黃文文，宋 璐，史敬灼

(河南科技大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河南 洛陽 471023)

0 引 言

傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制應(yīng)對時(shí)變擾動的能力較差，在受到干擾作用時(shí)，傳統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制不能立即做出相應(yīng)變化，需等到下次迭代才能對干擾影響做出反應(yīng)。由此，可考慮將迭代學(xué)習(xí)與反饋控制相結(jié)合[1-3]，以提高迭代學(xué)習(xí)應(yīng)對擾動的能力，得到更好的控制性能。

最小方差控制考慮擾動對系統(tǒng)性能的影響，基于對未來時(shí)刻輸出的預(yù)測，按照預(yù)測方差最小的原則設(shè)計(jì)最優(yōu)控制律，是一種典型的自適應(yīng)控制算法。不過，最小方差控制不適用于非最小相位系統(tǒng)，且對控制量無約束，可能導(dǎo)致過快的響應(yīng)速度而影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。針對這些問題，提出了在目標(biāo)函數(shù)中引入加權(quán)多項(xiàng)式和控制量約束的廣義最小方差自校正控制，它通過調(diào)整加權(quán)多項(xiàng)式可得到良好的控制性能[4]。本文將廣義最小方差控制與迭代學(xué)習(xí)控制相結(jié)合，構(gòu)造一種包含預(yù)測與閉環(huán)控制機(jī)制的迭代學(xué)習(xí)控制策略，用于超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)速控制。

通過設(shè)計(jì)包含前次控制過程信息的2D優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和迭代控制律，利用廣義最小方差自校正控制方法來設(shè)計(jì)更新律，得到廣義最小方差迭代學(xué)習(xí)控制律，使其兼顧時(shí)間軸的控制性能和迭代軸的學(xué)習(xí)收斂性能，并具有良好的應(yīng)對實(shí)時(shí)擾動的能力。仿真和實(shí)驗(yàn)表明，所提控制策略及其設(shè)計(jì)方法有效，超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)表現(xiàn)出漸進(jìn)的學(xué)習(xí)收斂過程，控制效果良好。

1 廣義最小方差迭代學(xué)習(xí)控制策略

設(shè)被控對象可用如下自回歸滑動平均模型描述

A(z-1)yk(i)=z-dB(z-1)uk(i)+C(z-1)ξk(i)

(1)

其中

A(z-1)=1+a1z-1+a2z-2+…+anaz-na
B(z-1)=b0+b1z-1+b2z-2+…+bnbz-nb
C(z-1)=1+c1z-1+c2z-2+…+cncz-nc

(2)

d≥1，為純延時(shí)；yk(i)和uk(i)分別為第k次迭代控制過程中i時(shí)刻的輸出量和輸入量；ξk(i)為白噪聲。

針對模型式(1)描述的重復(fù)過程，給出如下形式的迭代學(xué)習(xí)控制律

uk(i)=uk-1(i)+lk(i)

(3)

式中，lk(i)為迭代更新律。

將控制律式(3)代入模型(1)得

A(z-1)yk(i)=z-dB(z-1)(uk-1(i)+lk(i))+C(z-1)ξk(i)

(4)

設(shè)計(jì)如下控制目標(biāo)函數(shù)

J=-E{[P(z-1)(yk(i+d)-yr(i))]2+
[Q(z-1)uk(i)]2+
[S(z-1)lk(i)]2}

(5)

式中，yr(i)為i時(shí)刻期望輸出；yk(i+d)為第i+d時(shí)刻的輸出；P(z-1)、Q(z-1)和S(z-1)分別為目標(biāo)函數(shù)中各項(xiàng)的加權(quán)多項(xiàng)式，反映控制性能需求，且有

P(z-1)=1+p1z-1+p2z-2+…+pnpz-np
Q(z-1)=q0+q1z-1+q2z-2+…+qnqz-nq
S(z-1)=s0+s1z-1+s2z-2+…+snsz-ns

(6)

式中，階次np、nq和ns由實(shí)際需要確定。需指出的是，與廣義最小方差自校正控制策略通常采用的目標(biāo)函數(shù)不同，式(5)所示目標(biāo)函數(shù)增加了lk(i)項(xiàng)以包含前次控制過程信息，使廣義最小方差自校正控制與迭代學(xué)習(xí)控制方法有機(jī)融合。

