李玲丹，白麗艷

(玉溪師范學院 數學與信息技術學院 數學系，云南 玉溪 653100)

德國數學家克萊因的論文《關于近代幾何研究的比較考察》根據變換群理論的觀點，給出了清晰的幾何新定義，幾何被定義為研究圖形在某個變換群下的不變性質的學科[1]．中學涉及的幾何課程中，無論是課程內容還是教師教學，都引入了幾何變換的思想，在這樣的形勢下，如何有效且高效地運用幾何變換的觀點和思想方法來解決中學學習中涉及到的相關問題，已成為當今數學課程改革中的一種新思維方式．

在初等幾何相關的解題過程中，作輔助線往往是解決初等幾何問題的要點所在．而由于幾何問題的多變，不同題型所作輔助線的方法也是不同的．在這種情況下，就可利用初等幾何變換來進行有效分析，運用多種變換對題中給出的各個條件進行集中處理，通過觀察變換后的各個條件之間的關系，即可得到較為清晰的證題思路．而合同變換作為初等幾何變換中的一大類，對于解決初等幾何問題意義重大．基于此，本文探索研究了在初等幾何問題中正確應用合同變換的方法．

定義[2]一個平面到其自身的變換W，如果對于該平面上的任意兩點A、B和它們的像點A′、B′之間，恒有距離A′B′=AB，那么這個變換W就叫做平面上的合同變換．

合同變換的基本形式有平移、旋轉、軸反射變換3種．下面，將對合同變換所包括的平移變換、旋轉變換、軸反射變換在各類型初等幾何問題中的應用進行論述.

1 平移變換

1.1 平行四邊形與平移變換

若平面幾何的題設條件中含有平行四邊形，則可想到用平移變換來對問題進行處理，對于平移向量的起點和終點的選擇，可根據所要解決的問題來選擇平行四邊形的某兩個相鄰頂點．

例1[3]設Q是平行四邊形ABCD內部一點．

求證：∠BAQ=∠QCB當且僅當∠QBA=∠ADQ．

設Q的對應點為Q′，則∠BCQ′=∠ADQ，且四邊形ABQ′Q是一個平行四邊形．

∴∠BAQ=∠QQ′B，∠QBA=∠BQQ′，

圖1

則∠BAQ=∠QCB，

?∠QQ′B=∠QCB，

?B、Q′、C、Q四點共圓，

?∠BQQ′=∠BCQ′，

?∠QBA=∠BCQ′，

?∠QBA=∠ADQ，

1.2 共線相等線段與平移變換

在平面幾何問題中，若該問題的條件中給出兩條相等的線段，并且這兩條線段在同一條直線上，那么我們就可以考慮利用平移變換來對問題具體分析．一般來說，所選的平移向量需使其中一條線段通過平移變換與另一條線段重合．

例2 設點M、N是△ABC邊BC上兩個點，BM=NC．∠BAM=∠NAC

求證：△ABC為等腰三角形.

則B的對應點為N，M的對應點為C,設A的對應點為A′，則AA′∥BC，

∴四邊形ANCA′是一個梯形，

圖2

又A′N=AB，A′C=AM

已知BM=NC，

∴△A′NC≌△ABM，

∴∠NA′C=∠BAM=∠NAC，

∴四邊形ANCA′是一個圓內接梯形，

由此四邊形ANCA′為等腰梯形，

∴AC=A′N=AB，

故△ABC是等腰三角形．

1.3 一般相等線段與平移變換

如果給出的兩條長度相等的線段沒有特殊關系，那么對于這兩條線段，可以利用平移變換來處理:對其中的一條線段進行平行移動，使得這兩條線段的某個端點經過平移變換后重合，由于兩線段的長度相等，則變換后的圖形可與等腰三角形相關，那么就可利用等腰三角形有關性質來對問題進一步分析．

例3[3]設E、F分別是ABC的邊BC、AC上的點，且BE=AF，AE與BF交于點G，∠ABC的角平分線CD與AE、BF、AB分別交于點H、I、D．

圖3

則BFEE′，BEFE′，

∵AF=BE，

∴AF=FE′，∠CAE′=∠AE′F，

又FE′BC，

∴∠E′FC=∠FCB，

∴∠E′AG=∠ACD，則AE′∥DC，

∴∠GHI=∠EAE′，

又∵BF∥EE′，∴∠HGI=∠AEE′，

1.4 平行與平移變換

在同一平面內，通過平移得到的兩條直線是互相平行的．因此，若是已知條件中含有與平行相關的平面幾何問題，同樣可以用平移變換來進行探究，平移方向及距離根據問題確定．

例4[3]設AM是△ABC的角平分線，任做一條直線l分別與BC、CA、AB交于點P、Q、R．

圖4

∴B′Q=BR，∠BAC=∠B′QC，

設B′C與l交于點N，則NP∥B′B，

又AM平分∠BAC，于是由三角形的角平分線定理與判定定理,得

2 旋轉變換

設O是平面π上一個定點，θ是一個定角(有向角)，如果平面π的一個變換，使得對于平面π上任意一點A與其像點A′之間，恒有：

(1)OA′=OA；

(2)有向角∠AOA=θ．

則這個變換稱為平面π的一個旋轉變換，記作R(0,θ)，其中定點O稱為旋轉中心，定角θ稱為旋轉角或轉幅[3]．當θ=180°時的旋轉稱為半周旋轉，又叫作中心反射或中心對稱變換，記作C(O)[3].

