何 婷，喬俊強，包建勤，楊巧玲

(1.甘肅自然能源研究所，蘭州 730046；2.甘肅省太陽能光伏重點實驗室，蘭州 730046；3.甘肅省太陽能民用產(chǎn)品行業(yè)技術(shù)中心，蘭州 730046；4.蘭州理工大學 電氣工程與信息工程學院，蘭州 730050)

0 引 言

永磁同步電機具有高功率密度、高效率、高可靠性和便于維護等優(yōu)點。目前已經(jīng)開始替代異步電機用于高檔數(shù)控機床[1]、船舶電力推進系統(tǒng)[2]、新能源汽車驅(qū)動系統(tǒng)[3]、高鐵牽引系統(tǒng)[4]等工業(yè)領(lǐng)域。研究永磁同步電機高性能轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩控制具有重大的現(xiàn)實意義。模型預測控制(Model Predictive Control，MPC)作為一類在線尋優(yōu)的閉環(huán)控制算法，能夠顯著提升電機轉(zhuǎn)矩的動態(tài)性能，已經(jīng)成功應(yīng)用于電機驅(qū)動領(lǐng)域[5]。MPC由預測模型、目標函數(shù)和滾動優(yōu)化三部分組成[6]。按照MPC算法目標函數(shù)所對應(yīng)控制動作的不同，MPC分為有限集模型預測控制(Finite Control Set-MPC，F(xiàn)CS-MPC)[7]和連續(xù)集模型預測控制(Continuous Control Set-MPC，CCS-MPC)[8]兩類。

FCS-MPC通過目標函數(shù)計算逆變器各開關(guān)狀態(tài)對應(yīng)電壓矢量的控制效果來選擇最優(yōu)矢量，無需PWM調(diào)制技術(shù)輔助，電流響應(yīng)速度快，但單個周期只有一種開關(guān)狀態(tài)，電流諧波和轉(zhuǎn)矩脈動較大，魯棒性差[9-10]，同時由于采用在線窮舉方式確定目標函數(shù)最優(yōu)解，導致FCS-MPC計算量龐大。為減少FCS-MPC計算量，改善控制效果，文獻[11]首先求出期望電壓的矢量角，確定電壓矢量所在扇區(qū)，進而減少算法對開關(guān)狀態(tài)的選擇數(shù)量；文獻[12]將轉(zhuǎn)矩和定子磁鏈幅值的控制轉(zhuǎn)化為對定子磁鏈矢量的控制，從而省略了權(quán)重系數(shù)的設(shè)計過程，算法運算量顯著降低，并有效抑制轉(zhuǎn)矩脈動、定子磁鏈脈動。文獻[13]提出一種能克服電機參數(shù)失配的預測轉(zhuǎn)矩控制策略，并引入基于PI算法的預測誤差補償器，實驗表明該策略能夠消除參數(shù)變化對轉(zhuǎn)矩預測的影響。

CCS-MPC在預測過程中對電壓矢量空間平面范圍內(nèi)符合要求的最優(yōu)電壓矢量進行搜索，最后通過PWM調(diào)制合成此電壓矢量并輸出。由于連續(xù)集內(nèi)有無窮多個備選電壓矢量，無法采取窮舉尋優(yōu)法，因此需構(gòu)建相應(yīng)的優(yōu)化問題來求解最優(yōu)輸出電壓矢量，使得CCS-MPC計算更為復雜[14]。根據(jù)優(yōu)化問題不同，將CCS-MPC分為廣義預測控制(Generalized Predictive Control，GPC)[15]和顯式預測控制(Explicit Model Predictive Control，EMPC)[16]。GPC是將優(yōu)化問題進行離線求解來確定最優(yōu)控制律，EMPC將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為多參數(shù)二次規(guī)劃問題，把整個狀態(tài)空間分為多個凸劃分，每個凸劃分內(nèi)的二次規(guī)劃問題都可通過離線方式確定最優(yōu)控制規(guī)律。

綜上所述，F(xiàn)CS-MPC和CCS-MPC具有各自的特點，但是哪種方法更適用于于永磁同步電機驅(qū)動系統(tǒng)？評判標準是什么？目前的文獻少見報道。為進一步驗證它們性能的優(yōu)劣，以便在實際應(yīng)用中合理選擇，本文對傳統(tǒng)FCS-MPC和典型GPC進行對比研究。首先建立永磁同步電機數(shù)學模型，在此基礎(chǔ)上詳細闡述兩種模型預測控制的原理，并從穩(wěn)態(tài)性、系統(tǒng)復雜性、參數(shù)變化對算法的影響三個方面進行理論對比，最后通過仿真對這兩種控制算法在穩(wěn)態(tài)性、動態(tài)性及魯棒性三個方面進行仿真分析。