下面推導(dǎo)最優(yōu)預(yù)測模型，以給出未來時(shí)刻的輸出預(yù)測值，用于計(jì)算目標(biāo)函數(shù)。引入以下Diophantine方程

C(z-1)=A(z-1)E(z-1)+z-dG(z-1)

(7)

F(z-1)=B(z-1)E(z-1)

(8)

其中

E(z-1)=1+e1z-1+e2z-2+…+enez-ne(ne=d-1)

G(z-1)=g0+g1z-1+g2z-2+…+gngz-ng(ng=na-1)

F(z-1)=f0+f1z-1+f2z-2+…+fnfz-nf(nf=nb+d-1)

采用與廣義最小方差相同的方法推導(dǎo)最優(yōu)預(yù)測模型，所得最優(yōu)預(yù)測模型為

(9)

系統(tǒng)輸出為

(10)

由式(9)和Q(z-1)的表達(dá)式可得

(11)

(12)

將式(10)代入式(5)，取其對lk(i)的偏微分，結(jié)合式(11)和式(12)，并令其為0，可得

(13)

由式(13)可得使目標(biāo)函數(shù)取極小值的最優(yōu)控制律為

(14)

則廣義最小方差迭代學(xué)習(xí)控制律為

(15)

在廣義最小方差迭代學(xué)習(xí)控制律的設(shè)計(jì)過程中，需根據(jù)控制性能指標(biāo)要求，選定式(5)中的權(quán)值矩陣P、Q、S，隨后計(jì)算給出式(15)所示的廣義最小方差迭代學(xué)習(xí)控制律。

2 超聲波電機(jī)廣義最小方差迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制器設(shè)計(jì)

以Shinsei USR60兩相行波超聲波電機(jī)為控制對象，采用文獻(xiàn)[5]所建超聲波電機(jī)系統(tǒng)Hammerstein模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)與仿真分析。對模型中的非線性靜態(tài)環(huán)節(jié)求逆，并將其作為超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)速控制器的一部分，與ILC相串聯(lián)。它與超聲波電機(jī)非線性環(huán)節(jié)相抵消，實(shí)現(xiàn)非線性補(bǔ)償，ILC控制器作用于補(bǔ)償后的、主要特性呈線性的超聲波電機(jī)。因此，采用仿真分析方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)，僅考慮超聲波電機(jī)系統(tǒng)Hammerstein模型的線性動態(tài)環(huán)節(jié)，寫為式(1)形式可得

A(z-1)=-1-0.9416z-1+0.0623z-2+0.0471z-3-

0.0255z-4

B(z-1)=0.8218-0.6928z-1

(16)

另外，na=4、nb=1、d=1。取C(z-1)=1，則

E(z-1)=1,F(z-1)=f0+f1z-1
G(z-1)=g0+g1z-1+g2z-2+g3z-3

(17)

根據(jù)式(7)可得

G(z-1)=-z(1-A(z-1))=
0.9416-0.0623z-1-0.0471z-2+0.0255z-3

(18)

根據(jù)式(8)可得

F(z-1)=B(z-1)=0.8218-0.6928z-1

(19)

則有

(20)

式(20)用來計(jì)算預(yù)測輸出量。將控制律式(15)用作超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)速控制器，嘗試選取不同的P、Q、S取值，進(jìn)行迭代學(xué)習(xí)控制仿真。根據(jù)仿真所得轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)性能，確定合適的P、Q和S值。

取Q(z-1)=q0+q1z-1，式(15)成為

(21)

圖1 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(P=[1,0.8],Q=[2,-2],S=0.8)

圖2 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(P=[1,0.8],Q=[2,-2],S=0.8)

3 超聲波電機(jī)廣義最小方差迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制實(shí)驗(yàn)研究

對上述設(shè)計(jì)的超聲波電機(jī)廣義最小方差迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制策略進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，將轉(zhuǎn)速階躍給定值設(shè)定為30 r/min，控制參數(shù)與前述仿真設(shè)計(jì)所得參數(shù)相同，進(jìn)行迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制實(shí)驗(yàn)，得實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。由圖3可知，轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線逐漸趨于給定值，出現(xiàn)小幅度超調(diào)。在前五次迭代中，隨著迭代學(xué)習(xí)的進(jìn)行，調(diào)節(jié)時(shí)間持續(xù)減小，從0.2227 s減為0.0262 s，減小幅度為88.24%，第六次迭代因出現(xiàn)超調(diào)使得調(diào)節(jié)時(shí)間略有增大。