2.1 中點與中心反射變換

已知線段的中點即為這條線段的反射中心，由此，若題干給出某線段中點，則可用中心反射變換處理，反射中心即為此線段中點.

例5 過直角△ABC的斜邊BC的中點P與直角頂點A作一個圓分別與兩直角邊AB、AC交于點M、N．

求證：BM2+CN2=MN2.

證明：如圖5所示，做中心反射變換C(P)，則C的對應點為B．設N的對應點為N′，則P為NN′的中點，NB′CN．

∵BA⊥CA，

圖5

∴BM⊥CN，

∴BM⊥BN′.

∵∠BAC為直角，

∴MN為圓的直徑，

∴MP⊥PN，

則MP⊥NN′.

又P為NN′的中點，

∴MN′=MN.

由△MBN′是直角三角形，BM2+CN2=BM2+BN′2=MN′2=MN2.

2.2 平行四邊形與中心反射變換

平行四邊形是中心對稱圖形．所以，若一個平面幾何問題中含有與平行四邊形相關的條件，可以根據題設條件選擇利用中心反射變換進行處理，此時，該變換的反射中心就是平行四邊形的中心．

例6[3]設Q為平行四邊形ABCD的AD邊中點，過點C作AB的垂線交AB于點P．

求證：∠PDQ=3∠QPA的充分必要條件是BC=2AB．

圖6

證明：如圖6所示，以平行四邊形ABCD的中心O點為反射中心作中心反射變換C(O)，則A的對應點為C，B的對應點為D，D的對應點為B．設P的對應點為P′，Q的對應點為Q′，則P′在直線CD上，Q′為BC的中點,且AP′⊥CD，QQ′ABCD，∠Q′P′C=∠QPA=∠PQQ′,∠QQ′D=∠P′CQ′．

又Q為Rt△AP′D的斜邊AD的中點，

∴QP′=QD=Q′C，

∴四邊形P′QQ′C是以QQ′、P′C為兩底的等腰梯形，

∴∠Q′QD=∠P′CQ′=∠QP′C，

則∠PQD=3∠QPA?∠PQQ′+∠Q′QD=3∠QPA?∠QPA+∠Q′QD=3∠QPA

?∠Q′QD=2∠QPA?∠QP′C=2∠Q′P′C?∠QP′Q′=∠Q′P′C

?AB=AQ?AD=2AB?BC=2AB.

2.3 正三角形與旋轉變換

正三角的三邊相等且三個角均為60°，若一個平面幾何問題給出的條件中有與正三角形相關的內容，可根據已知條件進行旋轉變換，該變換的旋轉角即為60°，旋轉中心則根據所需解決的問題來選擇正三角形的頂點．

例7[4]設M為等邊△ABC內的一點，且MA=a，MB=b，MC=c，求△ABC的面積．

解：如圖7所示，將△MAB、△MBC、△MCA分別繞著點A、B、C按逆時針方向旋轉60°，使AB、BC、CA分別與AC、BA、CB重合，這時△MAB、△MBC、△MCA分別旋轉到△PAC、△QBA、△RCB所在的位置．

圖7

由△MAB≌△PAC，△MBC≌△QBA，△MCA≌△RCB，

得MA=PA=RB=a，MB=QB=PC=b．MC=RC=QA=c

∠BAC=∠NAP=60°，∠ABC=∠MBQ=60°，∠BAC=∠MCR=60°，

由MA=PA=a，∠MAP=60°，得△MAP為正三角形．

同理，△MBQ和△MCR為正三角形，

∴MP=a，MQ=b，MR=c，即△MAQ≌△MBR≌△MCP，則

2.4 正方形與旋轉變換

由于正方形的特殊性質，在一個平面幾何問題中，如果題設給出的條件中含有與正方形相關的內容，那么就可以考慮用旋轉變換來處理，旋轉角為90°．旋轉中心選為正方形的一個頂點．

例8[3]設M、N分別為正方形ABCD的邊DC、AD上的點.

求證：BM=CM+AN的充分必要條件是BN平分∠ABM．

證明：如圖8所示，作旋轉變換R(B,90°)，則C的對應點為A.設M的對應點為M′，則BM′=BM，AM′=CM，且∠ABM′=∠CBM，M′在DA的延長線上，

∴NM′=AM′+AN=CM+AN，

又∠M′NB=∠CBN，

∴BM=CM+AN，

圖8

?BM=NM′，

?BM′=NM′，

?∠BNM′=∠NBM′，

?∠CBN=∠NBM′，

?BN平分∠CBM′，

?BN平分∠MBA.