1 永磁同步電機數(shù)學模型

本文研究的對象是表貼式永磁同步電機，交直軸電感相等，即Ld=Lq=L，在d-q坐標系下永磁同步電機狀態(tài)方程：

(1)

式中，R為定子電阻；id、iq、ud、uq分別為d-q坐標系下電流、電壓；L為定子電感；ωe為電角速度；ψ為永磁體磁鏈。

永磁同步電機電磁轉(zhuǎn)矩方程：

Te=1.5pψiq

(2)

永磁同步電機的機械運動方程為：

(3)

式中，Te為電磁轉(zhuǎn)矩；p極對數(shù)；TL為負載轉(zhuǎn)矩；B為粘滯系數(shù)；J為轉(zhuǎn)動慣量；ωr為轉(zhuǎn)子機械角速度(ωrp=ωe)。

2 有限集模型預測控制原理

2.1 有限集定義

對于兩電平電壓型逆變器共有8種開關(guān)組合，其中有6種開關(guān)組合使直流母線側(cè)與電機側(cè)連通，稱這6種組合對應(yīng)的空間矢量為有效電壓矢量；同時存在2種組合使直流母線側(cè)與電機側(cè)不連通，電機定子線電壓幅值和相位均為零，對應(yīng)的空間電壓矢量稱為零矢量。將這8種矢量構(gòu)成的控制集稱為有限控制集(FCS)，F(xiàn)CS-MPC指僅從該控制集中選擇控制輸入。

FCS={Vi=V0,V1,…,V7}

(4)

2.2 有限集模型預測工作原理

(1)FCS-MPC以離散數(shù)學模型為基礎(chǔ)，當采樣周期Ts足夠小時通過歐拉公式將式(1)離散化，得到離散化的永磁同步電機定子電流和轉(zhuǎn)矩預測模型：

(5)

(6)

(2)根據(jù)第k時刻逆變器的開關(guān)狀態(tài){(Sa,Sb,Sc)|Sa,b,c(k)∈{0,1}}和位置傳感器采集到轉(zhuǎn)子位置θ，得出ud(k)和uq(k)：

(7)

式中，

(4)按照系統(tǒng)期望達到的目標，設(shè)計使目標性能優(yōu)化的目標函數(shù)g(衡量不同逆變器開關(guān)狀態(tài)下控制量參考值與預測值的相近程度)，以d-q軸電流控制誤差為目標，設(shè)計目標函數(shù)如下：

(8)

(5)最后通過遍歷尋優(yōu)法，將預測值帶入到目標函數(shù)中，求出有限集合中7個空間電壓矢量對應(yīng)的目標函數(shù)值，選擇出使目標函數(shù)最小的逆變器開關(guān)狀態(tài)作為該采樣周期內(nèi)的最優(yōu)開關(guān)狀態(tài)。圖1為本文采用的傳統(tǒng)FCS-MPC結(jié)構(gòu)框圖。

圖1 傳統(tǒng)FCS-MPC框圖

3 連續(xù)集模型預測控制原理

3.1 連續(xù)控制集定義

CCS-MPC結(jié)合一定的調(diào)制技術(shù)(如正弦波脈寬調(diào)制(SPWM)、空間矢量調(diào)制(SVPWM)等)，在一個控制周期內(nèi)輸出由多種開關(guān)組合構(gòu)成的脈寬調(diào)制波，合成電壓復平面內(nèi)任意相角、幅值的電壓矢量實現(xiàn)對電機轉(zhuǎn)矩和磁鏈的調(diào)節(jié)。不同于FCS-MPC，CCS-MPC控制集由許多個開關(guān)狀態(tài)組成，每個開關(guān)狀態(tài)的作用時間為連續(xù)值，因此稱為連續(xù)控制集。

3.2 連續(xù)集模型預測工作原理

(1)預測模型

不考慮負載轉(zhuǎn)矩TL，對式(3)兩邊取拉式變換

(9)

上式經(jīng)零階采樣保持后采用Z域離散化法，得到永磁同步電機離散Z傳遞函數(shù)：

(10)

其中：a=K(1-e-TsB/J)/B；b=-e-TsB/J；K=1.5pψ。

將負載轉(zhuǎn)矩TL作為系統(tǒng)擾動項折算到式(10)中，得到系統(tǒng)差分方程：

ωr(k)=aiq(k-1)-bωr(k-1)+cΔTL(k)

(11)

式中，cΔTL(k)為負載轉(zhuǎn)矩波動的函數(shù)，可以看做系統(tǒng)噪聲，可忽略不計即：

ωr(k)=aiq(k-1)-bωr(k-1)

