亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        合同變換及其應(yīng)用

        2020-12-03 09:00:18李玲丹白麗艷
        關(guān)鍵詞:對(duì)應(yīng)點(diǎn)平分線等腰三角

        李玲丹,白麗艷

        (玉溪師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)系,云南 玉溪 653100)

        德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因的論文《關(guān)于近代幾何研究的比較考察》根據(jù)變換群理論的觀點(diǎn),給出了清晰的幾何新定義,幾何被定義為研究圖形在某個(gè)變換群下的不變性質(zhì)的學(xué)科[1].中學(xué)涉及的幾何課程中,無(wú)論是課程內(nèi)容還是教師教學(xué),都引入了幾何變換的思想,在這樣的形勢(shì)下,如何有效且高效地運(yùn)用幾何變換的觀點(diǎn)和思想方法來(lái)解決中學(xué)學(xué)習(xí)中涉及到的相關(guān)問(wèn)題,已成為當(dāng)今數(shù)學(xué)課程改革中的一種新思維方式.

        在初等幾何相關(guān)的解題過(guò)程中,作輔助線往往是解決初等幾何問(wèn)題的要點(diǎn)所在.而由于幾何問(wèn)題的多變,不同題型所作輔助線的方法也是不同的.在這種情況下,就可利用初等幾何變換來(lái)進(jìn)行有效分析,運(yùn)用多種變換對(duì)題中給出的各個(gè)條件進(jìn)行集中處理,通過(guò)觀察變換后的各個(gè)條件之間的關(guān)系,即可得到較為清晰的證題思路.而合同變換作為初等幾何變換中的一大類,對(duì)于解決初等幾何問(wèn)題意義重大.基于此,本文探索研究了在初等幾何問(wèn)題中正確應(yīng)用合同變換的方法.

        定義[2]一個(gè)平面到其自身的變換W,如果對(duì)于該平面上的任意兩點(diǎn)A、B和它們的像點(diǎn)A′、B′之間,恒有距離A′B′=AB,那么這個(gè)變換W就叫做平面上的合同變換.

        合同變換的基本形式有平移、旋轉(zhuǎn)、軸反射變換3種.下面,將對(duì)合同變換所包括的平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、軸反射變換在各類型初等幾何問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行論述.

        1 平移變換

        1.1 平行四邊形與平移變換

        若平面幾何的題設(shè)條件中含有平行四邊形,則可想到用平移變換來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行處理,對(duì)于平移向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)的選擇,可根據(jù)所要解決的問(wèn)題來(lái)選擇平行四邊形的某兩個(gè)相鄰頂點(diǎn).

        例1[3]設(shè)Q是平行四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn).

        求證:∠BAQ=∠QCB當(dāng)且僅當(dāng)∠QBA=∠ADQ.

        設(shè)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q′,則∠BCQ′=∠ADQ,且四邊形ABQ′Q是一個(gè)平行四邊形.

        ∴∠BAQ=∠QQ′B,∠QBA=∠BQQ′,

        圖1

        則∠BAQ=∠QCB,

        ?∠QQ′B=∠QCB,

        ?B、Q′、C、Q四點(diǎn)共圓,

        ?∠BQQ′=∠BCQ′,

        ?∠QBA=∠BCQ′,

        ?∠QBA=∠ADQ,

        1.2 共線相等線段與平移變換

        在平面幾何問(wèn)題中,若該問(wèn)題的條件中給出兩條相等的線段,并且這兩條線段在同一條直線上,那么我們就可以考慮利用平移變換來(lái)對(duì)問(wèn)題具體分析.一般來(lái)說(shuō),所選的平移向量需使其中一條線段通過(guò)平移變換與另一條線段重合.

        例2 設(shè)點(diǎn)M、N是△ABC邊BC上兩個(gè)點(diǎn),BM=NC.∠BAM=∠NAC

        求證:△ABC為等腰三角形.