3 軸反射變換

設l是平面π上的一條定直線，若通過平面π上的一個變換，可以使平面上不在直線l上的任意一點A與其經過變換得到的對應點A′之間的連線AA′恒被直線l垂直且平分，而直線l上的點是保持不動的，那么，這個變換就稱為平面π的軸反射變換，其中，定直線l就是這個軸反射變換的反射軸[3]．

3.1 等腰三角形與軸反射變換

等腰三角形是軸對稱圖形，因此，當題設條件中有涉及等腰三角形相關的條件時，可以考慮利用軸反射變換來對問題進行處理，此時，該變換的反射軸就是等腰三角形的對稱軸所在的直線．

例9 在等腰△ABC中，AB=AC，D是△ABC的內一點．

求證：∠ADB>∠CDA的充分必要條件是DC>DB．

圖9

證明：如圖9所示，對等腰△ABC作軸反射變換，反射軸為等腰△ABC的對稱軸．則B的對應點為C，C的對應點為B,設D的對應點為D′，則D′依然位于△ABC的內部.且DD′∥BC，△AD′B=△ADC，△DCB=△D′BC，則

△ADB>△CDA

?△ADB>△AD′B

?點D在△ABD′內部

?△DBC>△D′BC

?△DBC>△DCB

?DC>DB．

3.2 角平分線與軸反射變換

角是軸對稱圖形，當一個平面幾何問題中給出了某個角及其角平分線時，可以考慮利用這個角及其角平分線來作軸反射變換，反射軸即角平分線所在直線.

例10[2]已知DH為直角△ABC斜邊上的高，AF平分∠BAC交BH于點E，

EP∥AC，交CB于點P.

求證：BE=CP.

證明：如圖10所示，以∠BAC的角平分線為對稱軸作軸反射變換,則B的對應點為B′，B′必在AC邊上,且AB=AB′，EB=EB′，∠ABE=∠AB′E.

圖10

∵△ABC是直角三角形，且BH⊥AC，

∴∠ABH=90°-∠HBC=∠C，

∵∠ABH=∠AB′E，

∴∠AB′E=∠C，故EB′∥PC，

又已知EP∥AC，

∴四邊形EPCB′是平行四邊形，

∴B′E=CP，

又∵BE=B′E，

∴BE=CP．

3.3 垂直與軸反射變換

以直角的其中一邊為反射軸來作軸反射變換，則變換前后的圖形剛好為一個平角，因而，若平面幾何問題中給出有關垂直條件，那么此時就可以利用軸反射變換來解決問題．

例11[3]設AD是△ABC的一條高，H是直線AD上的一點.

求證：點H是△ABC的垂心．

證明：如圖11所示，以BC邊為對稱軸作軸反射變換，設H的對應點為H′，則H′在直線AD上，且∠CH′B=∠BHC=180°-∠BAC，即∠CH′B+∠BAC=180°，則A、B、H′、C四點共圓，

∴∠H′AC=∠H′BC，

圖11

∴∠H′AC=∠CBH，

即∠DAC=∠CBH，

設直線BH與AC交于點M，

則∠DAM=∠DBM，

∴M、A、B、D四點共圓，

∴∠AMB=∠ADB=90°，

∴BH⊥CA，

故點H是△ABC的垂心．

3.4 30°的角與軸反射變換

以30°角的其中一邊為對稱軸作軸反射變換，則變換前后的圖形可構成一個60°的角，故在一個平面幾何問題中，若題設給出的條件中含有30°角，則可對其做軸反射變換，反射軸為角的其中一邊.

例12[3]在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=50°，G是△ABC內一點，∠BAG=20°，∠ACG=40°．求∠GBA．

解：如圖12所示，以AC邊為對稱軸作軸反射變換，設B的對應點為B′，則∠BAB′=60°，AB′=AB，即△ABB′為等邊三角形，

∠AB′C=∠CBA=50°，∠CAB′=∠CAB=30°，又∠BAG=20°，

圖12

∴∠GAC=∠BAC-∠BAG=10°，

∴∠CGA=180°-∠GAC-∠ACG=130°，

∴∠AB′C+∠CGA=180°

則A、G、C、B′四點共圓，

∴∠AB′G=∠ACG=40°，

又∠GAB′=∠GAC-∠CAB′=40°，

∴∠AB′G=∠GAB′，

∴GB′=GA，

又BB′=BA，

∴△ABG≌△B′BG(sss)，

4 總 結

合同變換對于解決初等幾何問題是有重要作用的，本文通過討論合同變換所包含的三類變換在不同題型中的使用方法，對合同變換在具體問題中的具體應用給出了一定參考，但初等幾何問題是無規(guī)律可循的，面對這類問題，可以利用合同變換來進行探索研究，但合同變換只是為解決問題提供一個新的思路，具體問題還應具體分析．