(12)

進一步地可得出：

ωr(k+1)=aiq(k)-bωr(k)

(13)

將式(13)減去式(12)

(14)

(2)閉環(huán)預測

根據(jù)式(14)可得(k+1)T時刻系統(tǒng)的閉環(huán)預測輸出

(15)

式中，預測誤差e(k)=ωr(k)-ωrm(k)。

(3)參考軌跡

參考軌跡是從當前實際出發(fā)向設(shè)定值光滑過渡的系統(tǒng)期望輸出，一般取一階指數(shù)變化的形式：

(16)

式中，ε為柔化系數(shù)，0<ε<1；ω*(k)為系統(tǒng)的設(shè)定值。

(4)優(yōu)化準則

(17)

式中，λ1、λ2為加權(quán)系數(shù)，分別表示對跟蹤誤差和控制量變化的抑制程度。

(18)

則kT時刻q軸電流給定值為

(19)

(5)電流預測模型

由式(5)可得電流預測模型

(20)

(21)

圖2為本文采所用的廣義預測控制結(jié)構(gòu)框圖。

圖2 廣義預測控制結(jié)構(gòu)圖

4 兩種控制算法的異同及性能分析

4.1 兩種算法穩(wěn)態(tài)性能分析

FCS-MPC對應(yīng)的優(yōu)化問題是一類典型的整數(shù)規(guī)劃問題，通常采用窮舉尋優(yōu)的方法，選擇使得目標函數(shù)最小的電壓矢量作為KT時刻最優(yōu)矢量輸出，但是該算法僅利用8個基本電壓矢量的幅值和方向來控制電機，使得磁鏈和轉(zhuǎn)矩調(diào)節(jié)受到限制，造成穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)矩脈動較大；CCS-MPC通過利用電壓復平面內(nèi)任意幅值和相角的電壓矢量控制電機，實現(xiàn)對轉(zhuǎn)矩和磁鏈的精準調(diào)節(jié)，因此具有優(yōu)良的穩(wěn)態(tài)控制性能。

4.2 兩種算法復雜性分析

(1)由式(5)推出多步FCS-MPC方程：

(22)

由式(22)可得，多步FCS-MPC模型存在矩陣n次方、三角函數(shù)等復雜運算，并且隨著預測步長的增加，F(xiàn)CS-MPC計算量呈現(xiàn)指數(shù)增長，例如當預測步數(shù)為3時，需要在線窮舉83=512次來確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，多步預測很難在短時間內(nèi)完成。

(2)CCS-MPC是一類帶約束的二次優(yōu)化問題，同樣在短時間內(nèi)無法求解，只能借助顯式算法或級聯(lián)結(jié)構(gòu)簡潔求解，隨著預測步長的增加，顯式算法的分區(qū)數(shù)目會顯著增加，消耗大量存儲空間，查表工作量難度增大。

4.3 參數(shù)變化對兩種算法的影響分析

(23)

(24)

(25)

式中，Tele為為電機的電氣時間常數(shù)，C為待定常數(shù)。由上式可得，電機參數(shù)誤差會對轉(zhuǎn)矩誤差造成影響，從而導致電機輸出轉(zhuǎn)矩出現(xiàn)跟蹤誤差。

(2)CCS-MPC可轉(zhuǎn)化為求解帶約束的二次優(yōu)化問題，在算法的執(zhí)行過程中對電機參數(shù)的依賴性小。

5 FCS-MPC和CCS-MPC仿真比較

本文通過搭建Matlab/Simulink仿真模型，對兩種預測控制算法穩(wěn)態(tài)特性、動態(tài)特性及電機參數(shù)變化魯棒性進行仿真比較，并對結(jié)果進行比較分析。仿真模型所使用的電機參數(shù)如表1所示。

表1 永磁同步電機參數(shù)

5.1 穩(wěn)態(tài)仿真結(jié)果

圖3給出了FCS-MPC算法和CCS-MPC算法的電磁轉(zhuǎn)矩脈動圖，轉(zhuǎn)速參考值設(shè)置為750 r/min，負載轉(zhuǎn)矩設(shè)置為40 Nm。由表2兩種控制算法穩(wěn)態(tài)性分析知，CCS-MPC算法轉(zhuǎn)矩脈動明顯低于FCS-MPC算法。

圖3 轉(zhuǎn)矩脈動

表2 FCS-MPC和CCS-MPC穩(wěn)態(tài)仿真分析

5.2 動態(tài)仿真結(jié)果

為驗證兩種控制算法的動態(tài)性能，設(shè)置電機運行工況：0時刻電機啟動，轉(zhuǎn)速達到7500 r/min啟動結(jié)束。負載轉(zhuǎn)矩初始值為20 Nm，在0.1 s時突加25 Nm負載，0.2 s時突加負載30 Nm，穩(wěn)定運行后，0.3 s時突減負載至25 Nm。