        則B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N,M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C,設(shè)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′,則AA′∥BC,

        ∴四邊形ANCA′是一個(gè)梯形,

        圖2

        又A′N=AB,A′C=AM

        已知BM=NC,

        ∴△A′NC≌△ABM,

        ∴∠NA′C=∠BAM=∠NAC,

        ∴四邊形ANCA′是一個(gè)圓內(nèi)接梯形,

        由此四邊形ANCA′為等腰梯形,

        ∴AC=A′N=AB,

        故△ABC是等腰三角形.

        1.3 一般相等線段與平移變換

        如果給出的兩條長(zhǎng)度相等的線段沒(méi)有特殊關(guān)系,那么對(duì)于這兩條線段,可以利用平移變換來(lái)處理:對(duì)其中的一條線段進(jìn)行平行移動(dòng),使得這兩條線段的某個(gè)端點(diǎn)經(jīng)過(guò)平移變換后重合,由于兩線段的長(zhǎng)度相等,則變換后的圖形可與等腰三角形相關(guān),那么就可利用等腰三角形有關(guān)性質(zhì)來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)一步分析.

        例3[3]設(shè)E、F分別是ABC的邊BC、AC上的點(diǎn),且BE=AF,AE與BF交于點(diǎn)G,∠ABC的角平分線CD與AE、BF、AB分別交于點(diǎn)H、I、D.

        圖3

        則BFEE′,BEFE′,

        ∵AF=BE,

        ∴AF=FE′,∠CAE′=∠AE′F,

        又FE′BC,

        ∴∠E′FC=∠FCB,

        ∴∠E′AG=∠ACD,則AE′∥DC,

        ∴∠GHI=∠EAE′,

        又∵BF∥EE′,∴∠HGI=∠AEE′,

        1.4 平行與平移變換

        在同一平面內(nèi),通過(guò)平移得到的兩條直線是互相平行的.因此,若是已知條件中含有與平行相關(guān)的平面幾何問(wèn)題,同樣可以用平移變換來(lái)進(jìn)行探究,平移方向及距離根據(jù)問(wèn)題確定.

        例4[3]設(shè)AM是△ABC的角平分線,任做一條直線l分別與BC、CA、AB交于點(diǎn)P、Q、R.

        圖4

        ∴B′Q=BR,∠BAC=∠B′QC,

        設(shè)B′C與l交于點(diǎn)N,則NP∥B′B,

        又AM平分∠BAC,于是由三角形的角平分線定理與判定定理,得

        2 旋轉(zhuǎn)變換

        設(shè)O是平面π上一個(gè)定點(diǎn),θ是一個(gè)定角(有向角),如果平面π的一個(gè)變換,使得對(duì)于平面π上任意一點(diǎn)A與其像點(diǎn)A′之間,恒有:

        (1)OA′=OA;

        (2)有向角∠AOA=θ.

        則這個(gè)變換稱為平面π的一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換,記作R(0,θ),其中定點(diǎn)O稱為旋轉(zhuǎn)中心,定角θ稱為旋轉(zhuǎn)角或轉(zhuǎn)幅[3].當(dāng)θ=180°時(shí)的旋轉(zhuǎn)稱為半周旋轉(zhuǎn),又叫作中心反射或中心對(duì)稱變換,記作C(O)[3].

        2.1 中點(diǎn)與中心反射變換

        已知線段的中點(diǎn)即為這條線段的反射中心,由此,若題干給出某線段中點(diǎn),則可用中心反射變換處理,反射中心即為此線段中點(diǎn).

        例5 過(guò)直角△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)P與直角頂點(diǎn)A作一個(gè)圓分別與兩直角邊AB、AC交于點(diǎn)M、N.

        求證:BM2+CN2=MN2.

        證明:如圖5所示,做中心反射變換C(P),則C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B.設(shè)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N′,則P為NN′的中點(diǎn),NB′CN.

        ∵BA⊥CA,

        圖5

        ∴BM⊥CN,

        ∴BM⊥BN′.

        ∵∠BAC為直角,

        ∴MN為圓的直徑,

        ∴MP⊥PN,

        則MP⊥NN′.

        又P為NN′的中點(diǎn),

        ∴MN′=MN.

