，EB=DC（已求），∠ABC=∠ACB（已求），BC=CB（公共邊），

所以△EBC ≌△DCB（SAS）.

所以∠1=∠2（全等三角形的對應(yīng)角相等）.

在△OBC 中，因?yàn)椤?=∠2，

所以O(shè)B=OC（等角對等邊）.

變式2 如圖2，在△ABC 中，AB=AC，兩腰上的高BD、CE 相交于點(diǎn)O.那么OB 與OC 相等嗎？請說明理由.

解OB=OC.

在△ABC 中，因?yàn)锳B=AC，

所以∠ABC=∠ACB（等邊對等角）.

又因?yàn)锽D、CE 分別是腰AC、AB 上的高，

所以∠3=∠4=90°.

在Rt △EBC 和Rt △DCB 中，

∠ABC 與∠2 互余；∠ACB 與∠1 互余，

所以∠1=∠2（等角的余角相等）.

在△OBC 中，因?yàn)椤?=∠2，

所以O(shè)B=OC（等角對等邊）.

上述兩個(gè)變式還可以用其他方法求解說明理由，這里就不細(xì)說，只看兩個(gè)變式的效果.

這里只對條件進(jìn)行了改變，本題的主要設(shè)計(jì)意圖在于希望學(xué)生能通過“等角對等邊”的性質(zhì)去解決有關(guān)三角形的邊長相等問題，條件給出角平分線，學(xué)生就能很容易地想到角平分線定義的使用，從而想到課堂教學(xué)中跟角有關(guān)的內(nèi)容：等角對等邊.但是經(jīng)過兩個(gè)變式，將角平分線變成了與其類似的中線和高，既讓學(xué)生回憶了三角形的“三線”知識，又給了學(xué)生一定的思考空間：“雖然條件改了，但是結(jié)論沒變，既然還是判斷OB 和OC 的關(guān)系，只要說明∠1=∠2，就可以解決問題.”結(jié)果很明顯，這樣的變式，既能回顧學(xué)生以前的知識，又能調(diào)動學(xué)生的積極性，還能鞏固運(yùn)用本節(jié)課的主要內(nèi)容，一舉三得.

本題還可以將結(jié)論進(jìn)行改變.

變式3 如圖1，在△ABC 中，AB=AC，角平分線BD、CE 相交于點(diǎn)O.那么OD 與OE 相等嗎？請說明理由.

解OE=OD.

在△ABC 中，因?yàn)锳B=AC，

所以∠ABC=∠ACB（等邊對等角）.

又因?yàn)锽D、CE 分別是∠ABC、∠ACB 的平分線，

所以∠1=12 ∠ABC，∠2=12 ∠ACB.

所以∠1=∠2.

在△OBC 中，因?yàn)椤?=∠2，

所以O(shè)B=OC（等角對等邊）.

在△EBC 和△DCB 中，

∠ABC=∠ACB（已求），BC=CB（公共邊），∠2=∠1，

所以△EBC ≌△DCB（ASA）.

所以CE=BD.

由OB=OC，得OE=OD（等式的性質(zhì)）.

變式3 就是變式的第二種方式，條件不變，結(jié)論改變.經(jīng)過上述兩次變式，學(xué)生基本能夠掌握解決此題的方法：等角對等邊.再通過此次變式，讓學(xué)生能夠充分感受數(shù)學(xué)的樂趣，在樂趣中掌握所學(xué)知識，此乃教學(xué)的真諦.

案例二八年級上冊第三章勾股定理.

例題Rt △ABC，若以三邊長為邊向外作正方形，如圖3，S1、S2、S3，則S1、S2、S3 有怎樣的關(guān)系？

分析本題通過《勾股定理》“a2+b2=c2”就可以得到面積關(guān)系S1+S2=S3.

變式1Rt △ABC，若以三邊長為直徑向外作半圓形，如圖4，S1、S2、S3，則S1、S2、S3 有怎樣的關(guān)系？

解S1=π·（a2）2=π4a2，

S2=π·（b2）2=π4b2，S3=π·（c2）2=π4c2.

因?yàn)閍2+b2=c2，

所以π4a2+π4b2=π4c2.

所以S1+S2=S3.

變式2Rt △ABC，若以三邊長為斜邊向外作等腰直角三角形，如圖5，S1、S2、S3，則S1、S2、S3 有怎樣的關(guān)系？

解S1=14a2，S2=14b2，S3=14c2.

因?yàn)閍2+b2=c2，所以14a2+14b2=14c2，

所以S1+S2=S3.

本題意在讓學(xué)生理解外圍圖形面積的關(guān)系與直角三角形的三邊長有關(guān)，體現(xiàn)勾股定理的一個(gè)應(yīng)用.不過，通過對外圍圖形的改變，加強(qiáng)學(xué)生計(jì)算面積的能力，并提高學(xué)生分析問題的內(nèi)在聯(lián)系的能力.要討論外圍面積的關(guān)系，必須通過直角三角形的三邊長以及勾股定理來轉(zhuǎn)化，思考方向還是比較固定，學(xué)生容易得出結(jié)論.其實(shí)本題還可以變式為“Rt △ABC，若以三邊長為邊向外作等邊三角形”，結(jié)論仍然成立，教師可以指導(dǎo)學(xué)生課后自己探究.