圖4為兩種控制算法轉(zhuǎn)速波形圖，由表3兩種控制算法動態(tài)性分析知，F(xiàn)CS-MPC對階躍輸入的響應(yīng)快于CCS-MPC。當轉(zhuǎn)矩發(fā)生變化時，F(xiàn)CS-MPC算法轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)時間短且轉(zhuǎn)速的超調(diào)量小于CCS-MPC。

表3 FCS-MPC和CCS-MPC動態(tài)仿真分析

圖4 轉(zhuǎn)速

由圖5可觀察出，兩種算法在轉(zhuǎn)矩突增、突減整個過程中均能平滑切換、無超調(diào)、具有優(yōu)異的動態(tài)特性，但是FCS-MPC算法轉(zhuǎn)矩切換時間更短。圖6為兩種控制算法d、q軸電流示意圖，由于采用id=0控制，因此在整個過程中d軸電流接近于0，兩種方法均能快速實現(xiàn)跟蹤q軸參考電流的目的。

圖5 電磁轉(zhuǎn)矩

圖6 d、q軸電流

5.3 不同電機參數(shù)對系統(tǒng)的影響

(1)電阻參數(shù)對系統(tǒng)的影響

圖7給出兩種控制算法在電機定子電阻為1.5R(定子電阻阻值的1.5倍)時電磁轉(zhuǎn)矩的波形圖，用來模擬電機長期運行后因溫度升高造成定子電阻增大的情形。圖5、圖7比較發(fā)現(xiàn)電阻變化對兩種控制算法電磁轉(zhuǎn)矩幾乎不產(chǎn)生影響。這是因為永磁同步電機定子電阻很小，產(chǎn)生的壓降很小，因此定子電阻變化不影響電壓矢量的選擇，系統(tǒng)可以穩(wěn)定運行。

圖7 電阻變化時轉(zhuǎn)矩波動

(2)磁鏈參數(shù)對系統(tǒng)的影響

圖8給出兩種控制算法在0.9ψ(永磁體磁鏈值的0.9倍)、1.0ψ、1.1ψ(永磁體磁鏈值的1.1倍)情況下電磁轉(zhuǎn)矩波形，分別模擬電動機長時間運行、電動機正常運行、全新電動機運行的工況。兩種控制算法對磁鏈變化的反映表現(xiàn)為啟動轉(zhuǎn)矩的變化，穩(wěn)態(tài)時二者均不受影響，但是CCS-MPC算法對磁通變化的敏感度低于FCS-MPC算法。

圖8 磁鏈變化時轉(zhuǎn)矩波動

(3)電感參數(shù)對系統(tǒng)的影響

對電機而言，電感會隨著鐵心磁路飽和而發(fā)生改變，電感變化會對電機控制性能帶來影響。圖9為電感參數(shù)對兩種算法電磁轉(zhuǎn)矩的影響，當電感參數(shù)為0.7 L(定子電感值的0.7倍)時，F(xiàn)CS-MPC電磁轉(zhuǎn)矩脈動為1.8 Nm，CCS-MPC電磁脈動為1 Nm，此時兩種算法的電磁轉(zhuǎn)矩脈動均大于1.0 L時的電磁轉(zhuǎn)矩脈動，動態(tài)特性都不受影響。這是因為定子電感減小，電流濾波效果減弱，因此電磁轉(zhuǎn)矩脈動會增大。

圖9 電感變化時轉(zhuǎn)矩波動

6 結(jié) 語

本文建立了永磁同步電機數(shù)學模型，在此基礎(chǔ)上詳細分析了傳統(tǒng)FCS-MPC和GPC的原理，并對這兩種控制算法的穩(wěn)態(tài)性、動態(tài)特性及魯棒性進行了仿真對比分析。從仿真結(jié)果看出，CCS-MPC算法穩(wěn)態(tài)特性、參數(shù)變化的魯棒性優(yōu)于FCS-MPC算法，但動態(tài)特性遜于FCS-MPC算法；同時可得結(jié)論：定子電阻改變對預測控制電磁轉(zhuǎn)矩幾乎沒影響；磁鏈改變會造成啟動轉(zhuǎn)矩變化；電感改變對電磁轉(zhuǎn)矩脈動產(chǎn)生影響。兩種控制方法都存在各自的優(yōu)點，并具有廣闊的發(fā)展前景。本文旨在通過對這兩種預測算法不同性能對比分析，對預測控制在永磁同步電機實際工程應(yīng)用中提供一定的參考和幫助。