        由△MBN′是直角三角形,BM2+CN2=BM2+BN′2=MN′2=MN2.

        2.2 平行四邊形與中心反射變換

        平行四邊形是中心對(duì)稱圖形.所以,若一個(gè)平面幾何問(wèn)題中含有與平行四邊形相關(guān)的條件,可以根據(jù)題設(shè)條件選擇利用中心反射變換進(jìn)行處理,此時(shí),該變換的反射中心就是平行四邊形的中心.

        例6[3]設(shè)Q為平行四邊形ABCD的AD邊中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交AB于點(diǎn)P.

        求證:∠PDQ=3∠QPA的充分必要條件是BC=2AB.

        圖6

        證明:如圖6所示,以平行四邊形ABCD的中心O點(diǎn)為反射中心作中心反射變換C(O),則A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B.設(shè)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′,Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q′,則P′在直線CD上,Q′為BC的中點(diǎn),且AP′⊥CD,QQ′ABCD,∠Q′P′C=∠QPA=∠PQQ′,∠QQ′D=∠P′CQ′.

        又Q為Rt△AP′D的斜邊AD的中點(diǎn),

        ∴QP′=QD=Q′C,

        ∴四邊形P′QQ′C是以QQ′、P′C為兩底的等腰梯形,

        ∴∠Q′QD=∠P′CQ′=∠QP′C,

        則∠PQD=3∠QPA?∠PQQ′+∠Q′QD=3∠QPA?∠QPA+∠Q′QD=3∠QPA

        ?∠Q′QD=2∠QPA?∠QP′C=2∠Q′P′C?∠QP′Q′=∠Q′P′C

        ?AB=AQ?AD=2AB?BC=2AB.

        2.3 正三角形與旋轉(zhuǎn)變換

        正三角的三邊相等且三個(gè)角均為60°,若一個(gè)平面幾何問(wèn)題給出的條件中有與正三角形相關(guān)的內(nèi)容,可根據(jù)已知條件進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換,該變換的旋轉(zhuǎn)角即為60°,旋轉(zhuǎn)中心則根據(jù)所需解決的問(wèn)題來(lái)選擇正三角形的頂點(diǎn).

        例7[4]設(shè)M為等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn),且MA=a,MB=b,MC=c,求△ABC的面積.

        解:如圖7所示,將△MAB、△MBC、△MCA分別繞著點(diǎn)A、B、C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,使AB、BC、CA分別與AC、BA、CB重合,這時(shí)△MAB、△MBC、△MCA分別旋轉(zhuǎn)到△PAC、△QBA、△RCB所在的位置.

        圖7

        由△MAB≌△PAC,△MBC≌△QBA,△MCA≌△RCB,

        得MA=PA=RB=a,MB=QB=PC=b.MC=RC=QA=c

        ∠BAC=∠NAP=60°,∠ABC=∠MBQ=60°,∠BAC=∠MCR=60°,

        由MA=PA=a,∠MAP=60°,得△MAP為正三角形.

        同理,△MBQ和△MCR為正三角形,

        ∴MP=a,MQ=b,MR=c,即△MAQ≌△MBR≌△MCP,則

        2.4 正方形與旋轉(zhuǎn)變換

        由于正方形的特殊性質(zhì),在一個(gè)平面幾何問(wèn)題中,如果題設(shè)給出的條件中含有與正方形相關(guān)的內(nèi)容,那么就可以考慮用旋轉(zhuǎn)變換來(lái)處理,旋轉(zhuǎn)角為90°.旋轉(zhuǎn)中心選為正方形的一個(gè)頂點(diǎn).

        例8[3]設(shè)M、N分別為正方形ABCD的邊DC、AD上的點(diǎn).

        求證:BM=CM+AN的充分必要條件是BN平分∠ABM.

        證明:如圖8所示,作旋轉(zhuǎn)變換R(B,90°),則C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A.設(shè)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M′,則BM′=BM,AM′=CM,且∠ABM′=∠CBM,M′在DA的延長(zhǎng)線上,

        ∴NM′=AM′+AN=CM+AN,

        又∠M′NB=∠CBN,

        ∴BM=CM+AN,

        圖8

        ?BM=NM′,

        ?BM′=NM′,

        ?∠BNM′=∠NBM′,

        ?∠CBN=∠NBM′,

        ?BN平分∠CBM′,

        ?BN平分∠MBA.