圖3 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(實(shí)測, 30 r/min)

將轉(zhuǎn)速階躍給定值改為90 r/min，控制參數(shù)不變，得實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示，轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線仍然逐漸趨于給定值，無超調(diào)，且隨著迭代的進(jìn)行，調(diào)節(jié)時(shí)間持續(xù)減小，從0.3144 s減為0.0524 s，減小幅度為83.33%，表明所提迭代學(xué)習(xí)控制策略適用于不同轉(zhuǎn)速，且不同轉(zhuǎn)速情況下的控制性能接近。表1給出了兩種轉(zhuǎn)速給定值情況下的迭代學(xué)習(xí)控制性能指標(biāo)數(shù)據(jù)。將圖3、圖4與圖1、圖2對比，仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果接近。上述結(jié)果表明所述迭代學(xué)習(xí)控制策略是有效的，結(jié)合仿真進(jìn)行的控制參數(shù)設(shè)計(jì)方法也是有效的。

表1 兩種轉(zhuǎn)速給定值情況下迭代學(xué)習(xí)控制性能指標(biāo)(實(shí)驗(yàn)結(jié)果)

圖4 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(實(shí)測, 90 r/min)

進(jìn)行間歇加載實(shí)驗(yàn)，控制參數(shù)不變，得到轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)如圖5所示。可以看出，圖5加載情況下，為應(yīng)對突加負(fù)載擾動，控制量在第2、4次迭代有所增加，但增量較小、不足以提供應(yīng)對突加負(fù)載所需要的控制量，使第2次和第4次迭代控制過程出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)誤差。圖6給出了與圖5對應(yīng)的控制量變化曲線，相比于第1次的空載情況，第3和5次的控制量有所增加，使得穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速值均略超出給定值；但隨著迭代的進(jìn)行，控制量逐漸減小，在第6次控制量已經(jīng)減小至與第1次基本一致，轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)值重新趨于給定值。

圖5 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(實(shí)測, 第2、4次階躍響應(yīng)負(fù)載0.2 Nm)

圖6 控制量變化曲線(實(shí)測, 30 r/min)

以上結(jié)果表明，在此控制律作用下，控制器對突加的負(fù)載擾動雖能立即做出響應(yīng)，但因?yàn)榈鷮W(xué)習(xí)過程對過往控制信息的記憶，延遲了控制量的變化；另外，由負(fù)載切換為空載時(shí)，例如第5次控制過程，也是因?yàn)榈鷮W(xué)習(xí)是從前次記憶中學(xué)習(xí)，前一次控制量的增加使得突然切換為空載后的控制量大于實(shí)際需求，穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速超過給定值。但隨著迭代的進(jìn)行，控制器能夠快速應(yīng)對穩(wěn)態(tài)誤差，第6次控制響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差已經(jīng)為0。

為考察不同負(fù)載轉(zhuǎn)矩情況下的控制效果，圖7給出了轉(zhuǎn)速給定值為90 r/min、第2、4次加載0.1 Nm情況下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)無穩(wěn)態(tài)誤差，性能指標(biāo)與空載的圖4情況接近。上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所述控制律對非重復(fù)性的負(fù)載擾動具有一定適應(yīng)能力。

圖7 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(實(shí)測，第2、4次階躍響應(yīng)負(fù)載0.1 Nm)

4 結(jié) 語

本文將迭代學(xué)習(xí)控制與廣義最小方差自校正控制相結(jié)合，給出了一種超聲波電機(jī)廣義最小方差迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制策略。通過設(shè)計(jì)迭代控制律，并在目標(biāo)函數(shù)中引入相應(yīng)的迭代控制項(xiàng)，將迭代學(xué)習(xí)與廣義最小方差控制有機(jī)結(jié)合，構(gòu)造廣義最小方差迭代學(xué)習(xí)控制律，使其同時(shí)具有沿迭代軸的學(xué)習(xí)收斂性和沿時(shí)間軸的控制穩(wěn)定性。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，通過調(diào)整目標(biāo)函數(shù)中的各加權(quán)系數(shù)值，可獲得良好的電機(jī)轉(zhuǎn)速控制性能，且對負(fù)載突變等非重復(fù)性擾動具有一定的適應(yīng)能力。