        3 軸反射變換

        設(shè)l是平面π上的一條定直線,若通過(guò)平面π上的一個(gè)變換,可以使平面上不在直線l上的任意一點(diǎn)A與其經(jīng)過(guò)變換得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′之間的連線AA′恒被直線l垂直且平分,而直線l上的點(diǎn)是保持不動(dòng)的,那么,這個(gè)變換就稱為平面π的軸反射變換,其中,定直線l就是這個(gè)軸反射變換的反射軸[3].

        3.1 等腰三角形與軸反射變換

        等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,因此,當(dāng)題設(shè)條件中有涉及等腰三角形相關(guān)的條件時(shí),可以考慮利用軸反射變換來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行處理,此時(shí),該變換的反射軸就是等腰三角形的對(duì)稱軸所在的直線.

        例9 在等腰△ABC中,AB=AC,D是△ABC的內(nèi)一點(diǎn).

        求證:∠ADB>∠CDA的充分必要條件是DC>DB.

        圖9

        證明:如圖9所示,對(duì)等腰△ABC作軸反射變換,反射軸為等腰△ABC的對(duì)稱軸.則B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,設(shè)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′,則D′依然位于△ABC的內(nèi)部.且DD′∥BC,△AD′B=△ADC,△DCB=△D′BC,則

        △ADB>△CDA

        ?△ADB>△AD′B

        ?點(diǎn)D在△ABD′內(nèi)部

        ?△DBC>△D′BC

        ?△DBC>△DCB

        ?DC>DB.

        3.2 角平分線與軸反射變換

        角是軸對(duì)稱圖形,當(dāng)一個(gè)平面幾何問(wèn)題中給出了某個(gè)角及其角平分線時(shí),可以考慮利用這個(gè)角及其角平分線來(lái)作軸反射變換,反射軸即角平分線所在直線.

        例10[2]已知DH為直角△ABC斜邊上的高,AF平分∠BAC交BH于點(diǎn)E,

        EP∥AC,交CB于點(diǎn)P.

        求證:BE=CP.

        證明:如圖10所示,以∠BAC的角平分線為對(duì)稱軸作軸反射變換,則B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′,B′必在AC邊上,且AB=AB′,EB=EB′,∠ABE=∠AB′E.

        圖10

        ∵△ABC是直角三角形,且BH⊥AC,

        ∴∠ABH=90°-∠HBC=∠C,

        ∵∠ABH=∠AB′E,

        ∴∠AB′E=∠C,故EB′∥PC,

        又已知EP∥AC,

        ∴四邊形EPCB′是平行四邊形,

        ∴B′E=CP,

        又∵BE=B′E,

        ∴BE=CP.

        3.3 垂直與軸反射變換

        以直角的其中一邊為反射軸來(lái)作軸反射變換,則變換前后的圖形剛好為一個(gè)平角,因而,若平面幾何問(wèn)題中給出有關(guān)垂直條件,那么此時(shí)就可以利用軸反射變換來(lái)解決問(wèn)題.

        例11[3]設(shè)AD是△ABC的一條高,H是直線AD上的一點(diǎn).

        求證:點(diǎn)H是△ABC的垂心.

        證明:如圖11所示,以BC邊為對(duì)稱軸作軸反射變換,設(shè)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H′,則H′在直線AD上,且∠CH′B=∠BHC=180°-∠BAC,即∠CH′B+∠BAC=180°,則A、B、H′、C四點(diǎn)共圓,

        ∴∠H′AC=∠H′BC,

        圖11

        ∴∠H′AC=∠CBH,

        即∠DAC=∠CBH,

        設(shè)直線BH與AC交于點(diǎn)M,

        則∠DAM=∠DBM,

        ∴M、A、B、D四點(diǎn)共圓,

        ∴∠AMB=∠ADB=90°,

        ∴BH⊥CA,

        故點(diǎn)H是△ABC的垂心.

        3.4 30°的角與軸反射變換

        以30°角的其中一邊為對(duì)稱軸作軸反射變換,則變換前后的圖形可構(gòu)成一個(gè)60°的角,故在一個(gè)平面幾何問(wèn)題中,若題設(shè)給出的條件中含有30°角,則可對(duì)其做軸反射變換,反射軸為角的其中一邊.

        例12[3]在△ABC中,∠BAC=30°,∠CBA=50°,G是△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠BAG=20°,∠ACG=40°.求∠GBA.

        解:如圖12所示,以AC邊為對(duì)稱軸作軸反射變換,設(shè)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′,則∠BAB′=60°,AB′=AB,即△ABB′為等邊三角形,

        ∠AB′C=∠CBA=50°,∠CAB′=∠CAB=30°,又∠BAG=20°,

        圖12

        ∴∠GAC=∠BAC-∠BAG=10°,

        ∴∠CGA=180°-∠GAC-∠ACG=130°,

        ∴∠AB′C+∠CGA=180°

        則A、G、C、B′四點(diǎn)共圓,

        ∴∠AB′G=∠ACG=40°,

        又∠GAB′=∠GAC-∠CAB′=40°,

        ∴∠AB′G=∠GAB′,

        ∴GB′=GA,

        又BB′=BA,

        ∴△ABG≌△B′BG(sss),

        4 總 結(jié)

        合同變換對(duì)于解決初等幾何問(wèn)題是有重要作用的,本文通過(guò)討論合同變換所包含的三類變換在不同題型中的使用方法,對(duì)合同變換在具體問(wèn)題中的具體應(yīng)用給出了一定參考,但初等幾何問(wèn)題是無(wú)規(guī)律可循的,面對(duì)這類問(wèn)題,可以利用合同變換來(lái)進(jìn)行探索研究,但合同變換只是為解決問(wèn)題提供一個(gè)新的思路,具體問(wèn)題還應(yīng)具體分析.

        猜你喜歡
        對(duì)應(yīng)點(diǎn)平分線等腰三角
        凸四邊形的若干翻折問(wèn)題
        三點(diǎn)定形找對(duì)應(yīng)點(diǎn)
        玩轉(zhuǎn)角的平分線
        怎樣構(gòu)造等腰三角形
        角平分線形成的角
        “一定一找”話旋轉(zhuǎn)
        多用角的平分線證題
        如何構(gòu)造等腰三角形
        這里常有等腰三角形
        等腰三角形中討論多
        成人在线观看av毛片| 国产成人77亚洲精品www| 国产呦系列呦交| 白白色最新福利视频二| 老色鬼在线精品视频| 人妻无码一区二区三区四区| 啪啪网站免费观看| 天堂网av在线免费看| 亚洲av无码一区二区一二区| 亚洲色无码播放| 爆乳无码AV国内| 国产交换精品一区二区三区| 狠狠的干性视频| 亚洲精品久久久久高潮| 亚洲一区二区三区中文视频| 亚洲不卡一区二区视频| 国产色在线 | 亚洲| 欧美理论在线| 男女搞黄在线观看视频| 人妻少妇精品中文字幕专区| 成av免费大片黄在线观看| 国产综合精品久久亚洲| 99久久久69精品一区二区三区| 天天摸天天做天天爽水多| 人与嘼交av免费| 国产精品电影久久久久电影网| 三级日本理论在线观看| 内射人妻少妇无码一本一道| 久久久国产精品麻豆| 日本中出熟女一区二区| 国产自拍视频在线观看网站| 夜夜躁狠狠躁2021| 久久与欧美视频| 国产丝袜美腿在线播放| 欧美人伦禁忌dvd放荡欲情| 国产成人精品三级91在线影院| 一区二区三区精彩视频在线观看 | 国产免费午夜福利蜜芽无码| 国产免费二区三区视频| 女人被狂躁到高潮视频免费网站| 亚洲AV无码精品色午夜超碰|